矩阵分析课程学习.pptx

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1、会计学1矩阵矩阵(j zhn)分析分析PPT第一页，共134页。第三章第三章 内积空间，正规矩阵内积空间，正规矩阵(j zhn)与与H-阵阵定义：定义：设设 是实数域是实数域 上的上的 维线性空间，维线性空间，对于对于 中的任意两个向量中的任意两个向量 按照某一确定按照某一确定法则对应着一个实数，这个实数称为法则对应着一个实数，这个实数称为 与与 的内积，记为的内积，记为 ，并且要求内积满足下，并且要求内积满足下列运算条件：列运算条件：第1页/共134页第二页，共134页。这里这里 是是 中任意向量，中任意向量，为任意实为任意实数数(shsh)，只有当，只有当 时时 ，我们称带，我们称带有这样

2、内积的有这样内积的 维线性空间维线性空间 为欧氏空间。为欧氏空间。例例 1 在在 中，对于中，对于规定规定容易验证容易验证 是是 上的一个内积，上的一个内积，从而从而 成为一个欧氏空间。如果规定成为一个欧氏空间。如果规定第2页/共134页第三页，共134页。容易容易(rngy)验证验证 也是也是 上上的一个内积的一个内积，这样，这样 又成为另外一个欧氏空间。又成为另外一个欧氏空间。例例 2 在在 维线性空间维线性空间 中，规定中，规定容易容易(rngy)验证这是验证这是 上的一个内积，这上的一个内积，这样样 对于这个内积成为一个欧氏空间。对于这个内积成为一个欧氏空间。例例 3 在线性空间在线性

3、空间 中，规定中，规定第3页/共134页第四页，共134页。容易验证容易验证 是是 上的一个内积，上的一个内积，这样这样 对于这个内积成为一个欧氏空对于这个内积成为一个欧氏空间。间。定义：定义：设设 是复数域是复数域 上的上的 维线性空间，维线性空间，对于对于 中的任意两个向量中的任意两个向量 按照某一确按照某一确定法则对应着一个复数，这个复数称为定法则对应着一个复数，这个复数称为 与与 的内积，记为的内积，记为 ，并且要求内积满足，并且要求内积满足下列运算下列运算(yn sun)条件：条件：第4页/共134页第五页，共134页。这里这里(zhl)是是 中任意向量，中任意向量，为任意复数为任意

4、复数，只有当，只有当 时时 ，我们称带，我们称带有这样内积的有这样内积的 维线性空间维线性空间 为酉空间。欧为酉空间。欧氏空间与酉空间通称为内积空间。氏空间与酉空间通称为内积空间。例例 1 设设 是是 维复向量空间，任取维复向量空间，任取第5页/共134页第六页，共134页。规定规定容易验证容易验证 是是 上的一个内积，从而上的一个内积，从而 成为一个酉空间。成为一个酉空间。例例 2 设设 表示闭区间表示闭区间 上的所有连上的所有连续续(linx)复值函数组成的线性空间，定义复值函数组成的线性空间，定义第6页/共134页第七页，共134页。容易验证容易验证 是是 上的一个上的一个内积，于是内积

5、，于是 便成为一个酉空间。便成为一个酉空间。例例 3 在在 维线性空间维线性空间 中，规定中，规定其中其中 表示表示 中所有元素取共轭复数后再中所有元素取共轭复数后再转置，容易验证转置，容易验证 是是 上的上的一个内积，从而一个内积，从而 连同这个内积一起成连同这个内积一起成为酉空间。为酉空间。内积空间的基本内积空间的基本(jbn)性质：性质：第7页/共134页第八页，共134页。欧氏空间欧氏空间(kngjin)的性质：的性质：第8页/共134页第九页，共134页。酉空间的性质酉空间的性质(xngzh)：第9页/共134页第十页，共134页。定义：设定义：设 是是 维酉空间，维酉空间，为其一组

6、基为其一组基底底(j d)，对于，对于 中的任意两个向量中的任意两个向量那么那么 与与 的内积的内积令令第10页/共134页第十一页，共134页。称称 为基底为基底 的度量矩阵，而且的度量矩阵，而且定义：设定义：设 ，用，用 表示以表示以 的元素的元素(yun s)的共轭复数为元素的共轭复数为元素(yun s)组成的矩组成的矩阵，记阵，记第11页/共134页第十二页，共134页。则称则称 为为 的复共轭转置矩阵。不难验证的复共轭转置矩阵。不难验证复共轭转置矩阵满足下列复共轭转置矩阵满足下列(xili)性质：性质：第12页/共134页第十三页，共134页。定义：设定义：设 ,如果如果(rgu)，

7、那，那么称么称 为为Hermite矩阵；如果矩阵；如果(rgu)，那么称那么称 为反为反Hermite矩阵。矩阵。例例 判断下列矩阵是判断下列矩阵是H-阵还是反阵还是反H-阵。阵。第13页/共134页第十四页，共134页。第14页/共134页第十五页，共134页。第15页/共134页第十六页，共134页。（5）实对称矩阵实对称矩阵（6）反实对称矩阵反实对称矩阵（7）欧氏空间的度量矩阵欧氏空间的度量矩阵（8）酉空间的度量矩阵酉空间的度量矩阵内积空间的度量内积空间的度量定义定义(dngy)：设：设 为酉（欧氏）空间，为酉（欧氏）空间，向量向量 的长度定义的长度定义(dngy)为非负实数为非负实数例

8、例 在在 中求下列向量的长度中求下列向量的长度第16页/共134页第十七页，共134页。解：解：根据上面的公式可知根据上面的公式可知(k zh)一般地，我们有一般地，我们有:对于对于 中的任意向量中的任意向量其长度为其长度为第17页/共134页第十八页，共134页。这里这里 表示复数表示复数 的模。的模。定理：向量定理：向量(xingling)长度具有如下性质长度具有如下性质 当且仅当当且仅当 时，时，第18页/共134页第十九页，共134页。例例 1：在线性空间在线性空间 中，证明中，证明例例 2 设设 表示闭区间表示闭区间 上的所有上的所有(suyu)连续复值函数组成的线性空间，证明：连续

9、复值函数组成的线性空间，证明：对于任意的对于任意的 ，我们有，我们有第19页/共134页第二十页，共134页。定义：设定义：设 为欧氏空间，两个非零向量为欧氏空间，两个非零向量(xingling)的夹角定义为的夹角定义为于是有于是有定理：定理：第20页/共134页第二十一页，共134页。因此我们引入下面的概念因此我们引入下面的概念;定义：在酉空间定义：在酉空间 中，如果中，如果(rgu)，则称，则称 与与 正交。正交。定义：定义：长度为长度为1的向量称为单位向量，对于任何的向量称为单位向量，对于任何一个非零的向量一个非零的向量 ，向量，向量总是单位向量，称此过程为单位化。总是单位向量，称此过程

10、为单位化。第21页/共134页第二十二页，共134页。标准正交基底与标准正交基底与Schmidt正交化方法正交化方法定义：设定义：设 为一组不含有零向量的向量组，如果为一组不含有零向量的向量组，如果(rgu)内的任意两个向量彼此正交，则称其内的任意两个向量彼此正交，则称其为正交的向量组。为正交的向量组。定义：如果定义：如果(rgu)一个正交向量组中任何一个向量一个正交向量组中任何一个向量都是单位向量，则称此向量组为标准的正交向量组。都是单位向量，则称此向量组为标准的正交向量组。例例 在在 中向量组中向量组第22页/共134页第二十三页，共134页。与向量与向量(xingling)组组都是标准正

11、交向量都是标准正交向量(xingling)组。组。第23页/共134页第二十四页，共134页。定义：在定义：在 维内积空间中，由维内积空间中，由 个正交向量个正交向量组成的基底称为正交基底；由组成的基底称为正交基底；由 个标准的正个标准的正交向量组成的基底称为标准正交基底。交向量组成的基底称为标准正交基底。注意：标准正交基底不唯一。在上面的例题中注意：标准正交基底不唯一。在上面的例题中可以发现可以发现(fxin)这一问题。这一问题。定理：向量组定理：向量组 为正交向量组的充分必要为正交向量组的充分必要条件是条件是;向量组向量组 为标准正交向量组的充分必要条为标准正交向量组的充分必要条件是件是第

12、24页/共134页第二十五页，共134页。定理：正交的向量组是一个线性无关的向量组。定理：正交的向量组是一个线性无关的向量组。反之，由一个线性无关的向量组出发可以构造一反之，由一个线性无关的向量组出发可以构造一个正交向量组，甚至是一个标准个正交向量组，甚至是一个标准(biozhn)正交正交向量组。向量组。Schmidt正交化与单位化过程正交化与单位化过程:设设 为为 维内积空间维内积空间 中中的的 个线性无关的向量，利用这个线性无关的向量，利用这 个向量完全个向量完全可以构造一个标准可以构造一个标准(biozhn)正交向量组。正交向量组。第25页/共134页第二十六页，共134页。第一步第一步

13、 正交化正交化容易容易(rngy)验证验证 是一个正交向是一个正交向量组。量组。第26页/共134页第二十七页，共134页。第二步第二步 单位单位(dnwi)化化显然显然 是一个标准的正交向量是一个标准的正交向量组。组。例例 1 运用正交化与单位运用正交化与单位(dnwi)化过程将向化过程将向量组量组化为标准正交向量组。化为标准正交向量组。解：先正交化解：先正交化 第27页/共134页第二十八页，共134页。再单位再单位(dnwi)化化 第28页/共134页第二十九页，共134页。那么那么 即为所求的标准正交向量即为所求的标准正交向量(xingling)组。组。例例 2 求下面齐次线性方程组求

14、下面齐次线性方程组第29页/共134页第三十页，共134页。其解空间的一个标准正交基底。其解空间的一个标准正交基底。解：解：先求出其一个基础先求出其一个基础(jch)解系解系下面对下面对 进行正交化与单位化：进行正交化与单位化：第30页/共134页第三十一页，共134页。即为其解空间的一个标准即为其解空间的一个标准(biozhn)正交基底。正交基底。第31页/共134页第三十二页，共134页。酉变换与正交变换酉变换与正交变换定义：设定义：设 为一个为一个 阶复矩阵，如果其满足阶复矩阵，如果其满足(mnz)则称则称 是酉矩阵，一般记为是酉矩阵，一般记为 设设 为一个为一个 阶实矩阵，如果其满阶实

15、矩阵，如果其满足足(mnz)则称则称 是正交矩阵，一般记为是正交矩阵，一般记为 第32页/共134页第三十三页，共134页。例：例：是一个是一个(y)正正交矩阵交矩阵第33页/共134页第三十四页，共134页。是一个是一个(y)正交矩阵正交矩阵是一个是一个(y)正交矩阵正交矩阵第34页/共134页第三十五页，共134页。（5）设）设 且且 ，如果，如果 则则 是一个是一个(y)酉矩阵。通常称为酉矩阵。通常称为Householder矩阵。矩阵。是一个是一个(y)酉矩阵酉矩阵第35页/共134页第三十六页，共134页。酉矩阵酉矩阵(j zhn)与正交矩阵与正交矩阵(j zhn)的性质：的性质：设设

16、 ，那么，那么设设 ，那么，那么第36页/共134页第三十七页，共134页。定理：定理：设设 ，是一个酉矩阵的充分是一个酉矩阵的充分必要条件为必要条件为 的的 个列（或行）向量组是标个列（或行）向量组是标准正交向量组。准正交向量组。定义：定义：设设 是一个是一个 维酉空间，维酉空间，是是 的的一个线性变换，如果一个线性变换，如果(rgu)对任意的对任意的 都有都有第37页/共134页第三十八页，共134页。则称则称 是是 的一个的一个(y)酉变换。酉变换。定理：设定理：设 是一个是一个(y)维酉空间，维酉空间，是是 的一个的一个(y)线性变换，那么下列陈述等价：线性变换，那么下列陈述等价：（1

17、）是酉变换；是酉变换；（3）将）将 的标准正交基底变成标准正交基底；的标准正交基底变成标准正交基底；（4）酉变换在标准正交基下的矩阵表示为酉矩）酉变换在标准正交基下的矩阵表示为酉矩阵。阵。注意：关于正交变换也有类似的刻划。注意：关于正交变换也有类似的刻划。第38页/共134页第三十九页，共134页。幂等矩阵幂等矩阵定义：设定义：设 ，如果，如果 满足满足(mnz)则称则称 是一个幂等矩阵。是一个幂等矩阵。例例是一个分块幂等矩阵。是一个分块幂等矩阵。第39页/共134页第四十页，共134页。幂等矩阵的一些性质：设幂等矩阵的一些性质：设 是幂等矩阵，那么有是幂等矩阵，那么有（1）都是幂等都是幂等矩

18、阵；矩阵；（2）（3）（4）的充分的充分(chngfn)必要条件是必要条件是（5）第40页/共134页第四十一页，共134页。定理：设定理：设 是一个是一个(y)秩为秩为 的的 阶矩阵，阶矩阵，那么那么 为一个为一个(y)幂等矩阵的充分必要条件幂等矩阵的充分必要条件是存在是存在 使得使得推论：设推论：设 是一个是一个(y)阶幂等矩阵，则有阶幂等矩阵，则有定义：设定义：设 为一个为一个(y)维维标准正交列向量组，那么称标准正交列向量组，那么称 型矩阵型矩阵 第41页/共134页第四十二页，共134页。为一个次酉矩阵。一般地将其记为为一个次酉矩阵。一般地将其记为定理：定理：设设 为一个为一个 阶矩

19、阵，则阶矩阵，则 的充分必要条件是存在一个的充分必要条件是存在一个 型次酉矩阵型次酉矩阵 使得使得(sh de)其中其中 。第42页/共134页第四十三页，共134页。引理：引理：的充分的充分(chngfn)必要条必要条件是件是证明：设证明：设 ，那么，那么第43页/共134页第四十四页，共134页。必要性：如果必要性：如果 为一个为一个 维维标准正交列向量标准正交列向量(xingling)组，那么组，那么第44页/共134页第四十五页，共134页。第45页/共134页第四十六页，共134页。充分性：设充分性：设 ，那么那么(n me)由由 ，可得，可得第46页/共134页第四十七页，共134

20、页。第47页/共134页第四十八页，共134页。即这表明 是一个 维标准(biozhn)正交列向量组。定理的证明：必要性：因 ，故 有 个线性无关的列向量，将这 个列向量用Schmidt方法得出 个两两正交的单位向量，以这 个向量为列构成一个 型次酉矩阵第48页/共134页第四十九页，共134页。注意到 的 个列向量(xingling)都可以由 的 个列向量(xingling)线性表出。即如果那么可得第49页/共134页第五十页，共134页。第50页/共134页第五十一页，共134页。其中(qzhng)，由于向量(xingling)组 的秩为 ，所以 的秩为 。第51页/共134页第五十二页，

21、共134页。下面证明 。由 可得 ，即注意(zh y)到 ，所以即因为 ，所以 ，这样(zhyng)得到于是第52页/共134页第五十三页，共134页。充分性：若 ，则Schur引理与正规矩阵引理与正规矩阵定义：设定义：设 ，若存在，若存在 ，使得，使得则称则称 酉相似酉相似(或正交相似或正交相似)于于 定理定理(dngl)(Schur引理引理)：任何一个：任何一个 阶复矩阵阶复矩阵 酉酉相似于一个上相似于一个上(下下)三角矩阵。三角矩阵。第53页/共134页第五十四页，共134页。证明：用数学归纳法。证明：用数学归纳法。的阶数为的阶数为1时定理显然成立。时定理显然成立。现设现设 的阶数为的阶

22、数为 时定理成立，考虑时定理成立，考虑 的阶数为的阶数为 时的情况。时的情况。取取 阶矩阵阶矩阵 的一个特征值的一个特征值 ，对应，对应(duyng)的单位特征向量为的单位特征向量为 ，构造以，构造以 为第一为第一列的列的 阶酉矩阵阶酉矩阵 ，因为 构成(guchng)的一个标准正交基，故第54页/共134页第五十五页，共134页。，因此(ync)其中 是 阶矩阵，根据(gnj)归纳假设，存在 阶酉矩阵 满足(上三角(snjio)矩阵)第55页/共134页第五十六页，共134页。令那么(n me)第56页/共134页第五十七页，共134页。注意注意:等号右端的三角矩阵主对角线上的元等号右端的三

23、角矩阵主对角线上的元素为矩阵素为矩阵 的全部特征值的全部特征值.定理定理(dngl)(Schur不等式不等式):设设 为矩阵为矩阵 的特征值的特征值,那么那么例例:已知矩阵已知矩阵 第57页/共134页第五十八页，共134页。试求酉矩阵试求酉矩阵 使得使得(sh de)为上为上三角矩阵三角矩阵.解解:首先求矩阵首先求矩阵 的特征值的特征值第58页/共134页第五十九页，共134页。所以所以(suy)为矩阵为矩阵 的三重特征值的三重特征值.当当 时时,有单位特征向量有单位特征向量再解与其内积为零的方程再解与其内积为零的方程求得一个单位解向量求得一个单位解向量第59页/共134页第六十页，共134

24、页。再解与再解与 内积为零的方程组内积为零的方程组求得一个求得一个(y)单位解向量单位解向量取取第60页/共134页第六十一页，共134页。计算计算(j sun)可得可得第61页/共134页第六十二页，共134页。令令第62页/共134页第六十三页，共134页。再求矩阵再求矩阵 的特征值的特征值所以所以 为矩阵为矩阵 的二重的二重(r zhn)特特征值征值.当当 时时,有单位特征向量有单位特征向量第63页/共134页第六十四页，共134页。再解与其内积为零的方程再解与其内积为零的方程求得一个求得一个(y)单位解向量单位解向量第64页/共134页第六十五页，共134页。取取计算计算(j sun)

25、可得可得第65页/共134页第六十六页，共134页。令令于是于是(ysh)有有第66页/共134页第六十七页，共134页。则则第67页/共134页第六十八页，共134页。矩阵矩阵 即为所求的酉矩阵即为所求的酉矩阵.正规矩阵正规矩阵定义定义(dngy):设设 ,如果如果 满足满足第68页/共134页第六十九页，共134页。那么那么(n me)称矩阵称矩阵 为一个正规矩阵为一个正规矩阵.设设 ,如果如果 同样满足同样满足那么那么(n me)称矩阵称矩阵 为一个实正规矩阵为一个实正规矩阵.例例:(1)为实正规矩阵为实正规矩阵 第69页/共134页第七十页，共134页。(2)其中其中(qzhng)是不

26、全为零的实数是不全为零的实数,容易验证这是一个实正规矩阵容易验证这是一个实正规矩阵.第70页/共134页第七十一页，共134页。(3)这是一个正规矩阵这是一个正规矩阵.(4)H-阵阵,反反H-阵阵,正交矩阵正交矩阵,酉矩阵酉矩阵,对角对角(du jio)矩阵都是正规矩阵矩阵都是正规矩阵.正规矩阵的性质与结构定理正规矩阵的性质与结构定理第71页/共134页第七十二页，共134页。引理引理 1:设设 是一个正规矩阵是一个正规矩阵,则与则与 酉相似的矩阵一定是正规矩阵酉相似的矩阵一定是正规矩阵.引理引理 2:设设 是一个正规矩阵是一个正规矩阵,且又是且又是三角三角(snjio)矩阵矩阵,则则 必为对

27、角矩阵必为对角矩阵.由上述引理可以得到正规矩阵的结构定理由上述引理可以得到正规矩阵的结构定理定理定理 :设设 ,则则 是正规是正规矩阵的充要条件是存在一个酉矩阵矩阵的充要条件是存在一个酉矩阵 使得使得第72页/共134页第七十三页，共134页。其中其中 是矩阵是矩阵 的特征值的特征值.推论推论 1:阶正规阶正规(zhnggu)矩阵有矩阵有 个个线性无关的特征向量线性无关的特征向量.第73页/共134页第七十四页，共134页。推论推论 2:正规矩阵属于不同特征值的征向量正规矩阵属于不同特征值的征向量(xingling)彼此正交彼此正交.例例 1:设设求正交矩阵求正交矩阵 使得使得 为对角矩阵为对

28、角矩阵.解解:先计算矩阵的特征值先计算矩阵的特征值第74页/共134页第七十五页，共134页。其特征值为其特征值为对于特征值对于特征值 解线性方程组解线性方程组求得其一个基础解系求得其一个基础解系现在现在(xinzi)将将 单位化并正交化单位化并正交化,得得到两个标准正交向量到两个标准正交向量第75页/共134页第七十六页，共134页。对于特征值对于特征值 解线性方程组解线性方程组求得其一个基础求得其一个基础(jch)解系解系将其单位化得到一个单位向量将其单位化得到一个单位向量第76页/共134页第七十七页，共134页。将这三个标准正交向量组成将这三个标准正交向量组成(z chn)矩阵矩阵第7

29、7页/共134页第七十八页，共134页。则矩阵则矩阵(j zhn)即为所求正交矩阵即为所求正交矩阵(j zhn)且有且有例例 2:设设第78页/共134页第七十九页，共134页。求酉矩阵求酉矩阵 使得使得(sh de)为对角为对角矩阵矩阵.第79页/共134页第八十页，共134页。解解:先计算矩阵的特征值先计算矩阵的特征值其特征值为其特征值为对于特征值对于特征值 解线性方程组解线性方程组求得其一个求得其一个(y)基础解系基础解系第80页/共134页第八十一页，共134页。现在将现在将 单位单位(dnwi)化化,得到一个单位得到一个单位(dnwi)向量向量对于特征值对于特征值 解线性方程组解线性

30、方程组求得其一个基础解系求得其一个基础解系将其单位将其单位(dnwi)化得到一个单位化得到一个单位(dnwi)向量向量第81页/共134页第八十二页，共134页。对于特征值对于特征值 解线性方程组解线性方程组求得其一个基础解系求得其一个基础解系将其单位将其单位(dnwi)化得到一个单位化得到一个单位(dnwi)向量向量第82页/共134页第八十三页，共134页。将这三个标准将这三个标准(biozhn)正交向量组成矩阵正交向量组成矩阵则矩阵则矩阵(j zhn)即为所求酉矩阵即为所求酉矩阵(j zhn)且有且有第83页/共134页第八十四页，共134页。第84页/共134页第八十五页，共134页。

31、例例 3 证明证明:(1)H-矩阵的特征值为实数矩阵的特征值为实数;H-矩阵属矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的于不同特征值的特征向量是正交的.(2)反反H-矩阵的特征值为零或纯虚数矩阵的特征值为零或纯虚数.(3)酉矩阵的特征值模长为酉矩阵的特征值模长为1.定理定理(dngl):设设 是正规矩阵是正规矩阵,则则 (1)是是H-阵的充要条件是阵的充要条件是 的特征的特征值为实数值为实数 .第85页/共134页第八十六页，共134页。(2)是反是反H-阵的充要条件是阵的充要条件是 的特征的特征值的实部为零值的实部为零 .(3)是是U-阵的充要条件是阵的充要条件是 的特征值的特征值的模长为的模长为

32、1 .注意注意:正规矩阵正规矩阵(j zhn)绝不仅此三类绝不仅此三类.例例 4 :设设 是一个反是一个反H-阵阵,证明证明:是是U-阵阵.证明证明:根据根据U-阵的定义阵的定义第86页/共134页第八十七页，共134页。由于由于 是反是反H-阵阵,所以所以,这样这样(zhyng)于是可得于是可得 第87页/共134页第八十八页，共134页。这说明这说明(shumng)为酉矩阵为酉矩阵.第88页/共134页第八十九页，共134页。例例 5 :设设 是一个是一个(y)阶阶H-阵且存在自然阵且存在自然数数 使得使得 ,证明证明:.证明证明:由于由于 是正规矩阵是正规矩阵,所以存在一个所以存在一个(

33、y)酉矩阵酉矩阵 使得使得第89页/共134页第九十页，共134页。于是可得于是可得从而从而(cng r)这样这样第90页/共134页第九十一页，共134页。即即 Hermite二次型二次型(Hermite二次齐次多项式二次齐次多项式)Hermite矩阵的基本矩阵的基本(jbn)性质性质引理引理:设设 ,则则 (1)都是都是H-阵阵.第91页/共134页第九十二页，共134页。(2)是反是反H-阵阵.(3)如果如果 是是H-阵阵,那么那么(n me)也是也是H-阵阵,为任意正整数为任意正整数.(4)如果如果 是可逆的是可逆的H-阵阵,那么那么(n me)也是可逆的也是可逆的H-阵阵.(5)如果

34、如果 是是H-阵阵(反反H-阵阵),那么那么(n me)是反是反H-矩阵矩阵(H-阵阵),这里这里 为虚数单位为虚数单位.(6)如果如果 都是都是H-阵阵,那么那么(n me)也是也是H-阵阵,这里这里 均为实数均为实数.(7)如果如果 都是都是H-阵阵,那么那么(n me)也是也是H-阵的充分必要条件是阵的充分必要条件是第92页/共134页第九十三页，共134页。定理定理:设设 ,则则 (1)是是H-阵的充分必要条件是对于任阵的充分必要条件是对于任意的意的 是实数是实数.(2)是是H-阵的充分必要条件是对于任阵的充分必要条件是对于任意的意的 阶方阵阶方阵 为为H-阵阵.H-阵的结构阵的结构(

35、jigu)定理定理定理定理:设设 ,则则 是是H-阵的充分阵的充分必要条件是存在一个酉矩阵必要条件是存在一个酉矩阵 使得使得第93页/共134页第九十四页，共134页。其中其中 ,此定理经常叙述此定理经常叙述为为:H-阵酉相似于实对角矩阵阵酉相似于实对角矩阵(j zhn).推论推论:实对称阵正交相似于实对角矩阵实对称阵正交相似于实对角矩阵(j zhn).第94页/共134页第九十五页，共134页。例例 :设设 为一个幂等为一个幂等H-阵阵,则存在酉则存在酉矩阵矩阵 使得使得证明证明:由于由于(yuy)为一个为一个H-阵阵,所所以存在酉矩阵以存在酉矩阵 使得使得第95页/共134页第九十六页，共

36、134页。又由于又由于 为一个幂等为一个幂等H-阵阵,从而从而 或或将将1放在一起放在一起,将将0放在一起放在一起,那么那么(n me)可找到可找到一个酉矩阵一个酉矩阵 使得使得第96页/共134页第九十七页，共134页。这里这里 为矩阵为矩阵(j zhn)的秩的秩.Hermite二次型二次型 (Hermite二次齐次多项式二次齐次多项式)定义定义:由由 个复变量个复变量 ,系数为系数为复数的二次齐次多项式复数的二次齐次多项式第97页/共134页第九十八页，共134页。称为称为(chn wi)Hermite二次型二次型,这里这里如果记如果记 第98页/共134页第九十九页，共134页。第99页

37、/共134页第一百页，共134页。那么上面的那么上面的Hermite二次型可以二次型可以(ky)记为记为称为称为Hermite二次型对应的矩阵二次型对应的矩阵,并称并称 的的秩为秩为Hermite二次型的秩二次型的秩.对于对于Hermite二次型作可逆的线性替换二次型作可逆的线性替换则则第100页/共134页第一百零一页，共134页。这里这里Hermite二次型中最简单的一种是只含有纯的平二次型中最简单的一种是只含有纯的平方项无交叉方项无交叉(jioch)项的二次型项的二次型我们称这种形状的我们称这种形状的Hermite二次型为标准形的二次型为标准形的Hermite二次型二次型.定理定理:对于

38、任意一个对于任意一个Hermite二次型二次型 第101页/共134页第一百零二页，共134页。必存在酉线性替换必存在酉线性替换可以将可以将Hermite二次型二次型 化为标准形化为标准形其中其中 是是H-矩阵矩阵(j zhn)的特的特征值征值.进一步进一步,我们有我们有定理定理:对于对于Hermite二次型二次型 第102页/共134页第一百零三页，共134页。必存在可逆的线性替换必存在可逆的线性替换可以将可以将Hermite二次型二次型 化为化为其中其中 .我们称上面的标准我们称上面的标准(biozhn)形为形为Hermite二次型二次型的规范形的规范形.例例:写出下面写出下面Hermit

39、e二次型的矩阵表达式二次型的矩阵表达式,并用并用酉线性替换将其化为标准酉线性替换将其化为标准(biozhn)形形.第103页/共134页第一百零四页，共134页。解解:第104页/共134页第一百零五页，共134页。第105页/共134页第一百零六页，共134页。正定正定Hermite二次型与正定二次型与正定Hermite矩阵矩阵定义定义:对于给定对于给定(i dn)的的Hermite二次形二次形如果对于任意一组不全为零复数如果对于任意一组不全为零复数 都有都有第106页/共134页第一百零七页，共134页。则称该则称该Hermite二次形为正定二次形为正定(zhn dn)的的(半半正定正定(

40、zhn dn)的的),并称相应的并称相应的H-矩阵矩阵 为为正定正定(zhn dn)的的(半正定半正定(zhn dn)的的).例例:判断下列判断下列Hermite二次形的类别二次形的类别 第107页/共134页第一百零八页，共134页。与正定的实二次形一样与正定的实二次形一样,关于关于(guny)正定的正定的Hermite二次形我们有二次形我们有定理定理:对于给定的对于给定的Hermite二次形二次形下列叙述是等价的下列叙述是等价的 第108页/共134页第一百零九页，共134页。(1)是正定的是正定的 (2)对于任何对于任何 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 都有都有为正定矩阵为正定矩阵 (3)的的 个

41、特征值都大于零个特征值都大于零 (4)存在存在 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 使得使得 (5)存在存在 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 使得使得 (6)存在正线上三角矩阵存在正线上三角矩阵 使得使得,且此分解是唯一的且此分解是唯一的.例例 1 :设设 是一个正定的是一个正定的H-阵阵,且又是酉矩且又是酉矩阵阵,则则证明证明(zhngmng):由于由于 是一个正定是一个正定H-阵阵,所以必存在所以必存在第109页/共134页第一百一十页，共134页。酉矩阵酉矩阵 使得使得(sh de)由于由于 又是酉矩阵又是酉矩阵,所以所以第110页/共134页第一百一十一页，共134页。这样必有这样必有 ,从而从而例例 2 :

42、设设 是一个正定的是一个正定的H-阵阵,是一个反是一个反H-阵阵,证明证明:与与 的特征值实部为零的特征值实部为零.证明证明:设设 为矩阵的任意一个特征值为矩阵的任意一个特征值,那么有那么有 .由于由于 是一个正定是一个正定H-阵阵,所以存在可逆矩阵所以存在可逆矩阵 使得使得将其代入上面将其代入上面(shng min)的特征多项式有的特征多项式有第111页/共134页第一百一十二页，共134页。这说明这说明(shumng)也是矩阵也是矩阵 的特征值的特征值.另一方面注意矩阵另一方面注意矩阵 为为H-反阵反阵,从而从而 实实部为零部为零.同样可以证明另一问同样可以证明另一问.第112页/共134

43、页第一百一十三页，共134页。例例 3 :设设 是一个正定的是一个正定的H-阵阵,是一是一个反个反H-阵阵,证明证明:是可逆矩阵是可逆矩阵.证明证明:由于由于 是一个正定是一个正定H-阵阵,所以存在所以存在可逆矩阵可逆矩阵 使得使得这表明这表明 是可逆的是可逆的.于是于是另一方面注意另一方面注意(zh y)矩阵矩阵 仍然为正定仍然为正定H-阵阵,而矩阵而矩阵 为为H-反阵反阵,由上面的例题由上面的例题结论可知结论可知第113页/共134页第一百一十四页，共134页。矩阵矩阵 的特征值实部为零的特征值实部为零,那么那么(n me)矩矩阵阵的特征值中不可能有零的特征值中不可能有零,从而从而定理定理

44、:对于给定的对于给定的Hermite二次形二次形下列叙述下列叙述(xsh)是等价的是等价的:(1)是半正定的是半正定的第114页/共134页第一百一十五页，共134页。(2)对于对于(duy)任何任何 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 都有都有为半正定矩阵为半正定矩阵(3)的的 个特征值全是非负的个特征值全是非负的 存在存在 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 使得使得(5)存在秩为存在秩为 的的 阶矩阵阶矩阵 使得使得第115页/共134页第一百一十六页，共134页。定理定理:设设 是正定是正定(半正定半正定)Hermite矩阵矩阵,那么那么存在正定存在正定(半正定半正定)Hermite矩阵矩阵 使得使得例例 1 :

45、设设 是一个半正定的是一个半正定的H-阵且阵且 证证明明(zhngmng):证明证明(zhngmng):设设 为为 的全的全部特征值部特征值,由于由于 是半正定的是半正定的,所以所以 .于于是有是有 第116页/共134页第一百一十七页，共134页。例例 2 :设设 是一个半正定是一个半正定(zhn dn)的的H-阵且阵且 是一个正定是一个正定(zhn dn)的的H-阵阵,证明证明:证明证明:由于由于 是一个正定是一个正定(zhn dn)的的H-阵阵,所所以存在可逆矩阵以存在可逆矩阵 使得使得这样有这样有第117页/共134页第一百一十八页，共134页。注意矩阵注意矩阵仍然仍然(rngrn)是

46、一个半正定的是一个半正定的H-阵阵,有上面的例有上面的例题可知题可知从而从而第118页/共134页第一百一十九页，共134页。例例 3 :证明：证明：（1）半正定半正定H-矩阵之和仍然是半正定的矩阵之和仍然是半正定的;（2）半正定半正定H-矩阵与正定矩阵与正定H-阵之和和是阵之和和是正定的正定的;证明：设证明：设 都是半正定都是半正定H-阵，那么二者阵，那么二者之和之和 仍然是一个仍然是一个H-阵，其对应阵，其对应(duyng)的的Hermite二次型为二次型为 其中其中第119页/共134页第一百二十页，共134页。由于由于 都是半正定都是半正定H-矩阵，所以对于矩阵，所以对于任意一组不全为

47、零的复数任意一组不全为零的复数(fsh)我们有我们有这说明这说明 为一个半正定为一个半正定H-阵。阵。类似地，可以证明另外一问。类似地，可以证明另外一问。第120页/共134页第一百二十一页，共134页。例例 4 :设设 都是都是 阶正定阶正定H-阵，则阵，则的根全为正实数。的根全为正实数。证明：因为证明：因为 是正定的，所以存在可逆矩阵是正定的，所以存在可逆矩阵 使得使得另一方面注意另一方面注意(zh y)到到 是一个正定是一个正定H-阵，从而有阵，从而有第121页/共134页第一百二十二页，共134页。的根全为正实数。又由于的根全为正实数。又由于故故 的根全为正实数。的根全为正实数。定理定

48、理(dngl):设设 是一个（半）正定是一个（半）正定H-阵，阵，那么必存在唯一的一个（半）正定那么必存在唯一的一个（半）正定H-阵阵 ，使得，使得第122页/共134页第一百二十三页，共134页。Hermite矩阵矩阵(j zhn)偶在复合同（复相合）偶在复合同（复相合）下的标准形下的标准形例例 ：设：设 均为均为 阶阶Hermite-阵阵,且且又是正定的，证明必存在又是正定的，证明必存在 使得使得第123页/共134页第一百二十四页，共134页。与与同时同时(tngsh)成立，其中成立，其中 是与是与 无关的实数。无关的实数。证明：证明：由于由于 是正定是正定H-阵，所以存在阵，所以存在

49、使得使得又由于又由于 也是也是H-阵，那么存在阵，那么存在 使得使得第124页/共134页第一百二十五页，共134页。其中其中(qzhng)是是H-阵阵 的的 个实特征值。个实特征值。如果记如果记 ，则有，则有第125页/共134页第一百二十六页，共134页。下面下面(xi mian)证明证明 个实特征值个实特征值 与与 无关。令无关。令 ，那么，那么 是特是特征方程征方程第126页/共134页第一百二十七页，共134页。的特征根。又由于的特征根。又由于因此因此 是方程是方程的根。它完全是由的根。它完全是由 决定的与决定的与 无关无关。由此可以得到由此可以得到(d do)下面的下面的H-阵偶标

50、准形阵偶标准形定理：定理：第127页/共134页第一百二十八页，共134页。定理：对于给定定理：对于给定(i dn)的两个二次型的两个二次型其中其中 是正定的，则存在非退化的线是正定的，则存在非退化的线性替换性替换可以将可以将 同时化成标准形同时化成标准形第128页/共134页第一百二十九页，共134页。其中其中(qzhng)是方程是方程 的根，而且全为实数。的根，而且全为实数。定义：设定义：设 均为均为 阶阶Hermite-阵阵,且且又是正定的，求又是正定的，求 使得方程使得方程有非零解的充分必要条件是有非零解的充分必要条件是第129页/共134页第一百三十页，共134页。关于关于 的的 次