高考数学常用公式及结论.pdf

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1、高考数学常用公式及结论高考数学常用公式及结论编写：广东广雅中学编写：广东广雅中学何智何智献给即将高考的 20XX 届高三学生1熟悉这些解题小结论，启迪解题思路、探求解题佳径，防止解题易误点的产生，对提升数学成绩将会起到很大的作用。2所有定义、概念、公式、解题方法都须熟记，且应在弄清它们的来龙去脉后再熟记。1.元素与集合的关系：x A xCUA,xCUA x A.2.德摩根公式：CU(A3.包含关系B)CUACUB;CU(AB)CUACUB.AB A AB B A B CUB CUA ACUB CUAB R4.容斥原理card(AB)cardAcardB card(AB)card(ABC)car

2、dAcardBcardC card(AB)card(AB)card(BC)card(CA)card(ABC).5集合a1,a2,an的子集个数共有2n个；真子集有2n1 个；非空子集有2n1 个；非空的真子集有22 个.6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式f(x)ax bxc(a 0)；(2)顶点式f(x)a(xh)k(a 0)；(3)两根式f(x)a(x x1)(x x2)(a 0).7.解连不等式N f(x)M常有以下转化形式：N f(x)M f(x)M f(x)N 0；8.方程f(x)0在(k1,k2)上有且只有一个实根,与f(k1)f(k2)0不等价,前者是后者的一个必要而不是

3、充分条 件.特别 地,方 程ax bx c 0(a 0)有且 只有 一个实根 在(k1,k2)内,等价于222nk k2b“f(k1)f(k2)0”或“f(k1)0且k1 bk1 k2”或“f(k2)0且1 k2”22a2a29.闭区间上的二次函数的最值二次函数f(x)ax bx c(a 0)在闭区间p,q上的最值只能在x 2b处及区间的两端点处取2a得，具体如下：bbp,q，则f(x)min f(),f(x)maxmaxf(p),f(q)；2a2ab若x p,q，f(x)maxmaxf(p),f(q)，f(x)minminf(p),f(q).2abp,q，则f(x)min minf(p),f

4、(q)；(2)当 a0 时，若x 10.一元二次方程的实根分布依据：若f(m)f(n)0，则方程f(x)0在区间(m,n)内至少有一个实根.设f(x)x px q，则2p24q 0（1）方程f(x)0在区间(m,)内有根的充要条件为f(m)0或p m.2f(m)0（2）方程f(x)0在区间(m,n)内有根的充要条件为f(m)f f(m)0f(m)0f(n)0或或(n)0或2f(n)0p 4q 0ppm nm n22f(n)0.f(m)0pm n2（3）方程f(x)0在区间(,n)内有根的充要条件为fp24q 0.(n)0或p n2f(n)011.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据：(1

5、)在给定区间(,)的子区间L（形如,，,，,不同）上含参数的二次不等式f(x,t)0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)min 0(xL).(2)在给定区间(,)的子区间上含参数的二次不等式f(x,t)0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)man 0(xL).bb 0 0(3)f(x)ax bx c 0(a 0)恒成立的充要条件是 2a或.2ab24ac 0c 012.真值表非非或或且且真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假13.常见结论的否定形式原结论原结论反设词反设词原结论原结论反设词反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n个至多有（n

6、1）个小于不小于至多有n个至少有（n1）个p或qp且q对所有x，成立存在某x，不成立p且qp或q对任何x，不成立存在某x，成立14.四种命题的相互关系原命题互逆逆命题若则若则互互互为为互否否逆逆42否否否命题逆否命题若非则非互逆若非则非15.充要条件（1）充分条件：若p q，则p是q充分条件.（2）必要条件：若q p，则p是q必要条件.（3）充要条件：若p q，且q p，则p是q充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.16.函数的单调性(1)设x1 x2a,b,x1 x2那么f(x1)f(x2)0 f(x)在a,b上是增函数；x1 x2f(x1)f(x2)0 f(x)

7、在a,b上是减函数.(x1x2)f(x1)f(x2)0 x1 x2(2)设函数y f(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则f(x)为增函数；如果f(x)0，则f(x)(x1x2)f(x1)f(x2)0为减函数.17.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)g(x)也是减函数；如果函数y f(u)和u g(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数y fg(x)是增函数.18奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数1

8、9.若函数y f(x)是偶函数，则f(x a)f(x a)；若函数y f(x a)是偶函数，则f(x a)f(x a)，并且y f(x)关于x a对称.20.对于函数y f(x)(xR),f(x a)f(b x)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数x 个函数y f(x a)与y f(b x)的图象关于直线x a b;两2ba对称.2a21.若f(x)f(x a),则函数y f(x)的图象关于点(,0)对称；若f(x)f(x a),则函数2y f(x)为周期为2a的周期函数.nn122多项式函数P(x)anx an1x a0的奇偶性多项式函数P(x)是奇函数P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为

9、零.多项式函数P(x)是偶函数P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.23.函数y f(x)的图象的对称性(1)函数y f(x)的图象关于直线x a对称 f(a x)f(a x)f(2a x)f(x)(2)函数y f(x)的图象关于直线x ab对称 f(amx)f(bmx)f(abmx)f(mx)2m24.两个函数图象的对称性(1)函数y f(x)与函数y f(x)的图象关于直线x 0(即y轴)对称.(2)函数y f(mxa)与函数y f(bmx)的图象关于直线x ab对称.2m1(3)函数y f(x)和y f(x)的图象关于直线 y=x 对称.25.若将函数y f(x)的图象右移a、上移b

10、个单位，得到函数y f(x a)b的图象；若将曲线f(x,y)0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(x a,y b)0的图象.26互为反函数的两个函数的关系：f(a)b f1(b)a.127.若函数y f(kx b)存在反函数,则其反函数为y 1 f1(x)b，并不是y fk(kxb)，而函数1y f1(kxb)是y f(x)b的反函数.k28.几个常见的函数方程 (1)正比例函数f(x)cx,具有性质：f(x y)f(x)f(y),f(1)c.(2)指数函数f(x)a,具有性质：f(x y)f(x)f(y),f(1)a 0.(3)对数函数f(x)logax,具有性质：f(xy)f(x)f

11、(y),f(a)1(a 0,a 1).(4)幂函数f(x)x,具有性质：f(xy)f(x)f(y),f(1).(5)余弦函数f(x)cosx,正弦函数g(x)sin x，具有性质：f(x y)f(x)f(y)g(x)g(y)，g(x)f(0)1,lim1.x0 x29.几个函数方程的周期(约定 a0)（1）f(x)f(x a)，则f(x)的周期T a；（2）f(xa)f(x)或f(x a)x11(f(x)0),则f(x)的周期(f(x)0)或f(xa)f(x)f(x)T 2a；1,(f(x)1)，则f(x)的周期T 3a；1 f(x)f(x1)f(x2)(4)f(x1 x2)且f(a)1(f(

12、x1)f(x2)1,0|x1 x2|2a)，1 f(x1)f(x2)(3)f(xa)则f(x)的周期T 4a；(5)f(xa)f(x)f(xa)，则f(x)的周期T 6a.30.分数指数幂(1)amna（a 0,m,nN，且n 1）；(2)anmmn1amn（a 0,m,nN，且n 1）.31根式的性质nn（1）(na)a.（2）当n为奇数时，nan a；当n为偶数时，an|a|a,a 0.a,a 032有理指数幂的运算性质(1)aras ars(a 0,r,sQ)；(2)(a)a(a 0,r,sQ)；(3)(ab)rarbr(a 0,b0,rQ)33.指数式与对数式的互化式rsrslogaN

13、 b ab N(a 0,a 1,N 0).34.对数的换底公式logmN(a 0,且a 1,m 0,且m 1,N 0).logaN logma推论logamb nnlogab(a 0,且a 1,m,n 0,且m 1,n 1,N 0).mMn logaM logaN;(3)logaM nlogaM(n R).N35对数的四则运算法则若 a0，a1，M0，N0，则(1)loga(MN)logaM logaN;(2)loga2236.设函数f(x)logm(ax bx c)(a 0)，记 b 4ac.若f(x)的定义域为R,则a 0，且 0；若f(x)的值域为R,则a 0，且 0.【对于a 0的情形

14、，需要单独检验.】37.平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有y N(1 p).38.数列的通项公式an与前 n 项的和Sn的关系anxn 1S1,.SnSn1,n 2*39.等差数列的通项公式：an a1(n1)d dn a1d(nN)；n(a1an)n(n1)d1 na1d n2(a1d)n.2222ann1*40.等比数列的通项公式：an a1q1q(nN)；q其前 n 项和Sn公式为：Sna1(1qn)a1anq,q 1,q 11q其前 n 项的和公式为：Sn1q或Sn.na,q 1na,q 11141.等比差数列an:an1 qand,a

15、1 b(q 0)的通项公式为b(n1)d,q 1【用待定系数法来求】；anbqn(d b)qn1d,q 1q142常见三角不等式)，则sin x x tanx；(2)若x(0,)，则1 sin xcosx 2.22(3)|sin x|cos x|1.sin2243.同角三角函数的基本关系式：sincos1，tan=，tancot1.cos（1）若x(0,44.正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。nn2n(1)2cos,n为偶数(1)sin,n为偶数，nsin()cos()n1n122(1)2cos,n为奇数(1)2sin,n为奇数45.和角与差角公式sin()sincoscossin

16、;cos()coscostan tan.tan()1tantansinsin;asinbcos=a2b2sin()(辅助角所在象限由点(a,b)的象限决定,tan46.二倍角公式b).asin2 2sincos；cos2 cos2sin2 2cos2112sin2；2tan.tan21tan247.三倍角公式sin3 3sin4sin3 4sinsin()sin()；33cos3 4cos33cos 4coscos()cos()；333tantan3tan3 tantan()tan().13tan23348.三角函数的周期公式函数y sin(x)及函数y cos(x)的周期T 2；函数y ta

17、n(x)的周期T.49.正弦定理：50.余弦定理abc 2R（R为ABC的外接圆半径）.sin Asin BsinCa2 b2c22bccos A；b2 c2a22cacosB；c2 a2b22abcosC.51.面积定理111ahabhbchc（ha、hb、hc分别表示 a、b、c 边上的高）.2221111（2）S absinC bcsin A casin B；(3)SOAB(|OA|OB|)2(OAOB)2.2222（1）S 52.三角形内角和定理在ABC 中，有A BC C(A B)53.简单的三角方程的通解sin x a x k(1)arcsina(k Z,|a|1).cosx a

18、x 2karccosa(k Z,|a|1).kCA B 2C 22(A B).222tan x a x karctana(k Z,aR).特别地,有sin sin k(1)k(k Z).cos cos 2k(kZ).tan tan k(kZ).54.实数与向量的积的运算律：设、为实数，那么(1)结合律：(a a)=()a a;(2)第一分配律：(+)a a=a a+a a；(3)第二分配律：(a a+b b)=a a+b b.55.向量的数量积的运算律：（三个向量的数量积不满足结合律）(1)a ab=bb=ba a（交换律）;(2)（a a）b=b=（a ab b）=a ab b=a a（b

19、b）；(3)（a a+b+b）c=c=a ac+bc+bc.c.56.平面向量基本定理如果 e e1 1、e e2 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1、2，使得 a=a=1e e1+2e e2不共线的向量 e e1、e e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底基底57向量平行的坐标表示设 a a=(x1,y1),b b=(x2,y2)，则 a ab b x1y2 x2y1 0.53.a a与 b b 的数量积(或内积)a ab b=|a a|b b|cos58.a ab b 的几何意义：数量积 a ab b 等于 a a 的长度|a a|与 b b

20、 在 a a 的方向上的投影|b b|cos的乘积59.平面向量的坐标运算(1)设 a a=(x1,y1),b b=(x2,y2)，则 a+b=a+b=(x1 x2,y1 y2).(2)设 a a=(x1,y1),b b=(x2,y2)，则 a-b=a-b=(x1 x2,y1 y2).(3)设 A(x1,y1)，B(x2,y2),则AB OBOA(x2 x1,y2 y1).(4)设 a a=(x,y),R，则a=a=(x,y).(5)设 a a=(x1,y1),b b=(x2,y2)，则 a ab=b=(x1x2 y1y2).60.两向量的夹角公式公式x1x2 y1y2(a a=(x1,y1)

21、,b b=(x2,y2).cos2222x1 y1x2 y261.平面两点间的距离公式dA,B=|AB|AB AB(x2 x1)2(y2 y1)2 (A(x1,y1)，B(x2,y2).62.向量的平行与垂直设 a a=(x1,y1),b b=(x2,y2)，则a ab bb b=a a x1y2 x2y1 0；a ab ba ab=b=0 x1x2 y1y2 0.63.线段的定比分公式设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段P1P2的分点,是实数，且PP1PP2，则x1x211OP21OP OP（）.t(1t)OPOP tOP1211y1y2164.三角形的重心坐标公式A

22、BC 三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则ABC 的重心的坐标是x y G(x1 x2 x3y1 y2 y3,).3365.点的平移公式x xhx x h OP OP PP.y y ky y k注:图形 F 上的任意一点 P(x，y)在平移后图形F上的对应点为P(x,y)，且PP的坐标为(h,k).66.“按向量平移”的几个结论（1）点P(x,y)按向量 a a=(h,k)平移后得到点P(x h,y k).(2)函数y f(x)的图象C按向量 a a=(h,k)平移后得到图象C,则C的函数解析式为y f(xh)k.(3)图象C按向量 a a=(h,k)平

23、移后得到图象C,若C的解析式y f(x),则C的函数解析式为y f(xh)k.(4)曲线C:f(x,y)0按向量 a a=(h,k)平移后得到图象C,则C的方程为f(xh,yk)0.(5)向量 m m=(x,y)按向量 a a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m m=(x,y).67.三角形四“心”向量形式的充要条件，设O为ABC所在平面上一点，则（1）O为ABC的外心 OA OB OC.（2）O为ABC的重心 OAOBOC 0.（3）O为ABC的垂心 OAOB OBOC OCOA.（4）O为ABC的内心 aOAbOBcOC 0.(a,b,c为角A,B,C所对边长)68.常用不等式：（1）a,

24、bRa b 2ab(当且仅当 ab 时取“=”号)22222abab(当且仅当 ab 时取“=”号)2333（3）a b c 3abc(a 0,b 0,c 0).（2）a,bR（4）柯西不等式(a b)(c d)(acbd),a,b,c,d R.（5）a b a b a b.69.已知x,y都是正数，则有（1）若积xy是定值p，则当x y时和x y有最小值2 p；2222212s.422270.一元二次不等式ax bx c 0(或 0)(a 0,b 4ac 0)，如果a与ax bxc同号，则其2解集在两根之外；如果a与ax bxc异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两（2）若和

25、x y是定值s，则当x y时积xy有最大值根之间.x1 x x2(x x1)(x x2)0(x1 x2)；x x1,或x x2(x x1)(x x2)0(x1 x2).71.含有绝对值的不等式22当 a0 时，有x a x2 a a x a；x a x a x a或x a.272.无理不等式 f(x)0 f(x)0 f(x)0；（1）f(x)g(x)；（2）g(x)0f(x)g(x)或g(x)0f(x)g(x)f(x)g(x)2g(x)0 f(x)0（3）f(x)g(x).g(x)0f(x)g(x)273.指数不等式与对数不等式 f(x)0f(x)ag(x)f(x)g(x)；logaf(x)l

26、ogag(x)g(x)0(1)当a 1时,a；f(x)g(x)f(x)0f(x)ag(x)f(x)g(x)；logaf(x)logag(x)(2)当0 a 1时,ag(x)0f(x)g(x)74.斜率公式：k y2 y1（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）.x2 x175.直线的五种方程（1）点斜式y y1 k(x x1)(直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)（2）斜截式y kxb(b 为直线l在 y 轴上的截距).（3）两点式y y1x x1(y1 y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(x1 x2).y2 y1x2 x1xy(4)截距式1(a、b分别为直线的横、纵截距，

27、a、b 0)ab（5）一般式Ax ByC 0(其中 A、B 不同时为 0).76.两条直线的平行和垂直(1)若l1:y k1xb1，l2:y k2xb2l1|l2 k1 k2,b1 b2；l1 l2 k1k2 1.(2)若l1:A1x B1y C1 0,l2:A2x B2y C2 0,且 A2、B2、C2都不为零,l1|l2A1B1C1；l1 l2 A1A2 B1B2 0；A2B2C277.夹角公式：tan|k2k1|.(l1:y k1xb1，l2:y k2xb2,k1k2 1)1k2k1直线l1 l2时，直线 l1与 l2的夹角是78.l1到l2的角公式：tan.2k2k1.(l1:y k1

28、xb1，l2:y k2xb2,k1k2 1)1k2k1直线l1 l2时，直线 l1到 l2的角是.279四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为y y0 k(x x0)(除直线x x0),其中k是待定的系数；经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为A(x x0)B(y y0)0,其中A,B是待定的系数(2)共点直线系方程：经过两直线l1:A1x B1y C1 0,l2:A2x B2y C2 0的交点的直线系方程为(A1x B1y C1)(A2x B2y C2)0(除l2)，其中是待定的系数(3)平行直线系方程：直线y kxb中当斜率 k 一定而 b 变动

29、时，表示平行直线系方程与直线Ax ByC 0平行的直线系方程是Ax By 0(C)，是参变量(4)垂直直线系方程：与直线Ax ByC 0(A0，B0)垂直的直线系方程是Bx Ay 0,是参变量80.点到直线的距离：d|Ax0 By0C|A B22(点P(x0,y0)，直线l：Ax ByC 0).81.Ax ByC 0或0所表示的平面区域设直线l:Ax ByC 0，则Ax ByC 0或0所表示的平面区域是：若B 0，当B与Ax By C同号时，表示直线l的上方的区域；当B与Ax By C异号时，表示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若B 0，当A与Ax By C同号时，表示直线l的

30、右方的区域；当A与Ax By C异号时，表示直线l的左方的区域.简言之,同号在右,异号在左.82.圆的四种方程（1）圆的标准方程(xa)(y b)r.22（2）圆的一般方程x y Dx Ey F 0(D E 4F0).22222x arcos（3）圆的参数方程.y brsin（4）圆的直径式方程(x x1)(x x2)(y y1)(y y2)0【圆的直径的端点是A(x1,y1)、B(x2,y2)】.83.圆系方程(1)过 直 线l:Ax ByC 0与 圆C:x y Dx Ey F 0的 交 点 的 圆 系 方 程 是22x2 y2 Dx Ey F(Ax By C)0,是待定的系数2222(2)

31、过圆C1:x y D1x E1y F1 0与圆C2:x y D2x E2y F2 0的交点的圆系方程是x2 y2 D1x E1y F1(x2 y2 D2x E2y F2)0,是待定的系数84.点与圆的位置关系，点P(x0,y0)与圆(x a)(y b)r的位置关系有三种：222若d(a x0)(b y0)，则22d r 点P在圆外；d r 点P在圆上；d r 点P在圆内.85.直线与圆的位置关系直线Ax By C 0与圆(x a)(y b)r的位置关系有三种:222d r 相离 0；d r 相切 0；d r 相交 0.其中d Aa BbCA B22.86.两圆位置关系的判定方法，设两圆圆心分别

32、为O1，O2，半径分别为 r1，r2，O1O2 dd r1 r2 外离 4条公切线；d r1 r2 外切 3条公切线;r1r2 d r1r2 相交 2条公切线；d r1r2内切 1条公切线；0 d r1r2内含 无公切线.87.圆的切线方程(1)已知圆x y Dx Ey F 0若已知切点(x0,y0)在圆上，则切线只有一条，其方程是22D(x0 x)E(y0 y)F 0.22D(x0 x)E(y0 y)当(x0,y0)圆外时,x0 x y0y F 0表示过两个切点的切点弦方程22过圆外一点的切线方程可设为y y0 k(x x0)，再利用相切条件求 k，这时必有两条切线，x0 x y0y 注意不

33、要漏掉平行于 y 轴的切线斜率为 k 的切线方程可设为y kxb，再利用相切条件求b，必有两条切线(2)已知圆x y r2过圆上的P0(x0,y0)点的切线方程为x0 x y0y r；222斜率为k的圆的切线方程为y kxr 1k2.x acosx2y288.椭圆221(a b 0)的参数方程是.aby bsinx2y289.椭圆221(a b 0)焦半径公式：PF1 aex0，PF2 aex0.ab90椭圆的的内外部x2y2（1）点P(x0,y0)在椭圆221(a b 0)的内部abx2y2（2）点P(x0,y0)在椭圆221(a b 0)的外部ab91.椭圆的切线方程22x0y01.a2b

34、222x0y021.2abx2y2x xy y(1)椭圆221(a b 0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02021.ababx2y2x xy y（2）过椭圆221(a b 0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是02021.ababx2y222222（3）椭圆221(a b 0)与直线Ax ByC 0相切的条件是A a B b c.abx2y292.双曲线221(a 0,b 0)的焦半径公式：PF1|aex0|，PF2|aex0|.ab93.双曲线的方程与渐近线方程的关系x2y2x2y2b(1）若双曲线方程为221渐近线方程：22 0 y x.ababax2y2xyb (2

35、)若渐近线方程为y x 0双曲线可设为22.ababax2y2x2y2(3)若双曲线与221有公共渐近线，可设为22（0，焦点在 x 轴上；0，abab焦点在 y 轴上）.94.双曲线的切线方程x2y2x xy y(1)双曲线221(a 0,b0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02021.ababx2y2x xy y（2）过双曲线221(a 0,b0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是02021ababx2y222222（3）双曲线221(a 0,b0)与直线Ax ByC 0相切的条件是A a B b c.ab295.抛物线y 2px的焦半径公式p2抛物线y 2px(p 0

36、)焦半径CF x0.2pp过焦点弦长CD x1 x2 x1 x2 p.222y296.抛物线y 2px上的动点可设为 P(,y)或P(2pt2,2pt)或 P(x,y)，其中y2 2px.2pb24acb22)97.二 次函 数y ax bxc a(x（1）顶 点 坐标 为(a 0)的 图 象是抛 物 线：2a4ab4acb2b4acb214acb21(,)；,)；（2）焦点的坐标为(（3）准线方程是y.2a4a2a4a4a98.抛物线的内外部(1)点P(x0,y0)在抛物线y 2px(p 0)的内部 y 2px(p 0).点P(x0,y0)在抛物线y 2px(p 0)的外部 y 2px(p

37、0).(2)点P(x0,y0)在抛物线y 2px(p 0)的内部 y 2px(p 0).点P(x0,y0)在抛物线y 2px(p 0)的外部 y 2px(p 0).(3)点P(x0,y0)在抛物线x 2py(p 0)的内部 x 2py(p 0).点P(x0,y0)在抛物线x 2py(p 0)的外部 x 2py(p 0).(4)点P(x0,y0)在抛物线x 2py(p 0)的内部 x 2py(p 0).点P(x0,y0)在抛物线x 2py(p 0)的外部 x 2py(p 0).96.抛物线的切线方程（1）抛物线y 2px上一点P(x0,y0)处的切线方程是y0y p(x x0).2（2）过抛物线

38、y 2px外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是y0y p(xx0).22222222222222222（3）抛物线y 2px(p 0)与直线Ax ByC 0相切的条件是pB 2AC.2297.两个常见的曲线系方程(1)过曲线f1(x,y)0,f2(x,y)0的交点的曲线系方程是f1(x,y)f2(x,y)0(为参数)x2y221,其中k maxa2,b2；(2)共焦点的有对称中心的圆锥曲线系方程2a kb k222222当k mina,b 时,表示椭圆；当mina,b k maxa,b 时,表示双曲线.98.直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB(x1 x2)2(y1 y2)2或【AB(

39、1k2)(x2 x1)2|x1 x2|1 tan2|y1 y2|1cot2（弦端点 A(x1,y1),B(x2,y2)，为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率】.99.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线F(x,y)0关于点P(x0,y0)成中心对称的曲线是F(2x0 x,2y0 y)0.（2）曲线F(x,y)0关于直线Ax ByC 0成轴对称的曲线是F(x2A(Ax ByC)2B(Ax ByC),y)0.A2 B2A2 B2222100.“四线”一方程2对于一般的二次曲线Ax Bxy Cy Dx Ey F 0，用x0 x代x，用y0y代y，用x0y xy02代xy，用x0 xy y代x，用0代y即得

40、方程22x y xy0 x xy yAx0 x B0Cy0y D0 E0 F 0，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点222方程均可由此方程得到.101证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面两直线无交点；（2）转化为两条直线同时与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.102证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.103证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定两平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.104证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直

41、；（2）转化为线面垂直；（3）转化为该线与另一线的射影垂直；（4）转化为该线与形成射影的斜线垂直.105证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.106证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.107.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律(1)加法交换律：a ab b=b ba a(2)加法结合律：(a ab b)c c=a a(b bc c)(3)数乘分配律：

42、(a ab b)=a ab b108.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.109.共线向量定理对空间任意两个向量 a a、b b(b b0 0)，a ab b存在实数使 a a=b bP、A、B三点共线AP|ABAP tABOP (1t)OAtOB.AB|CDAB、CD共线且AB、CD不共线AB tCD且AB、CD不共线.110.共面向量定理向量 p p 与两个不共线的向量a a、b b 共面的存在实数对x,y,使p xa yb推论：空间一点 P 位于平面 MAB 内的存在有序

43、实数对x,y,使MP xMA yMB，或对空间任一定点 O，有序实数对x,y，使OP OM xMA yMB.111.对空间任一点O和不共线的三点 A、B、C，满足OP xOA yOB zOC（x y z k），则当k 1时，对于空间任一点O，总有 P、A、B、C 四点共面；当k 1时，若O平面 ABC，则 P、A、B、C四点共面；若O平面 ABC，则 P、A、B、C 四点不共面A、B、C、D四点共面AD与AB、AC共面AD xAB yACOD (1 x y)OA xOB yOC（O平面 ABC）.112.空间向量基本定理如果三个向量 a a、b b、c c 不共面，那么对空间任一向量 p p，

44、存在一个唯一的有序实数组 x，y，z，使 p pxa ayb bzc c推论：设 O、A、B、C 是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使OP xOA yOB zOC.113.射影公式已知向量AB=a a和轴l，e e 是l上与l同方向的单位向量.作 A 点在l上的射影A，作 B 点在l上的射影B，则AB|AB|cosa a，e e=a ae e114.向量的直角坐标运算设a a(a1,a2,a3)，b b(b1,b2,b3)则(1)a ab b(a1b1,a2b2,a3b3)；(2)a ab b(a1b1,a2b2,a3b3)；(3)a a(a1,a2,a3)

45、(R)；(4)a ab ba1b1a2b2a3b3；115.设 A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB OBOA=(x2 x1,y2 y1,z2 z1).116空间的线线平行或垂直设a (x1,y1,z1)，b (x2,y2,z2)，则x1x2a ba b(b 0)y1y2；a bab 0 x1x2 y1y2 z1z2 0.z z21117.夹角公式设a a(a1,a2,a3)，b b(b1,b2,b3)，则 cosa a，b b=a1b1a2b2a3b3a a a212223.23b b b21222222222推论(a1b1 a2b2 a3b3)(a1a2a3)(b1b2b

46、3)，此即三维柯西不等式.118异面直线所成角cos|cos a,b|=|ab|a|b|x1x2 y1y2 z1z2|x y zx2 y2 z2212121222b所成角，a,b分别表示异面直线a,b的方向向量）（其中（0 90）为异面直线a,119.直线AB与平面所成角 arcsinABm|AB|m|(m为平面的法向量).mn120.二面角l 的平面角 arccosmn或arccos（m，n为平面，的法向量）|m|n|m|n|121.三余弦定理设 AC 是内的任一条直线，且 BCAC，垂足为 C，又设 AO 与 AB 所成的角为1，AB 与 AC 所成的角为2，AO 与 AC 所成的角为则c

47、os cos1cos2.122.空间两点间的距离公式若 A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则dA,B=|AB|123.异面直线间的距离AB AB(x2 x1)2(y2 y1)2(z2 z1)2.|CDn|(l1,l2是两异面直线，其公垂向量为n，C、D分别是l1,l2上任一点，d为l1,l2间的距离).|n|124.点B到平面的距离|ABn|（n为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线，A）.d|n|d 125.异面直线上两点距离公式：d h2m2n22mncos（为二面角E AA F的大小）.(两条异面直线 a、b 所成的角为，其公垂线段AA的长度为 h.在直线 a、b 上分别取

48、两点 E、F，AE m,AF n,EF d).126.三个向量和的平方公式：(abc)2 a b c 2ab2bc2ca127.长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为l1、l2、l3，夹角分别为1、2、3,则有222l2l12l22l32 cos21cos22cos231 sin21sin22sin23 2.S128.面积射影定理：S.cos(平面多边形及其射影的面积分别是S、S，它们所在平面所成锐二面角的为).42129.的半径是 R，则其体积V R3,其表面积S 4R3130.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组

49、合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,(3)球与正四面体的组合体:棱长为a的正四面体的内切球的半径为6a,外接球的半径为6a412131.体、锥体的体积V柱体 Sh（S是柱体的底面积、h是柱体的高）1V锥体Sh（S是锥体的底面积、h是锥体的高）3132.分类加法原理（加法原理）N m1 m2 mn.133.分步计数原理（乘法原理）N m1m2mn.134.排列数公式Anm=n(n 1)(n m 1)=135.排列恒等式n！*.(n，mN N，且m n)注:规定0!1.(n m)！mm1nn1nmmm1（1）An nAn1；（2）nAn An1 An

50、；（3）An1 An mAn；(4)1!22!33!136.组合数公式nn!(n1)!1.n！Anmn(n 1)(n m1)*C=m=(nN N，mN，且m n).m！(n m)！12mAmmn137.组合数的两个性质(1)Cn=Cnmnmnm;(2)Cn+Cnmm1m0=Cn1；注:规定Cn1.138.组合恒等式nnm1rrrrr1r（1）CCn1；（2）Cn=2n；（3）Cr Cr1 Cr2 Cn Cn1；mr0135(4)CnCnCn024 CnCnCn123 2n1；(5)Cn 2Cn3Cnn nCn n2n1；021222n2n(6)(Cn)(Cn)(Cn)(Cn)C2n；mm！Cn