矩阵学习教程.pptx

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1、1.线性方程组的解取决于系数常数项一、矩阵概念的引入2.1 矩阵的概念第1页/共179页对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为2.某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接 A 与B.第2页/共179页四城市间的航班图情况常用表格来表示:发站到站其中 表示有航班.为了便于计算,把表中的 改成1,空白地方填上0,就得到一个数表:第3页/共179页这个数表反映了四城市间交通联接情况.第4页/共179页二、矩阵的定义 由 个数排成的 行 列的数表称为 矩阵.简称 矩阵.记作第5页

2、/共179页简记为元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.第6页/共179页例如是一个 实矩阵,是一个 复矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵.第7页/共179页例如是一个3 阶方阵.几种特殊矩阵(2)只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).（1）行数与列数都等于 的矩阵 ，称为 阶方阵.也可记作第8页/共179页只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).称为对角对角矩阵矩阵(或对角阵对角阵）.（3）形如 的方阵,不全为0第9页/共179页 （4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作 或 .注意不同阶数的零矩阵是不相等的.例如记作第10页/共179页(5)方阵称为单位矩阵

3、（或单位阵）.同型矩阵与矩阵相等的概念 1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.全为1第11页/共179页 2.两个矩阵 为同型矩阵,并且对应元素相等,即则称矩阵 相等,记作例如为同型矩阵.第12页/共179页例1 设解第13页/共179页三、小结(1)矩阵的概念第14页/共179页(2)特殊矩阵方阵行矩阵与列矩阵;单位矩阵;对角矩阵对角矩阵;零矩阵.第15页/共179页思考题矩阵与行列式的有何区别?第16页/共179页思考题解答 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同.第17页/共179页、定义一、

4、矩阵的加法一、矩阵的加法设有两个 矩阵 那么矩阵 与 的和记作 ，规定为2.2 矩阵的运算第18页/共179页说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.例如第19页/共179页2、矩阵加法的运算规律第20页/共179页1、定义二、数与矩阵相乘（数乘运二、数与矩阵相乘（数乘运算）算）第21页/共179页2、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.（设 为 矩阵，为数）第22页/共179页例1已知矩阵求 。解：第23页/共179页例2已知求 。解：第24页/共179页、定义并把此乘积记作三、矩阵与矩阵相乘三、矩阵与矩阵相乘设 是一个 矩阵，是一个 矩阵，那么规定

5、矩阵 与矩阵 的乘积是一个 矩阵 ，其中第25页/共179页例3设例4第26页/共179页故解第27页/共179页注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.例如不存在.第28页/共179页、矩阵乘法的运算规律（其中 为数）;若A是 阶矩阵，则 为A的 次幂，即 并且 特别地第29页/共179页注意矩阵不满足交换律，即：例 设则第30页/共179页但也有例外，比如设则有第31页/共179页例5 计算下列乘积：解第32页/共179页解=(）第33页/共179页解例6第34页/共179页由此归纳出第35页/共179页用数学归纳法证明当 时，显然成立.假设 时成立，则 时，第

6、36页/共179页所以对于任意的 都有第37页/共179页 线性方程组的矩阵表示法：其中第38页/共179页定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 .例、转置矩阵四、矩阵的转置及其它运算四、矩阵的转置及其它运算第39页/共179页转置矩阵的运算性质第40页/共179页例7 已知解法1第41页/共179页解法2第42页/共179页2、对称矩阵定义设 为 阶方阵，如果满足 ，即那么 称为对称矩阵.对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等.说明第43页/共179页例6 设列矩阵 满足 证明第44页/共179页例7 证明任一 阶矩阵 都可表示成对称阵与反对称阵之和.证明

7、所以C为对称矩阵.所以B为反对称矩阵.命题得证.第45页/共179页运算性质（设 为复矩阵，为复数,且运算都是可行的）:3、共轭矩阵定义当 为复矩阵时，用 表示 的共轭复数，记，称为 的共轭矩阵.第46页/共179页五、小结矩阵运算矩阵加法数与矩阵相乘（数乘）矩阵与矩阵相乘矩阵的转置（对称矩阵与反对称矩阵）第47页/共179页（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律.（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.注意 （3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同.第48页/共179页思考题成立的充要条件是什么?第49页/共179页思考题解

8、答答故 成立的充要条件为第50页/共179页一、矩阵的分块一、矩阵的分块对于行数和列数较高的矩阵 ，为了简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算.具体做法是：将矩阵 用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为 的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.2.3 分块矩阵第51页/共179页例即第52页/共179页即第53页/共179页第54页/共179页二、分块矩阵的运算规则二、分块矩阵的运算规则第55页/共179页第56页/共179页例第57页/共179页第58页/共179页第59页/共179页第60页/共179页第61页/共179页例1 设解第62页/共179

9、页则第63页/共179页又第64页/共179页于是第65页/共179页例2第66页/共179页其中其中第67页/共179页第68页/共179页第69页/共179页第70页/共179页第71页/共179页 线性方程组的矩阵表示法：其中第72页/共179页若记则线性方程组可表示为第73页/共179页三、小结 在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最基本,最重要的计算技巧与方法.(1)加法(2)数乘(3)乘法 分块矩阵之间的运算分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似第74页/共179页(4)转置第75页/共179页思考题证明第76页/共179页第77页/共179页两次乘法结合起来得到第78页/共17

10、9页一、方阵的行列式定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式，叫做方阵 的行列式，记作 或运算性质2.4 方阵的行列式、逆矩阵 ，但却总有 注意:对于 阶方阵 、，虽然一般 第79页/共179页分块下三角矩阵的行列式分块对角矩阵的行列式具有下述性质:第80页/共179页设作 2n 阶行列式性质(3)的证明则第81页/共179页 另一方面，对 D 依次施行行变换：将第n+1行的 倍都加到第 i 行上 ，消去分块 A，即再对D 的列作变换：，有 倍，第n+2 行的 倍，第 2n 行的 于是有第82页/共179页则矩阵 称为 的可逆矩阵或逆阵.二、逆矩阵概念的引二、逆矩阵概念的引入入在数的运算中，当数

11、 时，有其中 为 的倒数，（或称 的逆）；在矩阵的运算中，单位阵 相当于数的乘法运算中 的1，那么，对于矩阵 ，如果存在一个矩阵 ,使得第83页/共179页三、逆矩阵的概念和性质三、逆矩阵的概念和性质 定义 对于 阶矩阵 ，如果有一个 阶矩阵 ，则说矩阵 是可逆的，并把矩阵 称为 的逆矩阵.使得例 设第84页/共179页说明 若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵是唯一的.若设 和 是 的可逆矩阵，则有可得所以 的逆矩阵是唯一的,即第85页/共179页例 设解设 是 的逆矩阵,则利用待定系数法第86页/共179页又因为所以第87页/共179页定义 行列式 的各个元素的代数余子式 所构成的如下矩阵性质证明

12、则称为矩阵 的伴随矩阵.第88页/共179页故同理可得第89页/共179页定理 矩阵 可逆的充要条件是 ，且 证明：若 可逆，第90页/共179页第91页/共179页按逆矩阵的定义得证毕奇异矩阵与非奇异矩阵的定义第92页/共179页推论证明逆矩阵的运算性质第93页/共179页证明第94页/共179页证明第95页/共179页第96页/共179页第97页/共179页例1 求方阵 的逆矩阵.解四、逆矩阵的求法四、逆矩阵的求法第98页/共179页同理可得故第99页/共179页解例2第100页/共179页第101页/共179页第102页/共179页例3 设解第103页/共179页于是第104页/共179

13、页例4第105页/共179页第106页/共179页例5第107页/共179页解给方程两端左乘矩阵第108页/共179页给方程两端右乘矩阵得第109页/共179页给方程两端左乘矩阵第110页/共179页得给方程两端右乘矩阵第111页/共179页解例6第112页/共179页第113页/共179页解 例7第114页/共179页例8 设解第115页/共179页第116页/共179页四、小结逆矩阵的概念及运算性质.逆矩阵的计算方法逆矩阵 存在第117页/共179页思考题第118页/共179页思考题解答答第119页/共179页思考题第120页/共179页思考题解答证第121页/共179页第122页/共17

14、9页引例 解线性方程组可采取三种等价变换进行:2.5 初等变换与初等矩阵一、矩阵的初等变换第123页/共179页引例 线性方程组的三种等价变换可简单地用矩阵表示:第124页/共179页1.矩阵初等变换的概念 初等行变换:（1）换法变换：(两行互换)（2）倍法变换：或 (第 行的元素乘以 )（3）消法变换：(第 行的 倍加到第 行上)初等列变换:（1）;（2）;（3）.矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换。第125页/共179页 初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同逆变换逆变换逆变换第126页/共179页2.矩阵等价的概念 例如矩阵 经过有限次的初等变换变为矩阵 。这是因为

15、定义：矩阵 与矩阵 等价，记作 ：第127页/共179页3.矩阵等价关系的性质（1）反身性：（2）对称性：（3）传递性：第128页/共179页4.矩阵的标准形 定理：任何 矩阵 ，都可用有限次初等变换化为如下形式的矩阵 称为矩阵 的标准形，它的左上角是一个 阶单位阵，其余元素都是零。推论：任何矩阵 A 与其标准形 J 等价。第129页/共179页4.矩阵的标准形 例如：第130页/共179页1.初等矩阵 初等方阵：对单位阵施行一次初等变换而得。第i 行 第j 行 （1）换法矩阵：或二、初等矩阵及其应用第131页/共179页1.初等矩阵 初等矩阵：对单位阵施行一次初等变换而得。第i 行 （2）倍

16、法矩阵：或第132页/共179页1.初等矩阵 初等矩阵：对单位阵施行一次初等变换而得。第i 行 第j 行 （3）消法矩阵：或 注意：初等阵皆可逆，且其逆阵仍为初等阵。第133页/共179页第134页/共179页2.初等方阵与初等变换的关系 性质1：例如：对矩阵 施行一次行变换 以初等方阵左乘 ；对矩阵 施行一次列变换 以初等方阵右乘 。第135页/共179页第136页/共179页第137页/共179页第138页/共179页第139页/共179页第140页/共179页3.可逆矩阵与初等矩阵的关系 性质2：设A为可逆方阵，则存在有限个初等矩阵证即第141页/共179页三、求逆矩阵的初等变换法1.矩

17、阵等价的充要条件 定理1：注意：此定理的证明要用到初等方阵的知识。设A与B均为mn矩阵，则：（）的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P，使PA=B；（）的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵Q，使AQ=B；（）的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使PAQ=B。第142页/共179页2.方阵可逆与矩阵等价的关系 推论：方阵 A 可逆的充分必要条件是证明A 可逆 存在可逆矩阵P，使 问题：如何由求出A-1？第143页/共179页3.求逆矩阵的初等变换法 A可逆，即存在可逆矩阵P使得 这就是说，当A经初等行变换化为单位阵时，同样的初等行变换将单位阵化为可逆矩阵 P。而P 恰是 A 的逆阵A-1

18、，于是可得求逆阵的方法：第144页/共179页例1.求逆矩阵第145页/共179页解：第146页/共179页解(一般书写格式)：第147页/共179页例2.解矩阵方程 注意:见例1.第148页/共179页即初等行变换第149页/共179页例3解第150页/共179页第151页/共179页第152页/共179页列变换列变换第153页/共179页一、矩阵秩的概念一、矩阵秩的概念矩阵的秩2.6 矩阵的秩第154页/共179页第155页/共179页例1解第156页/共179页例2解第157页/共179页例3解计算A的3阶子式，第158页/共179页另解显然，非零行的行数为2，此方法简单！第159页/共

19、179页问题：经过变换矩阵的秩变吗？证二、矩阵秩的求法二、矩阵秩的求法第160页/共179页第161页/共179页第162页/共179页 经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变第163页/共179页证毕第164页/共179页初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例4解第165页/共179页第166页/共179页第167页/共179页第168页/共179页由阶梯形矩阵有三个非零行可知第169页/共179页第170页/共179页则这个子式便是 的一个最高阶非零子式.第171页/共179页第172页/共179页例5解分析：第173页/共179页第174页/共179页第175页/共179页三、小结(2)初等变换法1.矩阵秩的概念2.求矩阵秩的方法(1)利用定义(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);第176页/共179页思考题第177页/共179页思考题解答答答相等.即由此可知第178页/共179页感谢您的观看！第179页/共179页