数学常用公式及常用结论.pdf

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1、高中数学常用公式及常用结论1.关 系：元素与集合x A=x仁 CLJA,x G CfjA。x e A 2.包含与被包含关系ACB=A AJB=B=A=B=人 口 品 比=C u A U 8 =R3.集合%,%,4 的子集个数共有2 n个；真子集有21个；非空子集有2”7 个；非空的真子集有2”-2个.4.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式/(x)=ax2+Z?x+c(a w 0)；(2)顶点式/(x)=(x-/)2+A:(a0)j(3)零点式f(x)=a(x-xl)(x-x2)(a 0).5.方程/U)=o 在(%l，&2)上有且只有一个实根,与于(C0不等价，前者是后者的一个必要而不是充

2、分条件.特别地，方程ax1+bx+c-0(。*0)且只有一个实根在(匕，左2)内,等价于/(W2)o,或/(匕)=0且匕 _(k，或/(左2)=。且。0时，若 一。端，则2a(p)，/(q)；X=(屈p，q ,/O O m x =max /(P)，/(4),/O O m in =min /(P)，/(4)(2)当 a 0 时，若 x=-e P，d,则2a/。濡=mi n/(p)J(q),右 x=-p,q,则/(x)m a x=m a x/(p),/(q),/(x)m i n=m i n /(p),/().7.一元二次方程的实根分布依 据：若/(!)/()m2(2 )方程 x)=0在区间()内有

3、根的充要条件为/(M/()0或 加)=0m-P 0(3)方程/(幻=0在区间(-00,)内有根的充要条件为/(!)0-0 o _”2)0 0 /(x)在口力-t增 函 数；(x,-x2)/(x,)-/(x2)0 o,则/a)为 增 函 数；如果 rw 0,4 H1)(4)幕函数fM =x,f(xy)=/(x)/(y),/(l)=a.(5)余弦函数/(x)=cosx,正弦函数g(x)=sinx,/(x-y)=/(y)+g(x)g(y),X29.几个函数方程的周期(约定a0)(1)f(x)=f(x+a),则 f (x)的周期T=a;(2)/(x)=/(x+a)=0,或/(x+a)=上(/(x)H

4、O),/(x)或/()=-1(/孙/(x)或;+(%)-/2(X)=/(x+),(/()e 0,1)，则/(尤)的周期T=2a;(3)/u)=i-(f(x)*0)，则/(X)的周期 T=3a;f(x+a)(4)且f(a)=l(f(xl)-f(x2)l,0 lxl-x21 0,m,N*,n 1(2)7目n 1ana 0,rn,n e N*).31.根式的性质(1)(标)=a.(2)当为奇数时，G当为偶数时 9 a =l a l=a,a-a,a32.有理指数幕的运算性质(1)ar-as=ar+s(a O,r,se Q).(2)(相)=a(a O,r,sw Q).(3)(.)，=arb a 0,b

5、0,r 。).注：若a0,p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数.上述有理指数幕的运算性质，对于无理数指数幕都适用.33.指数式与对数式的互化式l o g.N=/?Q=N(a 0,a w 1,N0).34.对数的换底公式l o g N =bg1 N(。0,且。工1,加 o,且加w i,N 0),l o g,a推论 l o g“”=3 og“bma 0,-S.a 1 ,m,nQ,-S.n/Al,w l,N0)，35,对数的四则运算法则若 a0,M0,N0,则(1)Io g(MN)=l o g M+l o g N j(2)l o g(,y=l o gA/-l o g(,/V ；(3)l o g

6、M=n l o gn M (n G R)3 6.设函数/(x)=l o g,”(a x2+hx+c)(a H 0),l己 -b2-4a c .若小)的定义域为R,则“0，且A 0，且A2对于 的情形，需要单独检验.3 7 .对数换底不等式及其推广若心。,-L则函数y =1呜3)a(1 )当a 匕 时，在(0)和(L+o o)上y =10 g o为增a a函数.,(2)当。时，在(0,-)和(-,+00)上 y =l o g“x S x)为减a a函数.推论:设 m 1 ,p 0,。0,-S-a 1 ,贝U(1)(2)l o g,“+p(+)l o g,”.2 m +nl o g(,m l o

7、g l o gf l3 8 .平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ,平均增长率为p ,则对于时间X的总产值y ,有i(l +p)33 9.数列的同项公式与前n项的和的关系“卜 =】(数列 的 前n项的和为sn=ai+a2+-+an).40.等差数列的通项公式*an=a、+(n-T)d=dn+%dQiw N),其前n 项和公式为(1+),71(72-1),sn=-=)+5 d=O+(qd).2 241.等比数列的通项公式an=aqnx=X.q(ji N*)；q其前n 项的和公式为i-qnavq=q n%,q=T42.等比差数歹U (:%+1=qan+d,q=6(q H 0)的通项或s.=公

8、式为b+(n-l)d,q=1an=bqn+(d-b)q -d ；,q*i4-1其前n 项和公式为l)d,(q=1)43.分期付款（按揭贷款）每次还款行军用元（贷款a元,次还清，每（1 +Z?）-1 期利率为）44.常见三角不等式(1)右 x e(O,g,贝U sin x x tan x(2)右 xe(0,1o贝 I 1 sinx+cosx 1.45.同角三角函数的基本关系式qin 0sin2+cos2=l,，tan。-.tan 0-cotO=1 .cos。46.正弦、余弦的诱导公式.量兀、sm(+6T)=n(-1)2 sin a,M-l(-1)2 cos a,兀、cos(+a)=x+）,XR（

9、A,00,e为 常 数，且 A 0,3 0）的周期T 与。；函数y=ta n（s +e）大1+工,左c Z（A,CO,夕为吊数,2且 A0,u）0）的周期丁=951.正弦定理a b c-=-=-=2 R .sin A sin B sin C52.余弦定理a2=/?2+c2-2 hc co s A,h2=c2+Q2-2 c aco s B,c2-c r+/72-2 a bco sC .53.面积定理(1)5=飙=；她=口(4、分别表示a、b、c 边上的高).(2，)S=L b sin C =4 c sin A =L a s in 8.2 2 2(3)S.OAB-(O A O B f-(OA O

10、B f 54.三角形内角和定理在ABC中，有 4+5+C=C=TT (A+B)=2 =三一1 .=2C=2乃-2G4+8).2 2 255.简单的三角方程的通解sin x=x=攵 +(-1)“arcsin(A E Z,l IK 1).cosx=ax=2k7rarccosa(k G Z,l l x=%乃 +arctan a(k e Z,a e R).特别地，有sin 6 Z =sin/?a =攵 乃+(1)人/(攵 G Z).cosa=c o s o a=2k兀 B也 e Z).tana=tan/3=a=k兀 +0(k G Z).56.最简单的三角不等式及其解集sinx a(a)x e (2k7

11、i+arcsin a,2k/r+7T-arcsin),k G Z sin x a(a o(l 21 1)x G(2k7i-arccos6Z,2k7r+arccos a),k E Z.cos xa(al)x e (2k 乃+arccos 2k 冗+2万一 arccos a),k wZ 71tan x a(a w R)=x w (我 万 +arctan a、k 冗 ),k e Z .冗tanx x e(我乃一,大 乃 +arctan a),k G Z.57.实数与向量的积的运算律设入、p为实数，那么(1)结合律：A(pa)=(Ap)a;(2)第一分配律：(A+p)a=Aa+pa;(3)第二分配律：

12、A(a+b)=Aa+Ab.58.向量的数量积的运算律：(1)ab=b-a(交换律)；(2)(xa)b=2 (ab)=%ab=a 2b);(3)(b)c=a c+b c.59.平面向量基本定理如果e j e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数入1、入 2，使得a=&ei+入 2e2.不共线的向量e j e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.60.向量平行的坐标表示设 a=（%,%）,b=（x2,y2）,且 b 工 0,则3 b(b 0)-x2yt=0.53.a与b的数量积(或内积)a-b=|a|b|cos0.61.a b的几何意义数量积a b等于a

13、的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos0的乘积.62.平面向量的坐标运算 设a=(x,y,),b=(x2,y2),则 a+b=(x,+x2,y,+y2).(2)设 a=(x,y1),b=(x2,y2),则 a-b=(X|-X2,y 1 -y2).（3）设 A（“）,B(X 2，%)(4)设 a=(x,y),4e R ,JU O 2S=(2 x,2 y).设 a=a，M),b=(x2，%),则 a,b=(x1x2+yty2).63.两向量的夹角公式cose一马 芸 必收+y；店式十UPJI)j b=(x2,y2).64.平面两点间的距离公式dAR=AB=yABAB=4 2-%)2 +(%

14、(A(Y，y),B(x2,y2).65.向量的平行与垂直设 a=(x,y,),b=(x2,y2),且 b.O,则A|I b b=入 a xy2-x2y1=0.ab(a0)ab=0=修+必当=0 66.线段的定比分公式设 (X|J),P2(.x2,y2),P(x,y)是线段 他 的分点是实 数，且肝=4理，则玉 +AX2.,1+2。而=也 乂 空%+4y 2 1 +Ay =-I 1 +4=OP tOP,+(l-t)OP267.三角形的重心坐标公式A B C 三个顶点的坐标分别为A(X-)、B(X2,y2)x C M，丫3),贝 U A B C 的重心的坐标是C卢+3 X+乃+乃)3 3.68.点

15、的平移公式X=x+/z y=y+kX=X-h oO P r =OP+PP:y=y-k注:图形F上的任意一点P(x,y)在平移后图形尸上的对应点为p(7),且港的坐标为(,2)69 按向量平移”的几个结论(1)点 P(x,y)按 向 量a=)平移后得到点P x +h,y+k).(2)函数 y =/(x)的图象c按 向 量a=(力 用 平移 后 得 到 图 象C ,则C的函数解析式为y=f(x-h)+k.(3)图象c按 向 量 平 移 后 得 到 图象C,若C的解析式尸小),则。的函数解析式为y=f(x +h)-k .(4)曲线 c/(x,),)=0按 向 量a=(力，幻 平移后得到图象C,则C的

16、方程为f(x-h,y-k)=0.(5)向 量m=(x,y)按向 量a=(/a)平移后得到的向量仍然为m=(X,y).7 0.三角形五“心”向量形式的充要条件设。为 AA5C所在平面上一点,角A,8,C所对边 长 分 别 为,则(1)0为 ABC 的外心OA=OB=OC2.(2)o 为 ABC 的重心O A +OB+OC=Q .(3)o 为 MBC 的垂心O A O B =OBOC=OCOA.(4)o 为 ABC的内心 aOA+hOB+cOC=6.(5)0 为 M5C 的 ZA 的旁心 aOA=hOB+cOC.71.常用不等式：(1)a,b G R=a2+b2 lab(当且仅当a=b时取号)（2

17、 而（当且仅当a=b时取“二”号）(3)a3+b3+c3 3abc(a 0,b 0,c 0).(4)柯西不等式(a2+/?2)(c2+J2)(ac+bd,a,b,c,d G R.(5)a-ba+ba+b,72.极值定理已知。都是正数，则有(1)若积盯是定值P，则当X/时和x+y有最小值2万；(2)若和x+y是定值s,则当x=y时积盯有最大值少.4推广已知x,y&R,则有(x+y)2=(x-y)2+2xy(1)若积孙是定值，则当If最大时/x +田最 大；当lx y l最小时,lx+y l最小.(2)若和山+田是定值，则当小田最大时,I盯I最 小；当lx-y l最小时，I盯I最大.73.一 元二

18、次不等式+法 +0 0(或 0)(aH0,A=/_ 4 a c0),如果。与ax2+c 同号，则其解集在两根之外；如果“与加+bx+c异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之 外，异号两根之间.x xx2 o (x-x1)(x-x2)0(玉 x2),x x2 (x-x,)(x-x2)0(X,0 时，有x a x2 a2 o -a x a o x2 a2 x a x Jg(x)o，g(x)2 0./(x)g(x)f/(x)0(2)yf(x)g(x)0 或 U/W 0(3)Jl(x)0.,/(x)i时，a”/(x)g(x)；f(x)0log J(X)log“g(x)=g(x)0./(x)g(x

19、)(2)当。”1 时,八)=/(x)0log J(X)log”g(x)o，g(x)0/(尤)a na =七 二A 4 +B、B?(/:Atx+C,=0,/2:A2X+B2y+C2=0,&A,+BB1 0)直线/j 时，直线4到4的角是会82.四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点尸0(X。,0)的直线系方程为y-y i(x f)(除直线。),其中女是待定的系数；经过定点A(X(j,Jo)的直线系方程为 A(x-xo)+B(-yo)=O,其中A,5是待定的系数.(2)共 点 直 线 系 方 程：经过两直线/1:A/+8 y+G=。,I):Ax+82)+。2 =0的交点的直线系方程为(卷

20、+町+0+亚为+吃+6心。(除,J，其中人是待定的系数.(3)平行直线系方程：直 线 中 当 斜率 k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程.与 直 线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+2=0(/INO),人是参变量.(4)垂直直线系方程：与直线Ax+By+C=0(A*0,B0)垂直的直线系方程是Bx Ay+X=0,是参变量.83.点到直线的距离d=J ,(点(%,%),直线 I Ax+By+C=0).VA2+B284.Ax+By+C 0或 0所表示的平面区域设直线I:Ax+By+C=0,贝(J Ax+8y+C0 或 0)=o4A25应 HO),则(Ax+8y+C)(A2X+C2

21、)0或 0所 表 示 的 平 面 区 域上 下 两 部 分；+C,)(A2x+B2y+C2)0).(3)圆的参数方程F =+r co se.y=b +rsm0(4 )圆 的 直 径 式 方 程(X 一 玉)(工 一 2)+(，%)(,一/2)=0(圆的直径的端点是的办)、5(x2,y2).8 7.圆系方程(1)过点4 3,必),B(x2,y2)的圆系方程是(x-x1)(x-x2)+(y-yl)(y-y2)+A(x-xl)(y1-y2)-(y-yl)(x1-x2)=0(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)+2(a x+c)=0,其中 a x-b y+c =0 A t直线”的方程，入是

22、待定的系数.(2)过直线I:Ax+By +C=0 与 圆C :x2+y2+Dx +Ey+F=0的 交 点 的 圆 系 方 程 是/+/2 +m+份+/+/1W+为+0 =0,入是待定的系数.过圆Gx2 4-y2+2 x +y +耳=0 与 圆C*2 +y +Dx+E)y+F?0的 交 点 的 圆 系 方 程 是x +y +Z)jX +4 y+4+4(无 2 +D x +E 2 y+居)=0，人是待定的系数.88.点与圆的位置关系点 P(x。，%)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2 的位置关系有三种右 d =y/(a-x0)2+(b-y0)2,贝 Ud r =点P在圆夕木；d=r o 点P在圆

23、上；d r 相离 o A 0；d-r 相切 A=0,d r o 相交 A 0.其中TS等90.两圆位置关系的判定方法设 两 圆 圆 心 分 别 为,。2 ,半径分别为r1，2 ,|a q|=dd 八+G =外 离 =4条公切线,d =4+G=外切o 3条公切线,|八-4 d 八+G=相 交 2条公切线；d=卜-3 内切 1条公切线，0 c de小一|。内含 无公切线.91.圆的切线方程（1）已知圆x2+y2+Dx+Ey+F =0 .若已知切点（x。,%）在 圆 上，则切线只有一条，其方程是w+%y+型/+号2+八0，当（%，%）圆外时，x（）x+D（x；+X）+矶,+2+尸=o表示过两个切点的

24、切点弦方程.过圆外一点的切线方程可设为y-y0=k（x-x0）,再利用相切条件求k,这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线.斜率为k 的切线方程可设为y.+b ,再利用相切条件求b,必有两条切线.(2)已知圆f+y 22.过 圆 上 的K G，%)点的切线方程为2-斜 率 为 人 的 圆 的 切 线 方 程 为y=kxrJl+k2.92.椭圆 0 +今=1(。/?0)的 参 数 方 程 是a b.x=a co s 3V y=b sin093.椭 圆=1(。匕 0)焦半径公式a b2 2P Ft=e(x+-),|PF2|=e(-x).94.椭圆的的内外部(1)点 PL 在椭EU+1=l

25、(a 0)的内部a b r2,2a1 b2(2 )点 尸(X。,打)在椭圆f=l(a /?0)的外部2 2o 咚+鸟1.a2 h295.椭圆的切线方程椭圆,+上一点P(x。,)处的切线方程是誓+要=1.cr b-(2)过 椭 圆%=l(a/?0)外 一 点产(%,为)所引两条切线的切点弦方程是(3)椭圆营=l(a&0)与直线 Ax+By+C=0相切的条件是A2a2+B2b2=c2.96.双曲线f=l(a0,Z?0)的焦半径公式2 2|P|=le(x+t)1,PF2=e(-x)l.97.双曲线的内外部(1)点 PCW o)在双曲线=l(aO,bO)的内部a2 24 i.a2 b-(2)点 产(%

26、,%)在 双 曲 线=l(a 0,Z?0)的外部a b2 2 -7To ,焦点在X轴 上，k 0）外一点 P（x。,%）所引两条切线的切点弦方程是xx a2 b2（3）双曲线4=l（a0,b0）与直线 Ax+By+C-0相切的条件是A2a2.B2 b 2=c2.1 00.抛物线yj 2Px的焦半径公式抛物线 2=2Px（p 0）焦半径|CF|=X（）+y过焦点弦长|C D|=%1 +g+X 2 +；=X +x2+p.1 01 .抛物线y 2=2p x上的动点可设为P（F，%）2P或 P（2p产,2pf）或 P（x“y。），其中 y l =2 p x 0.1 02.二次函数y=ax2+Z?x+c

27、=df(x+)2 (w0)2a 4。的图象是抛物线:(1)顶点坐标为(一看?卢);(2)焦点的坐标为(吃,若 产);(3)准线方程是 y =4ac-l.4a1 03.抛物线的内外部 点 P(x。,为)在 抛 物 线y2=2px(p0)的内部 y2 0).点P(x0,y0)在 抛 物 线y2=2 p x(p 0)的 外 部=y2 2px(p 0).(2)点 P(x 0,)o)在抛物线 y2=-2p x(p 0)的内部 y2 0).点 P(X o，%)在 抛 物 线p x(p。)的 外 部 y2 -2px(p 0).(3)点 p(x。,)在 抛 物 线x1=2py(p 0)的内部=x2 0).点P

28、(x0,y0)在 抛 物 线x2=2py(p 0)的 外 部=x2 2py(p 0).(4)点 尸(/，九)在抛物线x2-2py(p 0)的内部=x2 0).点P C W)在 抛 物 线x2=-2py(p 0)的 外 部o M -2py(p 0).104.抛物线的切线方程(1)抛物线)=2Px 卜 JvA(入。,光)处的切线方任xn川日E =p(x+x0).(2旭抛物线 y2=2 px外 一 点 尸(玉)，%)所引两条切线的切点弦方程是%y=p(x+M)-(3触物线 y2=2px(p 0)与直线 Ax+By+C=0相切的条件是pB2=2AC.105.两个常见的曲线系方程(1)过曲线/1(x,y

29、)=0,f2(x,y)=0的交点的曲线系方产日工(X,)，)+之 力(x,y)=0(4为参数).(2)共 焦 点 的 有 心 圆 锥 曲 线 系 方 程二-F=1,中 k min6Z2,/72 时，表示a-k b-k椭圆；当 mina2,/?2 k 2)2 或|/1 5|=(1+2)(%2-X)2=1%1 -x21 A/1+tan2 a=1 yt-y21 Jl+cot2 a(弓 玄”而 卢 人 区 出 工 台 区,为)，由方程匕kx+：消去y得到F(x,y)=0.ax2+foc+c=0,A 0,dz为直线”的倾斜角，k为直线的斜率).1 0 7.圆锥曲线的两类对称问题(1 )曲线F(x,y)=

30、Q关于点P a。，%)成中心对称的曲线是F(2xQ-x,2yo-y)=O.(2)曲线F(x,y)=0关于直线Ax+By+C=0 成轴对称的曲线是 2A(Ax+By+C)25(Ax+5v+C)、八F(x-53-，y-5-)=0.A2+B2 A2+B2108.“四线”一方程对于一般的二次曲线Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F 0用守代F ,用先y代丁 ,用包 产 代.，用 牛 代x,用 婚 代y即得方程AX)X+B.X +X+Cy(y+D +X+E.+y+F ，曲线的切线,切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.109.证明直线与直线的平行的思考途径(1)转化为判定共面二直线无交点；(2)转

31、化为二直线同与第三条直线平行；(3)转化为线面平行；(4)转化为线面垂直；(5)转化为面面平行.110.证明直线与平面的平行的思考途径(1)转化为直线与平面无公共点；(2)转化为线线平行；(3)转化为面面平行.111.证明平面与平面平行的思考途径(1)转化为判定二平面无公共点；(2)转化为线面平行；(3)转化为线面垂直.112.证明直线与直线的垂直的思考途径(1)转化为相交垂直；(2)转化为线面垂直；(3)转化为线与另一线的射影垂直；(4)转化为线与形成射影的斜线垂直113.证明直线与平面垂直的思考途径(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直；(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直；(3)转化

32、为该直线与平面的一条垂线平行；(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面；(5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.114.证明平面与平面的垂直的思考途径(1)转化为判断二面角是直二面角；(2)转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律(1)加法交换律：a+b=b+a.(2)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c).(3)数乘分配律:A(a+b)=Aa+Ab.116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.117.共线向量定理对空间任意两个向量a、b(b*O),a

33、|b存在实数入使a=Ab.尸、A 、8 点 共 线o APWAB o APtAB o OP(1 -t)O A +tOB.AB II CO 0部、方共线且 A B.CD 不共线o AB=tCD且A3、CD不共线.118.共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a、b 共面的o 存在实数对3 使 p-a x +b y .推论 空间一点P 位于平面MAB内的0 存在有序实数对 x,y,使而=xM A+yM B,或对空间任一定点0,有序实数对Q ,使OP=0 M +xM A+yM B.119.对空间任一点。和不共线的三点A、B、C,)两足而xVA+yOB+zOC(x+y+z=攵 )，则当g时，对于空间任

34、一点。，总 有 P、A、B、C四点共面；当k w l时，若O e平面ABC,则 P、A、B、C 四点共面；若。任平面ABC,则 P、A、B、C 四点不共面.A、B、C、D四点共面o布与最、7?共面=A。=xAB+yACOOD=（1 -x-y）OA+xOB+yOC（Oe 平面ABC）.120.空间向量基本定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组 x,y,z,p=xa+yb+zc.推论 设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数x,y,z,使而=疝+yOB+zOC.121.射影公式已知向量而二a和轴/,e是/上与/同方向的单位

35、向量.作A点在,上的射影A,作B点在/上的射影8 ,则A B T 而 I co s a,e=ae122.向量的直角坐标运算设B-（%,%,%）,b=（%也 也）贝U(1)a+b=a-b=(6 +,。2+82，。3+&),(q -ba2-b2,a3-b3),(3)Aa=(4。,4%,4。3)(AeR)；(4)a-b a)x+a2b2+a3b3,1 23.设 A(X,y,Z l)，B(x2,y2,z2),则AB=O B-O A (x2-x,y2-y,z2-z).124.空间的线线平行或垂直设。=(芭，4),b=(x2,y2,z2),则aPb a=尢帅，0)7?afy+612b2+a3b3+a；+a

36、；也 +b；+b；推论(aA +a2A+a3b3)2 (；+a：+a3+b；+b；)，此即三维柯西不等式.126.四面体的对棱所成的角四面体A B C D 中，A C与BD所成的角为明则c o s e J A 炉+5)-(叱+OK)I2 A C B D127.异面直线所成角CO S=ICO S(6!,/?)I二=UR+M r+qzzIa-b+.后 +婚(其中0(0 6 90)为异面直线岫所成角，温分别表示异面直线岫的方向向量)128.直线与平面所成角 a r c s in寻含仿为平面a的法向量).129.若AA5C所在平面若夕与过若的平面a成的角明另两边AC,5 c与平面a成的角分另(!是 仇

37、、*,A、B为ABC的两个内角，则sin2 Ox+sin2 02=(sin2 A+sin2 B)sin2 0.特别地，当N ACB=90。时，有sin2 0+sin2 02=sin2 0.130.若M BC所在平面若仅与过若A B的平面a成的角明另两边AC,5 c与平面a成的角分另(是4、02,A、B 为 A48O的两个内角，则tan2 4+tan2 O2=(sin2 A 4-sin2 B)tan2 0.特别地，当 ZAO6=90 时，有sin2 Oy+sin2 02=sin2 0.131.二面角a-l-P 的平面角0=arc cosm-nm-nIm II n I-arc cos m n(m,

38、n为平面a,p的法向量）.132.三余弦定理设AC是。内的任一条直线 且BCAC,垂足为C,又设A 0与A B所成的角为a,AB与AC所成的角为2 ,A 0与AC所成的角为0 .贝U cos 0=cos 4 cos 02.133.三射线定理若夹在平面角为。的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是仇血,与二面角 的 棱 所 成 的 角 是6,则 有sin2 夕sin2=sin2 优 +sin2%-2sin,sin%cos0,1优 一。2匕9180（4+4）（当且仅当 9 0时等号成立）.134.空间两点间的距离公式若 A（X，M，ZI）,B（x2,y2,z2）,则九 二 而 l=J而 而=

39、J-）2%）2 .135.点0到直线/距离/7=_ L j(l a l l b l)2 _(a/)2 (点p在直线/上,直线/的方a向向量a=而 ,向量b=而).136.异面直线间的距离公手(/是两异面直线，其公垂向量为Inl n,C、O分别是,/上任一点，.为间的距离).137.点B到平面a的距离公 匹 1 (为平面a的法向量，A5是经过I n I面a的一条斜线,A.a ).138.异面直线上两点距离公式d=Jh2+m2+n2+2mn cos 0 d=+/+/?-2mncosEA.AF.d=J/?2+加2+2-2 +cos(p=E-AA-F).(两条异面直线a、b 所成的角为0,其公垂线段

40、的长度为h.在直线a、b 上分别取两E、F,A E=m,AF=n,EF=d).139.三个向量和的平方公式 2 2 *2 (a+b+c)-a +b+c+2 /7+2 c +2c 2 *2 *2 /-t *i *=a+b+c+2 a-b cos(a,b)+2 b-c cos(Z?,c)+2lcl-ltzl cos(c,a140.长度为/的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为2，/一夹角分别为4、%”,则有I2=1；+/；+/；cos24+cos2%+8S2 a =1 sin2 4+sin2 O2+sin2 =2（立体几何中长方体对角线长的公式是其特 例）.141.面积射影定理s=-.co

41、s 6（平面多边形及其射影的面积分别是s、S,它们所在平面所成锐二面角的为。142.斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是/，侧面积和体积分别是s斜叱和1柱，它的直截面的周长和面积分别是G和，则S斜 棱 柱 侧=ctl.丫斜 棱 柱=SJ.143.作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行.144.棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距

42、离与棱锥高的平方比.145.欧拉定理（欧拉公式）V+F.E=2（简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F）.（1 ）各面多边形边数和的一半.特别地，若每个面的边数为的多边形，则 面 数F与棱数E的关系：E：江；2（2）若每个顶点引出的棱数为机，则顶点数V与棱数E的关系：2 山.1 46.球的半径是R,则其体积展刎，其表面积S=4次.1 47.球的组合体(1)球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3)球与正四面体的组合体：棱长为。

43、的正四面体的内切球的半径为务,外接球的半径为降.1 48.柱体、锥体的体积V柱 体(S是柱体的底面积、是柱体的高).“匆(S是锥体的底面积、是锥体的高).149.分类计数原理(加法原理)N =+机2 +,+机 .150.分步计数原理(乘法原理)N=mx x 加?x x加 151.排列数公式A：一以-1)(一加+1).(n，加 N,目 )(n-！汪:规定0!=1.152.排列恒等式(1)4=(-1)靖；(2)A 一A：T；n-m(3)A：=A：_；(4)A：=A：；-A：；(5)A，=A：+mA：T.(6)l!+22+3.3!+小!=(+l)!-l.153.组合数公式C产士二(1)-(_+1)=

44、_ _ I1,m w NA：1 x 2 x x？加！(-m)目 z n n).154.组合数的两个性质(1)c；=c r；(2)c：+c：-=c：+l.注:规定C：i.155.组合恒等式1 )_ 加+1 C”Tm(2)Cn =-Cn-Jn-m(3)fl.n m(4)t c：=T；r=0(5)c;+c.+c；+2+c：=c；：.(6)C：+C：+C；+C；+C,；=2.(7)c：+c：+c：+=c；+c；+c：+-T.(8)C；+2C；+3C；+C：=n2n-.(9)C +C丁C：+C C：=C；+n.（1 0）（C；）2+（C：）2+（C,：）2+,.+（C；）2=C,1 5 6.排列数与组合

45、数的关系A i ：.1 5 7 .单条件排列以下各条的大前提是从个元素中取,个元素的排列.（1 ）在位”与“不在位”某（特）元必在某位有婚种；某（特）元不在某位有用一 停；（补 集 思 想）=心心（着眼 位 置）=*+4.（着眼元素）种.（2 ）紧贴与插空（即相邻与不相邻）定位紧贴：女 人 旌 ）个元在固定位的排歹！有 种.浮动紧贴：个元素的全排列把k个元排在一起的排法有婚加种.注：此类问题常用 捆 绑 法；插空 两组元素分别有k、h 4 k!，!.)(5)(非平均分组无归属问题)将相异的P(P=n+n2+.+nm)个物体分为任忌的,%，“件无记号的加堆,且“，这加个数彼此不相等，则其分配方法

46、数有N=.%!%!.*”！(6)(非完全平均分组无归属问题)将相异的P(P=n+n2+.+n”)个物体分为任意的 1,件 无 记 号 的m堆,且勺，”.，这 ，个数中 分 别 有a、b、c、个 相 等，则其分配方（7）（限定分组有归属问题）将相异的（=+%,）个物体分给甲、乙、丙，.等加个人，物 体 必 须 被 分 完，如果指定甲得件，乙得 2件丙得3件，时则无论 ，时 等 ，个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有159.“错位问题”及其推广贝努利装错笺问题:信封信与个信封全部错位的组合数为“）=哈-吟 推广：个元素与个位置，其中至少有个元素错位的不同组合总数为f(小?)=!一 C,(-1)

47、!+戈(-2)!-C：(-3)!+C：(-4)!.+(-l)pC (n-p)!+-+(-l)raC：(n-m)!疝 口 _4+工_ 工+&-+(_ 1)&+(7)卬4 d A；A：A f 4 160.不定方程小+.f”=的解的个数(1)方程X+x2+-+xn=tn(=3)的正整数解有个.m-l(2)方程 无+x“=m(N*)的非负整数解 有 个.n+m-l(3)方程 石+马+x“=m(n,m wN*)满足条件七(入N*,2 4 i 4 一 1)的 非 负 整 数 解 有 个.(4)方程 x1+x2+-+xn=m(,m eN )满足条件xt k(k e N*,2 /00=1,2,-)；(2)6

48、+g+.=i.169.数学期望E=xiPl+x2P2+-+xnPn+-170.数学期望的性质(1)E M +b)=aE+b.(2)右 J B(,p),则.(3)若 自 服 从 几 何 分 布，且P 4=k)=g(k,p)=q ip ,贝 1 增=.P171.方差Og =(X|_.0 +(/_.P2+(x“-.“+172.标准差173.方差的性质(1)。(若+6)=4 速；(2)若J B(,p),则 Dg=p(l-p).(3)若 看 服 从 几 何 分 布，且P袈=k）=g（k,p）=q Jp ,则”=174.方差与期望的关系哈星（团 二175.正态分布密度函数小）=4）竽x e S+o o），

49、式中的实数U 4 b0）72兀6是参数，分别表示个体的平均数与标准差.176.标准正态分布密度函数1 -f3 =）e 2,XG（-C O,+O O）.177.对于N（Q2）,取值小于x的概率 日P（xx xo x2）=P（X X2）-px =1 _y=a+bx,中 b(x,一 亍/=1a=y-bxS(x,Kx-,)(苍-可(-歹)r_ i=l _ 7.|(七一元 (。一 了)2 J(Xx，2-2x Ex-2-y2)V /=1/=!V /=1 i=l|r|1,且|r|越接近于1 ,相关程度越大；|r|越接近于0,相关程度越小.180.特殊数列的极限C O l q l l(1)l im q =v

50、1 q-1 .不存在 1 41 1或9 =一10(kt)(3 )S=hm*L产(S无穷等比数列加小(.r0+182.函数的夹逼性定理如果函数f(x),g(x),h(x)在 点 xo的附近满 足：(1)g(x)f(x).V0 X-X0（常 数）,则 l i m y(x)=a .X f%本定理对于单侧极限和-0 0的情况仍然成立.183.几个常用极限(1)l i m-=0,l i m a =0(l a l x0 xf*o(1)变 x)g(x)=a b ,Q)师 xg(x)=a 力；li m4 4，(/-0).g(x)b )186.数列极限的四则运算法则右 l i m a.=a,l i m 2=8,