2021年九年级中考数学考前专题练习（《解直角三角形及其应用》）.docx

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1、2021年中考数学考前模块过关最后冲刺靶向专题练习（解直角三角形及其应用）知识储备：1.解直角三角形的常用关系：在RtABC中，C=90，则：（1）三边关系：a2+b2=c2； （2）两锐角关系：A+B=90；（3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； 4）sin2A+cos2A=12.解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型： 靶向冲刺习题1.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，求的值.2.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为多少？3.如图，在中，

2、的平分线交于点求的长？4.如图，在矩形纸片ABCD中，AD10，AB8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB上的点处，EF为折痕，连接若CF3，则tan等于多少？5.如图，在矩形中，E是的中点，将沿直线翻折，点B落在点F处，连结，则的值为多少？6.如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，斜坡长，斜坡的坡比为125为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造经地质人员勘测，当坡角不超过50时，可确保山体不滑坡如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿至少向右移多少时，才能确保山体不滑坡（取）7. 如实景图，由华菱涟钢集团捐建的早元

3、街人行天桥于2019年12月18日动工，2020年2月28日竣工，彰显了国企的担当精神，展现了高效的“娄底速度”该桥的引桥两端各由2个斜面和一个水平面构成，如示意图所示：引桥一侧的桥墩顶端E点距地面，从E点处测得D点俯角为30，斜面长为，水平面长为，斜面的坡度为14，求处于同一水平面上引桥底部的长（结果精确到，） 8. 鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30线段的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上其中米（1）求无人机的飞

4、行高度；（结果保留根号）（2）求河流的宽度（结果精确到1米，参考数据：）9. 如图，某数学活动小组要测量建筑物的高度，他们借助测角仪和皮尺进行了实地测量，测量结果如下表测量项目测量数据测角仪到地面的距离点到建筑物的距离从处观测建筑物顶部的仰角从处观测建筑物底部的俯角请根据需要，从上面表格中选择3个测量数据，并利用你选择的数据计算出建筑物的高度（结果精确到0.1米，参考数据：）（选择一种方法解答即可）10. 如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60方向上，一艘轮船从北小岛A出发，由西向东航行到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此

5、时轮船与灯塔P的距离是多少（结果保留一位小数，）11. 2020年5月27日，2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰，将用中国科技“定义”世界新高度其基本原理之一是三角高程测量法，在山顶上立一个规标，找到2个以上测量点，分段测量山的高度，再进行累加因为地球面并不是水平的，光线在空气中会发生折射，所以当两个测量点的水平距离大于300m时，还要考虑球气差，球气差计算公式为f（其中d为两点间的水平距离，R为地球的半径，R取6400000m），即：山的海拔高度测量点测得山的高度+测量点的海拔高度+球气差（问题解决）某校科技小组的同学参加了一项野外测量某座山的海拔高度活动如图，点A，B的水平距离d

6、800m，测量仪AC1.5m，觇标DE2m，点E，D，B在垂直于地面的一条直线上，在测量点A处用测量仪测得山项觇标顶端E的仰角为37，测量点A处的海拔高度为1800m（1）数据6400000用科学记数法表示为 ；（2）请你计算该山的海拔高度（要计算球气差，结果精确到0.01m）（参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75）12. 如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60方向，此时轮船与小岛的距离为多少海里？13. 如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水

7、面以上的高度，在观测点处测得大桥主架顶端的仰角为30，测得大桥主架与水面交汇点的俯角为14，观测点与大桥主架的水平距离为60米，且垂直于桥面（点在同一平面内） （1）求大桥主架在桥面以上的高度；（结果保留根号）（2）求大桥主架在水面以上的高度（结果精确到1米）（参考数据）14. 如图，ABC、FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的央角PBE43，视线PE与地面BE的夹角PEB20，点A，F为视线与车窗底端的交点，AFBE，ACBE，FDBE若A点到B点的距离AB1.6m，则盲区中DE的长度是多少？（参考数据：sin430.7，tan430.9，sin200.3，tan200.4）

8、15. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活如图是政府给贫困户新建的房屋，如图是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，交于点（点，在同一水平线上）（参考数据：，）（1）求屋顶到横梁的距离；（2）求房屋的高（结果精确到）16. 如图1为搭建在地面上的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块E，H可分别沿等长的立柱AB，DC上下移动，AFEFFG1m（1）若移动滑块使A

9、EEF，求AFE的度数和棚宽BC的长（2）当AFE由60变为74时，问棚宽BC是增加还是减少？增加或减少了多少？（结果精确到0.1m参考数据：1.73，sin370.60，cos370.80，tan370.75）17. 今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题，清华大学牵头研制一款“测温机器人”，如图1，机器人工作时，行人抬手在测温头处测量手腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行，不合格时机器人不抬臂杆并报警，从而有效阻隔病原体（1）为了设计“测温机器人”的高度，科研团队采集了大量数据下表是抽样采集某一地区居民的身高数据：测量对象男性（1860岁）女性（185

10、5岁）抽样人（人）20005000200002000500020000平均身高（厘米）173175176164165164根据你所学的知识，若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高，男性应采用 厘米，女性应采用 厘米；（2）如图2，一般的，人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适，由此利用（1）中的数据得出测温头点P距地面105厘米指示牌挂在两臂杆AB，AC的连接点A处，A点距地面110厘米臂杆落下时两端点B，C在同一水平线上，BC100厘米，点C在点P的正下方5厘米处若两臂杆长度相等，求两臂杆的夹角（参考数据表）计算器按键顺序计算结果（近似值）计算器按键顺序计算结果（近似值）0.17

11、8.70.284.31.75.73.511.318. 位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度如图所示，他们在地面一条水 平步道上架设测角仪，先在点处测得观星台最高点的仰角为，然后沿方向前进到达点处，测得点的仰角为测角仪的高度为，求观星台最高点距离地面的高度(结果精确到参考数据： )；“景点简介”显示，观星台的高度为，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议2021年中考数学考前模块过关最后冲刺靶向专题练习（解直角三角形及其应用）（解析版）知识储备：1.解直角三角形的常用关系：在Rt

12、ABC中，C=90，则：（1）三边关系：a2+b2=c2； （2）两锐角关系：A+B=90；（3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； 4）sin2A+cos2A=12.解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型： 靶向冲刺习题1.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，求的值.【详解】和ABC所对的弧长都是，根据圆周角定理知，ABC，在RtACB中，AB=根据锐角三角函数的定义知，sinABC，=2.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为多少？【详解】解：

13、如图，过点A作于点D，则，3.如图，在中，的平分线交于点求的长？【详解】解：在中， 是的平分线，又 ，在中， ，4. 如图，在矩形纸片ABCD中，AD10，AB8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB上的点处，EF为折痕，连接若CF3，则tan等于多少？【详解】解：连接AF，设CEx，则CECEx，BEBE10x，四边形ABCD是矩形，ABCD8，ADBC10，BCD90，AE2AB2+BE282+（10x）216420x+x2，EF2CE2+CF2x2+32x2+9，由折叠知，AEBAEB，CEFCEF，AEB+AEB+CEF+CEF180，

14、AEFAEB+CEF90AF2AE2+EF216420x+x2+x2+92x220x+173，AF2AD2+DF2102+（83）2125，2x220x+173125，解得，x4或6，当x6时，ECEC6，BEBE862，ECBE，不合题意，应舍去，CECE4，BCBECE（104）42，BB90，ABAB8，tanBAC=故答案为：5.如图，在矩形中，E是的中点，将沿直线翻折，点B落在点F处，连结，则的值为多少？【详解】解：由折叠可得：AB=AF=2，BE=EF，AEB=AEF，点E是BC中点，BE=CE=EF=，EFC=ECF，AE=，BEF=AEB+AEF=EFC+ECF，ECF=AEB

15、，=6.如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，斜坡长，斜坡的坡比为125为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造经地质人员勘测，当坡角不超过50时，可确保山体不滑坡如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿至少向右移多少时，才能确保山体不滑坡（取）【详解】解：如图，设点B沿BC向右移动至点H，使得HAD=50，过点H作HFAD于点F，AB=26，斜坡的坡比为125，则设BE=12a，AE=5a，解得：a=2，BE=24，AE=10，HF=BE=24，HAF=50，则，解得：AF=20，BH=EF=20-10=10，故坡顶B沿至少向右移10时，才能确保山体不滑坡7. 如实景

16、图，由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于2019年12月18日动工，2020年2月28日竣工，彰显了国企的担当精神，展现了高效的“娄底速度”该桥的引桥两端各由2个斜面和一个水平面构成，如示意图所示：引桥一侧的桥墩顶端E点距地面，从E点处测得D点俯角为30，斜面长为，水平面长为，斜面的坡度为14，求处于同一水平面上引桥底部的长（结果精确到，） 【详解】解：如图，延长，与相交于F，过点D、C两点分别作的垂线交于点G、H，则在中， ，在中， 答：引桥桥墩底端A点到起点B之间的距离为8. 鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯

17、角为，无人机沿水平线方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30线段的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上其中米（1）求无人机的飞行高度；（结果保留根号）（2）求河流的宽度（结果精确到1米，参考数据：）【详解】（1）由题意可得AFMDACM=FAC=在RtACM中，AM=CMtanACM=CM(米);（2）如图，过点B作BHMD，在RtBDH中，BDH=FBD=30，BH=DH=BHtan30=300米，AMDM，AMAF四边形ABHM是矩形MH=AB=50米CH=CM-MH=-50(米)CD=DH-CH=300-（-50）=350-263（米）故河流的宽度为

18、263米9. 如图，某数学活动小组要测量建筑物的高度，他们借助测角仪和皮尺进行了实地测量，测量结果如下表测量项目测量数据测角仪到地面的距离点到建筑物的距离从处观测建筑物顶部的仰角从处观测建筑物底部的俯角请根据需要，从上面表格中选择3个测量数据，并利用你选择的数据计算出建筑物的高度（结果精确到0.1米，参考数据：）（选择一种方法解答即可）【详解】解：第一种选择：选取四边形为矩形在中，答：建筑物的高度约为第二种选择选取四边形为矩形在中， 在中， 答：建筑物的高度的为第三种选择选取，四边形为矩形在中， 在中， 答：建筑物的高度约为10. 如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60方向上，一艘轮船从北

19、小岛A出发，由西向东航行到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是多少（结果保留一位小数，）【详解】解：过P作PDAB于D，AB=24，PAB=90-60=30，PBD=90-30=60，BPD=30，APB=30，即PAB=APB，AB=BP=24，在直角PBD中，PD=BPsinPBD=24=20.8.故答案为：20.8.11. 2020年5月27日，2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰，将用中国科技“定义”世界新高度其基本原理之一是三角高程测量法，在山顶上立一个规标，找到2个以上测量点，分段测量山

20、的高度，再进行累加因为地球面并不是水平的，光线在空气中会发生折射，所以当两个测量点的水平距离大于300m时，还要考虑球气差，球气差计算公式为f（其中d为两点间的水平距离，R为地球的半径，R取6400000m），即：山的海拔高度测量点测得山的高度+测量点的海拔高度+球气差（问题解决）某校科技小组的同学参加了一项野外测量某座山的海拔高度活动如图，点A，B的水平距离d800m，测量仪AC1.5m，觇标DE2m，点E，D，B在垂直于地面的一条直线上，在测量点A处用测量仪测得山项觇标顶端E的仰角为37，测量点A处的海拔高度为1800m（1）数据6400000用科学记数法表示为 ；（2）请你计算该山的海拔

21、高度（要计算球气差，结果精确到0.01m）（参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75）【详解】解：（1）64000006.4106，故答案为6.4106（2）如图，过点C作CHBE于H由题意ABCH800m，ACBH1.5m，在RtECH中，EHCHtan37600（m），DB600DE+BH599.5（m），由题意f0.043（m），山的海拔高度599.5+0.043+18002399.54（m）12. 如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60方向，此时

22、轮船与小岛的距离为多少海里？【详解】如图，过点A作ACBD，依题意可得ABC=45ABC是等腰直角三角形，AB=20(海里)AC=BC=ABsin45=10(海里)在RtACD中，ADC=90-60=30AD=2AC=20 (海里)故答案为：2013. 如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度，在观测点处测得大桥主架顶端的仰角为30，测得大桥主架与水面交汇点的俯角为14，观测点与大桥主架的水平距离为60米，且垂直于桥面（点在同一平面内） （1）求大桥主架在桥面以上的高度；（结果保留根号）（2）求大桥主架在水面以上的高度（结果精确到1米）（参考数据）【详解】解：（1）垂直于桥面在

23、中，（米）答：大桥主架在桥面以上的高度为米 （2）在中，（米）答：大桥主架在水面以上的高度约为50米14. 如图，ABC、FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的央角PBE43，视线PE与地面BE的夹角PEB20，点A，F为视线与车窗底端的交点，AFBE，ACBE，FDBE若A点到B点的距离AB1.6m，则盲区中DE的长度是多少？（参考数据：sin430.7，tan430.9，sin200.3，tan200.4）【详解】FDAB，ACEB，DFAC，AFEB，四边形ACDF是平行四边形，ACD90，四边形ACDF是矩形，DFAC，在RtACB中，ACB90，ABE=43，ACABs

24、in431.60.71.12（m），DFAC1.12（m），在RtDEF中，FDE90，PEB=20，tanPEB0.4，DE2.8（m）15. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活如图是政府给贫困户新建的房屋，如图是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，交于点（点，在同一水平线上）（参考数据：，）（1）求屋顶到横梁的距离；（2）求房屋的高（结果精确到）【详解】解：（1）房屋的侧面示意图是轴对称图形，所在直线是对

25、称轴，在中，（米）答：屋顶到横梁的距离约是4.2米（2）过点作于点，设，在中，在中，解得（米）答：房屋的高约是14米16. 如图1为搭建在地面上的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块E，H可分别沿等长的立柱AB，DC上下移动，AFEFFG1m（1）若移动滑块使AEEF，求AFE的度数和棚宽BC的长（2）当AFE由60变为74时，问棚宽BC是增加还是减少？增加或减少了多少？（结果精确到0.1m参考数据：1.73，sin370.60，cos370.80，tan370.75）【详解】解：（1）AEEFAF1,AEF是等边三角形,AFE60,连接MF

26、并延长交AE于K，则FM2FK,AEF是等边三角形,AK,FM2FK,BC4FM46.926.9（m）;（2）AFE74,AFK37,KFAFcos370.80,FM2FK1.60,BC4FM6.406.92,6.926.400.5,答：当AFE由60变为74时,棚宽BC是减少了，减少了0.5m.17. 今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题，清华大学牵头研制一款“测温机器人”，如图1，机器人工作时，行人抬手在测温头处测量手腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行，不合格时机器人不抬臂杆并报警，从而有效阻隔病原体（1）为了设计“测温机器人”的高度，科研团队采集

27、了大量数据下表是抽样采集某一地区居民的身高数据：测量对象男性（1860岁）女性（1855岁）抽样人数（人）20005000200002000500020000平均身高（厘米）173175176164165164根据你所学的知识，若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高，男性应采用 厘米，女性应采用 厘米；（2）如图2，一般的，人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适，由此利用（1）中的数据得出测温头点P距地面105厘米指示牌挂在两臂杆AB，AC的连接点A处，A点距地面110厘米臂杆落下时两端点B，C在同一水平线上，BC100厘米，点C在点P的正下方5厘米处若两臂杆长度相等，求两臂杆的夹

28、角（参考数据表）计算器按键顺序计算结果（近似值）计算器按键顺序计算结果（近似值）0.178.70.284.31.75.73.511.3【详解】解：（1）用表格可知，男性应采用176厘米，女性应采用164厘米，故答案为：176，164；（2）如图2中，ABAC，AFBC，BFFC50cm，FACFAB，由题意AF10cm，tanFAC5，FAC78.7，BAC2FAC157.4，答：两臂杆的夹角为157.418. 位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度如图所示，他们在地面一条水 平步道上架设测角仪，

29、先在点处测得观星台最高点的仰角为，然后沿方向前进到达点处，测得点的仰角为测角仪的高度为，求观星台最高点距离地面的高度(结果精确到参考数据： )；“景点简介”显示，观星台的高度为，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议【详解】解：（1）如图，过点A作AEMN交MN的延长线于点E，交BC的延长线于点D，设AD的长为xm，AEME，BCMN，ADBD，ADC=90，ACD=45，CD=AD=xm，BD=BC+CD=（16+x）m，由题易得，四边形BMNC为矩形，AEME，四边形CNED为矩形，DE=CN=BM=，在RtABD中，解得：，即AD=10.7m，AE=AD+DE=10.7+1.6=12.3m，答：观星台最高点距离地面的高度为12.3m（2）本次测量结果的误差为：12.6-12.3=0.3m，减小误差的合理化建议：多次测量，求平均值