八年级初二数学上册--12.3-角的平分线的性质(第1课时)-【教学课件PPT】.pptx

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1、12.3 12.3 角平分线性质角平分线性质（第（第1 1課时）課时）人教版人教版 数學数學 八年级八年级 上册上册ABDCE 下图是一个平分角仪器下图是一个平分角仪器,其中其中AB=AD,BC=DC.将点将点A放在角顶点放在角顶点,AB和和AD 沿着角两边放下沿着角两边放下,沿沿AC画一条射线画一条射线AE,AE 就是这个角平分线就是这个角平分线,你能说明它道理吗你能说明它道理吗?导入新知导入新知3.熟练地运用熟练地运用角平分线性质角平分线性质解决实际问解决实际问题题.1.學会學会角平分线角平分线画法画法.2.探究并认知探究并认知角平分线性质角平分线性质.素养目标素养目标 在纸上在纸上画一个

2、角画一个角,你能得到这个角平分线吗你能得到这个角平分线吗?用量角器度量用量角器度量,也可用折纸方法也可用折纸方法 如如果果把把前前面面纸纸片片换换成成木木板板、钢钢板板等等,还还能能用用对对折方法得到木板、钢板角平分线吗折方法得到木板、钢板角平分线吗?探究新知探究新知知识点 1角平分线画法角平分线画法问题问题1:问题问题2:提炼图形提炼图形探究新知探究新知 如图如图,是一个角平分仪是一个角平分仪,其中其中AB=AD,BC=DC.将点将点A放在角顶点放在角顶点,AB和和AD沿着角两边放下沿着角两边放下,沿沿AC画一条射线画一条射线AE,AE就是角平分线就是角平分线,你能说明它道理吗你能说明它道理

3、吗?ABC(E)D其依据是其依据是SSS,两全等三角形两全等三角形对应角相等对应角相等.探究新知探究新知问题问题3:【思考思考】如果没有此仪器如果没有此仪器,我们用数學作图工具我们用数學作图工具,能实能实现该仪器功能吗现该仪器功能吗?ABO 请大家找到用尺规作角平分线方法请大家找到用尺规作角平分线方法,并说明作并说明作图方法与仪器关系图方法与仪器关系.提示提示(1)已知什么已知什么?求作什么求作什么?(2)把平分角仪器放在角两边把平分角仪器放在角两边,仪器顶点与角顶点仪器顶点与角顶点重合重合,且仪器两边相等且仪器两边相等,怎样在作图中体现这个过怎样在作图中体现这个过程呢程呢?(3)在平分角仪器

4、中在平分角仪器中,BC=DC,怎样在作图中体现这怎样在作图中体现这个过程呢个过程呢?(4)你能说明为什么你能说明为什么OC是是AOB平分线吗平分线吗?探究新知探究新知做一做做一做ABMNCO已知已知:AOB.求作求作:AOB平分线平分线.仔细观察步骤仔细观察步骤 作角平分线是最作角平分线是最基本尺规作图基本尺规作图,大家大家一定要掌握噢一定要掌握噢!作法作法:（1）以点）以点O为圆心为圆心,适当长为半径适当长为半径画弧画弧,交交OA于点于点M,交交OB于点于点N.（2）分别以点）分别以点M,N为圆心为圆心,大于大于 MN长为半径画弧长为半径画弧,两弧在两弧在AOB内部相交于点内部相交于点C.（

5、3）画射线画射线OC.射线射线OC即为所求即为所求.半径小于半径小于 MN或等于或等于 MN,可以吗可以吗?探究新知探究新知已知已知:平角平角AOB.求作求作:平角平角AOB角平分线角平分线.结论结论:作平角平分线方法就是过直线上一点作这条直作平角平分线方法就是过直线上一点作这条直线垂线方法线垂线方法.ABOC探究新知探究新知1.操操 作作 测测 量量:取取 点点 P三三 个个 不不 同同 位位 置置,分分 别别 过过 点点 P作作PDOA,PEOB,点点D,E为为垂垂足足,测测量量PD,PE长长.将将三三次次数据填入下表数据填入下表:2.观察测量结果观察测量结果,猜想线段猜想线段PD与与PE

6、大小关系大小关系,写出结果写出结果:_ PD PE 第一次第一次第二次第二次 第三次第三次 COBAPD=PEpDE OC是是AOB平分线平分线,点点P是射线是射线OC上任意一点上任意一点.猜想猜想:角平分线上点到角两边距离相等角平分线上点到角两边距离相等.角平分线性质角平分线性质知识点知识点 2探究新知探究新知已知已知:如图如图,AOC=BOC,点点P在在OC上上,PDOA,PEOB,垂足分别为垂足分别为D,E.求证求证:PD=PE.PAOBCDE证明证明:PDOA,PEOB,PDO=PEO=90.在在PDO和和PEO中中,PDO=PEO,AOC=BOC,OP=OP,PDO PEO(AAS)

7、.PD=PE.角平分线上点到角两边距离相等角平分线上点到角两边距离相等.探究新知探究新知验证猜想验证猜想一般情况下一般情况下,我们要证明一个几何命题时我们要证明一个几何命题时,可以按照类可以按照类似步骤进行似步骤进行,即即1.明确命题中明确命题中已知和求证已知和求证;2.根据题意根据题意,画出图形画出图形,并用并用数學符号数學符号表示已知和求证表示已知和求证;3.经过分析经过分析,找出由已知推出要证结论途径找出由已知推出要证结论途径,写出证明过程写出证明过程.探究新知探究新知 归纳总结归纳总结u性质定理性质定理:角平分线上点到角两边距离相等角平分线上点到角两边距离相等.u应用所具备条件应用所具

8、备条件:（1）角平分线）角平分线;（2）点在该平分线上）点在该平分线上;（3）垂直距离）垂直距离.u定理作用定理作用:证明线段相等证明线段相等.u应用格式应用格式:OP 是是AOB平分线平分线,PD=PE推理理由有三个推理理由有三个,必必须写完全须写完全,不能少了不能少了任何一个任何一个.PDOA,PEOB,BADOPEC探究新知探究新知判一判判一判:（1）如下左图如下左图,AD平分平分BAC（已知）已知）,=,()在角平分线上点到这个角两边距离相等在角平分线上点到这个角两边距离相等BD CDBADC(2)如上右图如上右图,DCAC,DBAB （已知）（已知）.=,()()在角平分线上点到这个

9、角两边距离相等在角平分线上点到这个角两边距离相等BD CDBADC缺少缺少“垂垂直距离直距离”这一条件这一条件缺少缺少“角角平分线平分线”这一条件这一条件探究新知探究新知如图如图,在在ABC中中,B,C平分线交于点平分线交于点O,ODAB于点于点D,OEAC于点于点E,则则OD与与OE大小关系是大小关系是()A.ODOE BODOEC.ODOE D不能确定不能确定B巩固练习巩固练习例例1已知已知:如图如图,在在ABC中中,AD是它角平分线是它角平分线,且且BD=CD,DEAB,DFAC.垂足分别为垂足分别为E,F.求证求证:EB=FC.ABCDEF证明证明:AD是是BAC角平分线角平分线,DE

10、AB,DFAC,DE=DF,DEB=DFC=90.在在RtBDE 和和 RtCDF中中,DE=DF,BD=CD,RtBDE RtCDF(HL).EB=FC.探究新知探究新知 角平分线性质应用角平分线性质应用素养考点素养考点 1如图如图,已知已知:OD平分平分AOB,在在OA,OB边上取边上取OAOB,PMBD,PNAD,垂足分别为垂足分别为M,N.求证求证:PMPN.证明证明:OD平分平分AOB,12,又又OAOB,ODOD,AODBOD,34,又又PMDB,PNDA,PMPN.(角平分线上点到角两边距角平分线上点到角两边距离相等离相等)巩固练习巩固练习例例2 如如图图,AM是是BAC平平分分

11、线线,点点P在在AM上上,PDAB,PEAC,垂足分别是垂足分别是D,E,PD=4cm,则则PE=_cm.BACPMDE4提示提示:存在两条垂线段存在两条垂线段直接直接 应应用用.探究新知探究新知利用角平分线性质求线段长度利用角平分线性质求线段长度素养考点素养考点 2ABCP如图如图,在在RtABC中中,AC=BC,C90,AP平分平分BAC交交BC于于点点P,若若PC4,AB=14.（1）则点）则点P到到AB距离为距离为_._.D4提示提示:存在一条垂线段存在一条垂线段构造应用构造应用.巩固练习巩固练习1.应用角平分线性质应用角平分线性质:存在存在角平分线角平分线涉及涉及距离问题距离问题2.

12、联系角平分线性质联系角平分线性质:面积面积周长周长条件条件利用角平分线性质所得到等量关利用角平分线性质所得到等量关系进行转化求解系进行转化求解探究新知探究新知 归纳总结归纳总结如图如图,B=C=90,M是是BC中点中点,DM平分平分ADC,且且ADC=110,则则MAB=（）（）A30B35C45D60BN连接中考连接中考2.ABC中中,C=90,AD平分平分CAB,且且BC=8,BD=5,则点则点D到到AB距离是距离是 .ABCD3E1.如图如图,DEAB,DFBG,垂足分别是垂足分别是E,F,DE=DF,EDB=60,则则 EBF=度度,BE=.60BFEBDFACG課堂检测課堂检测基基

13、础础 巩巩 固固 题题3.用尺规作图作一个已知角平分线示意图如图所示用尺规作图作一个已知角平分线示意图如图所示,则能说明则能说明AOC=BOC依据是（依据是（）A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上点到角两边距离相等角平分线上点到角两边距离相等ABMN NCOA課堂检测課堂检测4.如图如图,OP平分平分AOB,PCOA,PDOB,垂足分别是垂足分别是C,D,下列结论中错误是下列结论中错误是()A.PCPD B.OCODC.CPODPO D.OCPCD5.如图如图,AD是是ABC角平分线角平分线,DEAB,垂足为垂足为E,SABC7,DE2,AB4,则则AC长是长是()A6 B5 C

14、4 D3DBCEADF課堂检测課堂检测EDCBA68101.在在RtABC中中,BD平分平分ABC,DEAB于于E,则则:(1)哪条线段与哪条线段与DE相等相等?为什么为什么?(2)若若AB10,BC8,AC6,求求BE,AE长和长和AED 周长周长.解解:(1)DC=DE.理由如下理由如下:角平分线上点到角两边距离相等角平分线上点到角两边距离相等.（2）在）在RtCDB和和RtEDB中中,DC=DE,DB=DB,RtCDB RtEDB(HL),BEBC=8.AEABBE=2.AED周长周长=AE+ED+DA=2+6=8.能能 力力 提提 升升 题题CD課堂检测課堂检测2.如如图图所所示示,D

15、是是ACG平平分分线线上上一一点点DEAC,DFCG,垂垂足足分别为分别为E,F.求证求证:CECF.证明证明:CD是是ACG平分线平分线,DEAC,DFCG,DEDF.在在RtCDE和和RtCDF中中,RtCDE RtCDF(HL),CECF.課堂检测課堂检测如图如图,已知已知ADBC,P是是BAD与与ABC平分线交点平分线交点,PEAB于于E,且且PE=3,求求AD与与BC之间距离之间距离.解解:过点过点P作作MNAD于点于点M,交交BC于点于点N.ADBC,MNBC,MN长即为长即为AD与与BC之间距离之间距离.AP平分平分BAD,PMAD,PEAB,PM=PE.同理同理,PN=PE.P

16、M=PN=PE=3.MN=6.即即AD与与BC之间距离为之间距离为6.拓拓 广广 探探 索索 题题課堂检测課堂检测角平分线角平分线尺尺规规作作图图属于基本作图属于基本作图,必须熟练掌握必须熟练掌握性性质质定定理理一个点一个点:角平分线上点角平分线上点;二距离二距离:点到角两边距离点到角两边距离;两相等两相等:两条垂线段相等两条垂线段相等辅辅助助线线添添加加过角平分线上一点向两边作过角平分线上一点向两边作垂线段垂线段課堂小结課堂小结为证明线段相等为证明线段相等提供了又一途径提供了又一途径課后作业課后作业作业内容教材作业从課后习题中选取从課后习题中选取自主安排配套练习册练习配套练习册练习七彩課堂七彩課堂 伴你成长伴你成长