全概率公式与逆概率公式.pptx

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1、会计学1全概率公式与逆概率公式全概率公式与逆概率公式*3、事件的独立性显然 P(A|B)=P(A)这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概率,这时称事件A、B独立.A=第二次掷出6点，B=第一次掷出6点，例如 将一颗均匀骰子连掷两次，设第1页/共39页定义 若两事件A、B满足P(AB)=P(A)P(B)则称A、B独立，或称A、B相互独立.1）设A、B是两事件，若A、B独立，则 P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B).反之亦然.性质2）若事件 相互独立，则也相互独立.3）若 个事件是相互独立的，则有第2页/共39页例6 如果幼儿在学语前就失聪，则很难学会说话，故有“十聋九哑”一说

2、，表明失聪与失语的关系.那么，辨音能力是否也影响辨色能力呢？临床积累的资料见表：耳聋（A）非聋（）合计色盲（B）0.00040.07960.0800非色盲（）0.00460.91450.9200合计0.00500.99501.0000解 两者是否相互联系可由事件A和B是否相互独立 来判断.已知由于故A与B相互独立，从而推断两种状态无联系.第3页/共39页例7 甲、乙两名射手同时向一个目标进行射击，甲命中率为0.6，乙命中率为0.5，求目标被击中的概率。解 设另解 第4页/共39页例8 某种彩票每周开奖一次，每次中大奖的概率是十万分之一，若你每周买一张彩票，尽管你坚持买了十年，（每年52周），试

3、求你从未中过大奖的概率。解 设第5页/共39页第6页/共39页主要内容主要内容n n一、全概率公式n n二、逆概率公式第7页/共39页一、全概率公式定理 设事件两两互不相容，且若则对任一事件B都有-全概率公式B第8页/共39页在较复杂情况下直接计算P(B)不易,但B总是伴随着某个Ai出现，适当地去构造这一组Ai往往可以简化计算.全概率公式的来由,不难由上式看出:“全”部概率P(B)被分解成了许多部分之和.它的理论和实用意义在于:第9页/共39页 某一事件B的发生有各种可能的原因(i=1,2,n)，如果B是由原因Ai所引起，则B发生的概率是 每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B

4、发生概率的总和，即全概率公式.P(B)=P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai)全概率公式.我们还可以从另一个角度去理解第10页/共39页 由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.全概率公式表达了它们之间的关系.A1A2A3A4A5A6A7A8B诸Ai是原因B是结果第11页/共39页全概率公式的使用全概率公式的使用全概率公式的使用全概率公式的使用我们把事件我们把事件我们把事件我们把事件B B看作某一过程的结果，看作某一过程的结果，看作某一过程的结果，看作某一过程的结果，根据历史资料，每一原因发生的概率

5、已知，而且每一原因对结果的影响程度已知，则我们可用全概率公式计算结果发生的概率第12页/共39页例1 设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的。且甲、乙、丙三厂生产该种X光的次品率依次为1/10、1/15、1/20，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，求取得的X光片是次品的概率。解第13页/共39页例1 设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的。且甲、乙、丙三厂生产该种X光的次品率依次为1/10、1/15、1/20，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，求取

6、得的X光片是次品的概率。解第14页/共39页第15页/共39页例2 某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，三地的供货量分别占40%、35%和25%，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65、0.70和0.85，求从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率.解 第16页/共39页解 由全概率公式：第17页/共39页该球取自哪号箱的可能性最大?实际中还有下面一类问题，是“已知结果求原因”这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小.某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.1231红4白或者问

7、:第18页/共39页二、逆概率公式例3 如果在 例1 中已知抽到的X光片是次品，求该次品是由甲厂、乙厂、丙厂生产的概率。解第19页/共39页例3 如果在 例1 中已知抽到的X光片是次品，求该次品是由甲厂、乙厂、丙厂生产的概率。解第20页/共39页定理 设完备事件组，且则在事件B已发生的情况下，的条件概率为上式就是贝叶斯公式，又称为逆概率公式.第21页/共39页 贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生的最可能原因.该公式于1763 年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.第22页/共39页BayesBayes

8、BayesBayes公式的使用公式的使用公式的使用公式的使用我们把事件我们把事件我们把事件我们把事件B B看作某一过程的结果，看作某一过程的结果，看作某一过程的结果，看作某一过程的结果，根据历史资料，每一原因发生的概率已知，而且每一原因对结果的影响程度已知，如果已知事件B已经发生，要求此时是由第 i 个原因引起的概率，则用Bayes公式返回主目录第23页/共39页例4 用血清诊断肝癌，临床实践表明，患肝癌的病人中有95%试验呈阳性，也有2%的非肝癌患者化验呈阳性。若将此法用于人群肝癌普查，设人群中肝癌患病率0.2%，现某人在普查中化验结果呈阳性，求此人确患肝癌的概率。解 令A=被化验者确患肝癌

9、症；B=被化验者结果呈阳性；第24页/共39页解 令A=被化验者确患肝癌症；B=被化验者结果呈阳性；第25页/共39页现在来分析一下结果的意义2.检出阳性是否一定患有癌症?1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率P(A)=0.002 若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为 P(AB)=0.087 从0.002 增加到0.087，将近增加约43倍.有意义第26页/共39页2.检出阳性是否一定患有癌症?试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为 P(AB)=0.087 即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有8.7%

10、(平均来说，1000 个人中大约只有87人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认.第27页/共39页例5 在某一季节，疾病的发病率为2%，病人中40%表现出症状S，疾病的发病率为5%，其中18%表现出症状S，疾病的发病率为0.5%，症状S 在病人中占60%。问任意一位病人有症状S 的概率有多大？病人有症状S时患疾病的概率各有多大？解 由全概率公式得：第28页/共39页由逆概率公式得第29页/共39页贝叶斯公式在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai|B)分别称为原因的先验概率和后验概率.P(Ai)(i=1,2,n)是在没有进一步信息（不知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认

11、识.当有了新的信息（知道B发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。第30页/共39页小结：全概率公式贝叶斯公式它们是加法公式和乘法公式的综合运用,同学们可通过进一步的练习去掌握它们.值得一提的是，后来的学者依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法，叫作“贝叶斯统计”.可见贝叶斯公式的影响.第31页/共39页作作 业业预习预习 第三章第三章第32页/共39页例1 设某种动物由出生算起活到12岁以上的概率为0.8，活到20岁以上的概率为0.4。如果现在有一个12岁的这种动物，问它能活到20岁以上的概率是多少？解 设A表示“能活到12岁以上

12、”,B表示“能活到20岁以上”.则由已知从而所求的概率为第33页/共39页 例2 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？解 将三人编号为1，2，3，所求为 记 Ai=第i个人破译出密码 i=1,2,3已知,P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4 =1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3)第34页/共39页 练习 假定患有疾病 中的某一个的人可能出现症状 中一个或多个，其中 S1=食欲不振 S2=胸痛 S3=呼吸急促 S4=发热现从20000份患有疾病 的病历卡中统计得到下列数字：疾病疾病人数人数出现出现S S中一个或几个症状中一个或几个症状人数人数 775075005250420070003500第35页/共39页试问当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时，在没有别的可依据的诊断手段情况下，诊断该病人患有这三种疾病中哪一种较合适？解 以A表示事件“患者出现S中的某些症状”,表示事件“患者患有疾病 ”（i=1，2，3），由于该问题观察的个数很多，用事件的频率作为概率的近似是合适的，由统计数字可知第36页/共39页从而第37页/共39页由贝叶斯公式可得从而推测病人患有疾病 较为合理。第38页/共39页