2019年数学真题及解析_2019年浙江省高考数学试卷.pdf

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1、2019年浙江省高考数学试卷一、选择题：本大题共1（）小题，每小题4分，共4 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（4 分）已知全集-1,0,1,2,3 ,集合 4=0,1,2,B=-1,0,1 ,则（CuA）Q B=（）A.-1 B.0,1 C.-1,2,3 D.-I,0,1,3）2.（4 分）渐近线方程为x y=0 的双曲线的离心率是（）A.当 B.1 C.&D.2x-3y+40,3.（4 分）若实数x,y 满足约束条件，3 x-y-4 0,A.-1 B.1 C.10 D.124.（4 分）祖眶是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“累势既同，则积不容异”称为祖瞄

2、原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱 体=S/?,其 中 S 是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示（单位：cm）,则该柱体的体积（单位：a l）正视图 侧视图俯视图A.158 B.162 C.182 D.3245.（4 分）若b 0,贝 I“a+bW4”是 的（）A.充分不必要条件C.充分必要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6.（4分）在同一直角坐标系中，函数y loga(x+)(a 0 且 aWl)的图象可27.（4分）设 0 。1.随 机 变 量 X的分布列是X0a1p 3 3T则当在（0,1）内增大时，（）A.D（X）增大 B.D（X）减小C.D（

3、X）先增大后减小 D.D（X）先减小后增大8.（4分）设三棱锥V-A B C 的底面是正三角形，侧棱长均相等，尸是 棱 侬 上 的 点（不含端点）.记 直 线 P8与直线AC所成角为a,直线尸 8与平面A B C 所成角为仇 二面角P-4C-B的平面角为丫，则（）A.P Y a y B.p a,p y C.0 V a,y a D.a p,yPx,x 0.若函数 y=f（x）-a r-恰有3 个零点，则（）A.a -1,h0 B.a 0 C.a -1,h -h 01 0.(4 分)设 a,b e R,数列 斯 满足 a i=a,an+=a nb,6 N ，则(A.当 h=1 _ H 寸，6（|（

4、）1 02C.当 b=-2 时，|（）1 0B.当 6=工时，|01 04D.当匕=-4 时，|（）1 0二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共 36分。1 1.（4分）复数z=1 （i 为虚数单位），则|z|=.1+i1 2.（6分）已知圆C的圆心坐标是（0,m）,半径长是“若直线2 x-y+3=0 与圆C相切于点 A （-2,-1）,则,r=.1 3.（6分）在二项式（扬x）9展开式中，常数项是,系数为有理数的项的个数是.1 4.（6 分）在 A B C 中，Z A B C=9 0 ,A B=4,8 c=3,点。在线段 A C 上，若N B D C=4 5 ,

5、则 BO=,cos/ABD=.2 21 5.（4分）已知椭圆3_+3_=1的左焦点为凡点P在椭圆上且在x轴的上方.若线段尸 尸9 5的中点在以原点。为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线P F 的斜率是.1 6.（4分）己知”R,函数/（x）=a x-x.若存在fR,使得/C+2）-f（t）区 2,则3实 数 的 最 大 值 是.17.（6分）已知正方形A B C O 的边长为1.当每个为3=1,2,3,4,5,6）取遍1时，I入 1标+入 2前+入 3?正MX+入 5 正+乂 丽 的 最 小 值 是，最大值是.三、解答题：本大题共5 小题，共 74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1

6、8.（14 分）设函数/（%）=s i nx,x E R.（I ）已知。日0,2n）,函数/（X+8）是偶函数，求 6的值；（I I）求函数 y=/（x+2 L）2+f（x+N）的值域.12 419.（15 分）如图，已知三棱柱A B C-A i 已C i，平面4 A C Q _ L 平面A B C,NA B C=9 0 ,N 8 A C=3 0 ,A A=AiC=AC,E,F 分别是 A C,4办 的中点.（I ）证明：EFLBCx（I I ）求直线E F与平面ABC所成角的余弦值.120.(15 分)设等差数列 斯 的前项和为S,”的=4,“4=%.数列 与 满足：对每个 N*,Sn+h,

7、Sn+l+b,S+2+瓦成等比数列.(I)求数列 斯,瓦 的通项公式;(I I)记，6 N*,证明：C 1+C 2+C n/i i，n6 N.2 1.如图，已知点F(l,0)为抛物线y 2=2px (p 0)的焦点.过点F的直线交抛物线于A,B两点，点 C在抛物线上，使得 A B C 的重心G在 x 轴上，直线AC交 x 轴于点Q,且。在点尸的右侧.记A F G,C Q G 的面积分别为Si，S2.(I )求 p 的值及抛物线的准线方程；22.(15 分)已知实数 a 7 0,设函数=al n x+m，x 0.(I )当 a=-3时，求函数f(x)的单调区间；4(I I)对任意+8)均有f(x

8、)1,求 的取值范围.,2注：e=2.7 18 28 为自然对数的底数.2019年浙江省高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共4 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（4 分）已知全集 U=-1,0,1,2,3 ,集合 A=0,1,2,B=-1,0,1,则（CuA）AB=（）A.-1 B.0,1 C.-1,2,3 D.-1,0,1,3【考点】1H：交、并、补集的混合运算.【分析】由全集U 以及A 求 A 的补集，然后根据交集定义得结果.【解答】解：Cu4=-1，3,（CuA）AB=-1,3A-1,0,/=-1故选：A.【点评】本题主

9、要考查集合的基本运算，比较基础.2.（4 分）渐近线方程为x y=0 的双曲线的离心率是（）A.返 B.1 C.V 2 D.22【考点】KC：双曲线的性质.【分析】由渐近线方程，转化求解双曲线的离心率即可.【解答】解：根据渐近线方程为x y=0 的双曲线，可得。=江 所以c=&a则该双曲线的离心率为e=W=&,a故选：C.【点评】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题.3.（4 分）若实数x,y 满足约束条件，3 x-Z-4 0,A.-1 B.1 C.10 D.12【考点】7C：简单线性规划.【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标

10、代入目标函数得答案.x-3y+40【解答】解：由实数x,y满足约束条件x p-4 4 0作出可行域如图，x+yO联立八一为+4=。，解得A（2,2）,3x-y-4=0化目标函数z=3x+2y为 =-由图可知，当直线 =一 2.二 过 A（2,2）时，直线在y 轴上的截距最大，2 2z 有最大值：10.故选：C.【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.4.（4 分）祖眶是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幕势既同，则积不容异”称为祖晒原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体=助，其 中 S 是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示（单位：cm

11、）,则该柱体的体积（单位：cn?）是（）正视图 侧视图俯视图A.1 5 8 B.1 6 2 C.1 8 2 D.3 2 4【考点】L!：由三视图求面积、体积.【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为直五棱柱，由两个梯形面积求得底面积，代入体积公式得答案.【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为直五棱柱，底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积求解，即 S五边形ABCDEV（4+6）X 3 卷（2+6）x 3=2 7,高为6,则该柱体的体积是V=2 7 X 6=1 6 2.故 选:B.【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题.5.（4 分）若“0,b

12、0,贝 I a+b W 4”是“a bW4”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件.【分析】充分条件和必要条件的定义结合均值不等式、特值法可得结果【解答】解：Va0,b 0,+后 2 ，若“=4,b-t 则 cib=1 4,4但 +6=4+24,4即a b W 4推不出a+W4,：.a+b4是a b W 4的充分不必要条件故选：A.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，均值不等式，考查了推理能力与计算能力.6.（4 分）在同一直角坐标系中，函数y=log”（X+L）（4 0 且。#1）的图象可,-

13、X 9【考点】3A：函数的图象与图象的变换.【分析】对。进行讨论，结合指数，对数的性质即可判断；【解答】解：由函数y=O ga（x+1），x9a乙当。1 时，可得y=1-是递减函数，图象恒过（0,1）点,xa函数)，=1意“(x+L),是递增函数，图象恒过(L 0)；2 2当1 “0时，可得y=_ 是递增函数，图象恒过(0,1)点，Xa函数y=l o g a (x+L),是递减函数，图象恒过(.0);2 2满足要求的图象为：。故选：D.【点评】本题考查了指数函数，对数函数的图象和性质，属于基础题.7.(4分)设随机变量X的分布列是X0a1P 3 3则当在(0,1)内增大时，()A.D(X)增大

14、 B.D(X)减小C.D(X)先增大后减小 D.D(X)先减小后增大【考点】C G：离散型随机变量及其分布列.【分析】方差公式结合二次函数的单调性可得结果【解答】解：E(X)=0 xL+a xl _+l xL=L,3 3 3 3D(X)=(a+1)2义1_+(a -a+1)2xl.+(1-a+1)2xJ _3 3 3 3 3 3V 0 a l,：.D(X)先减小后增大故选：D.【点评】本题考查方差的求法，利用二次函数是关键，考查推理能力与计算能力，是中档题.8.(4分)设 三 棱 锥V-A 8 C的底面是正三角形，侧棱长均相等，尸是棱侬上的点(不含端 点).记直线P 8与直线4 c所成角为a,

15、直 线P 8与平面A B C所成角为由 二面角P-A C-B的平面角为丫，则()A.0V Y，a y B.0V a,p y C.p a,y a D.a (3,y p【考点】M J：二面角的平面角及求法.【分析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成角、直线和平面所成角和二倍角的概念和计算，解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小，充分运用图象，则可事半功倍，【解答】解：方法一、如 图 G为 AC的中点，丫在底面的射影为0,则尸在底面上的射影。在线段A。上，作 Q E _ L A C 于 E,易得P E VG,过 P作尸F A C 于 F,过。作。”AC,交 B G

16、于 H,则 a=/8 P F,B=N P BD,y Z P E D,则 c o s a=2=殴=理 理 _=c o sB，可得 p F=t a n 0,可得 0 丫，E D B D方法二、由最小值定理可得0 a,记 Y-AC-B的平面角为V (显然V=Y),由最大角定理可得p Y=y；方法三、(特殊图形法)设三棱锥V-A B C 为棱长为2 的正四面体，P为例的中点，1 返 返易得 c o s a=-=Y ,可得 si n a=Y 3,s i n 0=-=Y ,s i n y=-=,V 3 6 6 V 3 3 VI 32故选：B.n【点评】本题考查空间三种角的求法，常规解法下易出现的错误的有：

17、不能正确作出各种角，未能想到利用“特殊位置法”，寻求简单解法.x,x 0.-办-b 恰有3个零点，则()A.a -,b 0 B.a 0 C.a -,b -,b 0【考点】57：函数与方程的综合运用.【分析】当 x 0,y=f(x)-a x-b Q,+8)上递增，y=f(x)-o r-最多一个零点.不合题意；当”+1 0,即 4 0 得 xe +l,+8),函数递增，令 y vo 得 x e0,a+1),函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数y=f(x)-a x-b恰 有3个零点u函数y=f(尤)-o x -b在(-8,0)上有一个零点，在0，+8)上有2个零点，如右图：-b 0且,1 。，

18、1-a y(a+l )3-(a+l)(a+1)2 _b0解得匕0,1 -0,b-X (a+1)3.6【点评】本题考查了函数与方程的综合运用，属难题.1 0.(4 分)设 a,bER,数列“满足“i=4,an+i=a,+b,/?G N ,则()A.当 寸，a i()1 0 B.当匕=工时，aH)1 02 4C.当 b=-2 时，a i o l OD.当。=-4 时，a(o l O【考点】8 H：数列递推式.【分析】对于B,令乂2 _入=0,得入=1，取a,，得到当6=4,a i o l O；对于C,令，-入-2=0,得人=2或入=-1,取“1=2,得到当6=-2时，|01 0；对于D,令/-入-

19、4=0,得 入J 士 后,取a.J+后,得到当人=-4时，0 0 y (a3=(a2+y)a q a 4+a 2普).去 力工1，当时，0 t L=a n+2 _ l+L=W,由此推导出犯 (W)6,16 1 6 an an 2 2 a4 2从而i o 上空 1 0.64【解答】解：对于B,令乂2-入=0,得人=,取多飞寺，an=y1 0，当人=1寸，1()1 0,故3错误；4对 于C,令，-入-2=0,得入=2或入=-1,取。1=2,.*.6/2=2,，an=2 1 0,当力=-2时，t zi o l O,故C错误；对于。，令，-入-4=0,得 人 一 土、了”_ _ 2 _取 aa i=1

20、 *ao=-17，&71.1 0,l-2 a2-2 a n-2.当 匕=-4时,a i o a 3 =(a 2+/)2 6a/(/a 4 +,a 2?,3 )x 2 +,丁1 记 9？,1 飞1 7 f，。+1-0,Cln 增 f当24 时，-t L=a“+2 _ l+L=W,an an 2 2(3)6,m o 侬1 0.故 4 正确.a4 2 64a9 2故选：A.【点评】本题考查命题真假的判断，考查数列的性质等基础知识，考查化归与转化思想,考查推理论证能力，是中档题.二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共 36分。1 1.（4分）复数z=1 （i为虚数单位），

21、则 团=_义2 _.【考点】A 5：复数的运算；A 8：复数的模.【分析】利用复数代数形式的除法运算化简，然后利用模的计算公式求模.【解答】解：z=1-i 1 1.(1+i)(1-i)-2 22-VI.-2故答案为：返.2【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数模的求法，是基础题.1 2.（6分）已知圆C的圆心坐标是（0,机），半径长是r.若直线2 x-y+3=0与圆C相切于点 A （-2,-1）,则 ni=-2 ,r_【考点】J 7：圆的切线方程.【分析】由题意画出图形，利用圆心与切点的连线与切线垂直列式求得修，再由两点间的距离公式求半径.【解答】解：如图，2xk3=02 2圆

22、心 为（0,-2）,则半径 r=J（-2-0 ）2+（_+2 ）2=1 .故答案为：-2,J g.【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是基础题.13.（6分）在二项式（扬x）9展开式中，常 数 项 是16出,系数为有理数的项的个数是5 .【考点】D A：二项式定理.【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得常数项；再由2的指数为整数求得系数为有理数的项的个数.9-r【解答】解：二项式（、历）9的 展开式的通项为丁武广（近）x=2 C gXr-由/=（）,得常数项是丁 =1仅历；当r=l,3,5,7,9时，系数为有理数，系数为有理数的项的个数是5个.故答案为

23、：1仅回,5.【点评】本题考查二项式定理及其应用，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题.14.（6 分）在A BC 中，NA 8 C=9 0 ,A B=4,B C=3,点。在线段 4 c 上，若N B D C=4 5 ,则 8。=.12匹 ,cos Z A B D=I 2Z l.5 10【考点】H T：三角形中的几何计算.【分析】解直角三角形A B C,可 得si n C,co sC,在三角形B C D中，运用正弦定理可得B D；再由三角函数的诱导公式和两角和差公式，计算可得所求值.【解答】解：在直角三角形A 8 C 中，A 8=4,BC=3,AC=5,si n C=A,5在 BCD 中，可得

24、=ED,可得三返；sinC 52Z C B D=13 5 -C,si n Z CBD=si n (13 5 -C)=返(co sC+si n C)(A+A)_ 2 2 5 5二 述10 _即有 co sNA BQ=co s(9 0 -/C B D)=s i n N C B D=L,10故答案为：三 返，丸 0,5 10【点评】本题考查三角形的正弦定理和解直角三角形，考查三角函数的恒等变换，化简整理的运算能力，属于中档题.2 215.（4分）已知椭圆三_+=1 的左焦点为尸，点尸在椭圆上且在x轴的上方.若线段PF9 5的中点在以原点。为圆心，|Of 为半径的圆上，则直线P F的斜率是_，访 _.

25、【考点】K 4：椭圆的性质.【分析】求得椭圆的a,b,c,e,设椭圆的右焦点为尸，连接尸E,运用三角形的中位线定理和椭圆的焦半径半径，求得P 的坐标，再由两点的斜率公式，可得所求值.2 2【解答】解：椭圆2 一+工一=1 的 a=3,by/S c2,e,9 5 3设椭圆的右焦点为F,连接尸/L线段尸 尸的中点4在以原点。为圆心，2 为半径的圆，连接 AO,可得|PF|=2|A O|=4,设尸的坐标为（?，），可得3-2W=4,可得,*=-,3 2 2由 尸（-2,0）,可得直线P尸的斜率为【点评】本题考查椭圆的定义和方程、性质，注意运用三角形的中位线定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题.1

26、6.(4分)已知“6 R,函数/(x)=a x3-x.若存在正R,使得/C+2)-/?)区2,则3实数。的最大值是 A.一【考点】3 H：函数的最值及其几何意义.【分析】由题意可得|a (z+2)3-(r+2)化为 12a (3 r2+6/+4)-2|l,可得可得a的最大值为&.3 3故答案为：1.3【点评】本题考查不等式成立问题解法，注意运用去绝对值和分离参数法，考查化简变形能力，属于基础题.17.（6分）已知正方形4 B C O 的边长为1.当每个人2,3,4,5,6）取遍1时,I入 1 A B+入 2 BC+入 3 CD+M D A+苑 A C+法BD I 的 最 小 值 是 0 ，最大

27、值是，虫【考点】9 1：向量的概念与向量的模；9 B：向量加减混合运算.【分 析】由 题 意 可 得 获+菽=正，BD=A D -AB，A B-A D=0,化简.|A i A B+入 2 B C+入 3 0M D A+入 5 A C+M B D=J（入-3+1 56 6）2+（1 2 6 4+入 5+入 6）2 由于无（=1入 3,4,5,6）取遍 1,由完全平方数的最值，可得所求最值.【解答】解：正方形A 8C。的边长为1,可 得 标+屈=正，B D=A D -A B-A B-A D=0,|A|A B+A2 B C+A3 C D -A 4 D A+A5 A C+A 6 B D=|XIA B+

28、A2AD-A3A B-M/入 5 晶 苑 亟 崩屈一居 前=1（入入 3+入 5-居）A B+（入 2-心+入5+及）A d_ J（1 _，3+1 5 .6）2+（:2 入4+1 5+.6产由于为（=1,2,3,4,5,6）取遍1,可得入1 -入 3+入 5 -相=0，入 2-M+入 5+乂=0，可取入5 =及=1,入 1=入 3=1,入 2=1 M=l,可得所求最小值为0；由 人 -入 3+入 5 -法，入 2-M+入 5+法 的最大值为4,可取入 2=1，M=-1 入 5 =乂=1 入 1 =1,入 3=-1可得所求最大值为2代.故答案为：0,275-BD【点评】本题考查向量的加减运算和向

29、量的模的最值求法，注意变形和分类讨论，考查化简运算能力，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共7 4分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18.(14 分)设函数/(x)=s in x,xR.（I ）已知。日0,2n）,函数/（x+0）是偶函数，求。的值；（I I）求函数 y=/（X+2L）2+/-（X+2L）2 的值域.12 4【考点】H 6：正弦函数的奇偶性和对称性.【分析】（1）函数f （x+6）是偶函数，则8=3-+k兀（依Z）,根 据8的范围可得结果；（2）化简函数得y=Y l s in（2x工）+1，然后根据x的范围求值域即可.2 6【解答】解：（1）由f （x）=s i

30、n x,得f(x+9 )=s in (x+0),:/(x+8)为偶函数，.8=4+k j r (%ez),v ee O,2n),2 2(2)y=/(x+2L)+v(x+2L)212 4=sin(x+-)+sin(x+-)12 4n1-C 0S C 2X+-T-)=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 62l-co s(2x+-)2=i 1/兀.兀 、1 (co s 2x co s_-_ s in 2x s irr -s in 2x)=3 .D a 9 +1-s m 2 x-co s 2 x+1_ V 3 /TT、-s in(2xz b.R,I，1L6Ay=sin(2x-)+lE函数)，=

31、/(x+)2+/-(X+-)2 的值域为：1 二叵,12 4 L i 2【点评】本题考查了三角函数的奇偶性和三角函数的图象与性质，关键是熟练掌握三角恒等变换，属基础题.19.(15 分)如 图，己知三棱柱 ABC-A1SC1，平面 A/CCi_L 平面 ABC,ZABC=90 ,ZBAC=30,AA=AC=AC,E,尸分别是 AC,AB1的中点.(I)证明：EFLBC；(I I)求直线所与平面A/C 所成角的余弦值.【考点】LW：直线与平面垂直；M I：直线与平面所成的角.【分析】法一：(I)连结4 E,则 AE_LAC,从而AE_L平面ABC,A E LB C,推导出8 c L 4 凡 从而

32、 BC_L平面AEF由此能证明EFLBC.(II)取 BC中点G,连结EG、G F,则 EG M i是平行四边形，推导出从而平行四边形EG布 是矩形，推导出BCL平面EGEAi，连结4 G,交EF于O,则NEOG是直线EF与平面AiBC所成角(或其补角)，由此能求出直线EF与平面AiBC所成角的余弦值.法二：(I)连结A iE,推导出A iE,平面A 8 C,以 E 为原点，EC,E A 所在直线分别为y,z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线EF与平面A|8C所成角的余弦值.【解答】方法一：证明：(I)连结AE,：AA=AC,E 是 AC的中点，：.AiEAC,又平面AiACQJ_平

33、面A8C,AiEu平面A1AC。，平面 AACCi D 平面 ABCAC,；.A1E_L平面 ABC,：.AELBC,：AF/AB,NABC=90,：.BCLAF,J.B C m A iE F,J.EFLBC.解：（I I ）取B C中点G,连结E G、G F,则EGFA是平行四边形,由于&E_L平面A B C,故4E_LEG,平行四边形EG布 是矩形，由（I ）得 BC_L 平面 EGFA,则平面AiBC_L平面EGFAi，.EF在平面418 c上的射影在直线A G上,连结A G,交E F于0,则N E O G是直线E F与平面AiBC所 成 角（或其补角）,不妨设 A C=4,则在 Rt

34、ZV h EG 中，A|=2A/3，G=百,是A|G的中点，故E O=O G=2 1 9=Y正，2 2.CS/E O G=E O2+O G2-E G2=W,2 X E 0 X 0 G 5二直线E F与平面ABC所成角的余弦值为芭.5方法二:证明：（I ）连结AE,：AAAC,E是A C的中点，：.AELAC,又平面 A14CG J平面 ABC,4 y3,1），AC,n=y7 z=0sin0=y n_!=A,|EF Iln l 5直线E F 与平面A|BC所成角的余弦值为W.5【点评】本题考查空间线面垂直的证明，三棱锥体积的计算.要证线面垂直，需证线线垂直，而线线垂直可以通过平面中的勾股定理、等

35、腰三角形的性质等来证明，也可以通过另外的线面垂直来证明.求三棱锥的体积经常需要进行等积转换，即变换三棱柱的底面.2 0.(15分)设等差数列 为 的前项和为S,”“3=4,a4=53.数列 与 满足：对每个“6N*,Sn+bn,S+1 +bn Sn+2+b”成等比数列.(I )求数列 斯，瓦 的通项公式;(II)记 Cn=n”e N*,证明：C1+C2+Cn2 5/ii，CN*.【考点】8 1：数列与函数的综合.【分析】(I)利用等差数列通项公式和前八项和公式列出方程组，求出“1=0,d=2,从而 a”=2 w-2,wG N.S”=2 -”,eN,利 用(Sn+i+瓦)?=(Sn+bn)(S”

36、+2+b“),能求出bn-(ID c i-=,I 2 n-2=,I n-1-C N*,用数学归纳法证明，得至 IJC1+C2+n 丫2bn V2n(n+1)Vn(n+1)【解答】解：(I )设数列 斯 的公差为d,a/2 d=4由题意得I 1,a1+3d=3 a/3 d解得。1=0，d2,an=2n-2,.2 *:Sn=n-，wG N，,数列仍 满足：对每个坯N*,Sn+b,S+1+B，S+2+与成等比数歹人：(S+i+b)2=(Sn+bn)(S+廿bn)，解 得 盯3（$0 5肝2）解得 hn=n1+n,.用数学归纳法证明:当 =1时，c i=0 2,不等式成立；假 设 =匕（kW N*）时

37、不等式成立，即C+c，2+Ck2 j,则当n=k+1时,c I+C2+Ck+c%+1 2-0）的焦点.过点尸的直线交抛物线于A,B两点，点C在抛物线上，使得 AB C的重心G在尤轴上，直线A C交x轴于点。,且。在点尸的右侧.记AFG,C Q G的面积分别为S i，S2.（I ）求p的值及抛物线的准线方程；（I I）求的最小值及此时点G的坐标.S2【分析】(I)由抛物线的性质可得：2=1,由此能求出抛物线的准线方程；2(II)设 A(右,)%)，B(x,y/j),C(%c c)，重心 G(XG，)，令=2力 fWO,2 2则 XA=t 2,从而直线AB的方程为x=W L y+l，代入,=4 x

38、,得：y2 2(t -1)y_ Q,求出-2),由重心在x 轴上，得至iJ2t +y c=。，从而C(L _ t)2,2(1 _”)，G(2 t-2 t +2,0),进雌直线 AC 的方程为y-2 f=2f(x-F),得 o),由3 t 2此结合已知条件能求出结果.【解答】解：(1 )由抛物线的性质可得：艮=1,2=2,抛物线的准线方程为元=-1；(II)设 A(以，珈)，B(XB，ye),C(xc，yc)，重心 G(XG，VG)，令班=2。存 0,则 x 尸 f2,A+2.由于直线A 8过凡 故直线A 8的 方 程 为 _Ly+1，2t2代入=4 x,得：y2_2(t 二l)y_4=0,.2

39、tyn=-4,即 yn=-.B(-,-),t t2 t又 XG=L(XA+XB+XC),yc=(yA+ys+yc)，重心在 x 轴上，3 32 t-j-+yc=0,：.C(上 丑)2,2 2”，G(2tj-2 t2+2 0)t t 3 t2直线A C的方程为y-2 r=2/(x-/)，得。(广-1,。)，Q在焦点F的右侧，二上2,.三 阳 川=.小 2 f lQ G|-|yc|卜2 T 工2 t l t。t4-l乙 3 t 2 t令 m=F -2,则，0,互=2 -=2-1 2 2 -=1+返，S2 m2+4 ir r t-3 n r +4 +4 2m V i n.当时，且 取 得最小值为1+

40、返，此 时G(2,0).S9 2【点评】本题考查实数值、抛物线标准方程的求法，考查三角形的面积的比值的最小值及相应点的坐标的求法，考查抛物线、直线方程、重心性质、弦长公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题.2 2.(1 5分)已知实数0片0,设函数f(x)x 0.(I )当a=-3时，求函数/G O的单调区间；4(I I)对任意x H-,+8)均有了(X)wYM,求4的取值范围.e2 2 a注：e=2.71 8 2 8 为自然对数的底数.【考点】6 B：利用导数研究函数的单调性.【分析】(1)当 a=-当 九 f(x)=-号-H,=(V_2)利4 4 x 2A/1+X

41、4XA/1+X用导数性质能求出函数/G)的单调区间.(2)由/(x)WL,得O V a W返，当O V a W返 时，/(x)wYL等 价 于 立.-空 运2 a 4 4 4 a a 2 a-2/n x O,令，=上，则/2加,设 g (/)=/_ 1+x -21 nx9 t 2企,则g值范围.2-%-2阮v,由此利用分类讨论思想和导导数性质能求出a的取V X【解答】解：(1)当。=-时，/(x)=-1 inx+V l+x0f(X)=-3 +1 =(V I T -2)(2 V I 7+I)4 x 2A/1+4XV 1+X函数f (x)的单调递减区间为(0,3),单调递增区间为(3,+8).(2)由f (x)WL,得 0 a忘 返，2 a 4当 0 0 V x故q (x)在 当 上 单 调 递 增，:.q(x)W q(二)，巳 7 7由 得 q(-L)=-B-p(I.)-(1)=0,：.q(x)0,由(i)(z 7)知对任意工日-,+8),隹 2&,+8),g(r)20,e即对任意+8),均有/(x)-29A综上所述,所求的的取值范围是(0,【点评】本题考查函数的单调性、导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力.