矩阵分析PPT学习教案.pptx

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1、会计学1矩阵矩阵(j zhn)分析分析PPT第一页，共134页。 第三章第三章 内积空间，正规矩阵内积空间，正规矩阵(j zhn)与与H-阵阵定义：定义： 设设 是实数域是实数域 上的上的 维线性空间维线性空间，对于，对于 中的任意两个向量中的任意两个向量 按照某一按照某一确定法则对应着一个实数，这个实数称为确定法则对应着一个实数，这个实数称为 与与 的内积，记为的内积，记为 ，并且要求内积满足，并且要求内积满足下列运算条件：下列运算条件：VRnV, ( ,) (1)( ,)( , )(2)(,)( ,)(3)(, )( , )( , )(4)( , )0kk 第1页/共134页第二页，共13

2、4页。这里这里 是是 中任意向量，中任意向量， 为任意实为任意实数数(shsh)，只有当，只有当 时时 ，我们称带，我们称带有这样内积的有这样内积的 维线性空间维线性空间 为欧氏空间为欧氏空间。例例 1 在在 中，对于中，对于规定规定容易验证容易验证 是是 上的一个内积，上的一个内积，从而从而 成为一个欧氏空间。如果规定成为一个欧氏空间。如果规定, Vk0( , )0 nVnR1212(,),(,)nnx xxy yy11122( ,)nnx yx yx y 1(,)nRnR第2页/共134页第三页，共134页。21122( ,)2nnx yx ynx y 容易容易(rngy)验证验证 也是也

3、是 上上的一个内积的一个内积，这样，这样 又成为另外一个欧氏空间。又成为另外一个欧氏空间。2(,)nR例例 2 在在 维线性空间维线性空间 中，规定中，规定容易容易(rngy)验证这是验证这是 上的一个内积，这上的一个内积，这样样 对于这个内积成为一个欧氏空间对于这个内积成为一个欧氏空间。例例 3 在线性空间在线性空间 中，规定中，规定n mRnm( , ):()TA BTr AB , C a bn mRn mRnR第3页/共134页第四页，共134页。( , ):( ) ( )baf gf x g x dx容易验证容易验证 是是 上的一个内积上的一个内积，这样，这样 对于这个内积成为一个欧氏

4、对于这个内积成为一个欧氏空间。空间。定义：定义： 设设 是复数域是复数域 上的上的 维线性空间维线性空间，对于，对于 中的任意两个向量中的任意两个向量 按照某一按照某一确定法则对应着一个复数，这个复数称为确定法则对应着一个复数，这个复数称为 与与 的内积，记为的内积，记为 ，并且要求内积满足，并且要求内积满足下列运算下列运算(yn sun)条件：条件：( , )f g , C a b , C a bVCnV, ( ,) 第4页/共134页第五页，共134页。(1)( ,)( , )(2)(,)( ,)(3)(, )( , )( , )(4)( , )0kk 这里这里(zhl) 是是 中任意向量

5、，中任意向量， 为为任意复数任意复数，只有当，只有当 时时 ，我们称带，我们称带有这样内积的有这样内积的 维线性空间维线性空间 为酉空间。为酉空间。欧氏空间与酉空间通称为内积空间。欧氏空间与酉空间通称为内积空间。例例 1 设设 是是 维复向量空间，任取维复向量空间，任取, 0( , )0 nVVknCn第5页/共134页第六页，共134页。1212(,),( ,)nna aab bb规定规定容易验证容易验证 是是 上的一个内积，从而上的一个内积，从而 成为一个酉空间。成为一个酉空间。例例 2 设设 表示闭区间表示闭区间 上的所有连上的所有连续续(linx)复值函数组成的线性空间，定义复值函数组

6、成的线性空间，定义1 122( ,):()Tnna ba ba b (,)nCnC , C a b , a b( , ):( ) ( )baf gf x g x dx第6页/共134页第七页，共134页。容易验证容易验证 是是 上的一个上的一个内积，于是内积，于是 便成为一个酉空间。便成为一个酉空间。例例 3 在在 维线性空间维线性空间 中，规定中，规定其中其中 表示表示 中所有元素取共轭复数后再中所有元素取共轭复数后再转置，容易验证转置，容易验证 是是 上的上的一个内积，从而一个内积，从而 连同这个内积一起成连同这个内积一起成为酉空间。为酉空间。内积空间的基本内积空间的基本(jbn)性质：性

7、质：(,) , C a b , C a b2nn nC( , ):()HA BTr ABHBB(,)n nCn nC第7页/共134页第八页，共134页。1111(1)( ,)( ,)(2)( ,)( ,)( , )(3)(,)(,)(4)( ,)( ,)ttiiiiiittiiiiiikkkkkk 欧氏空间欧氏空间(kngjin)的性质：的性质：第8页/共134页第九页，共134页。酉空间的性质酉空间的性质(xngzh)：1111(1)( ,)( ,)(2)( ,)( ,)( , )(3)(,)(,)(4)( ,)( ,)ttiiiiiittiiiiiikkkkkk 第9页/共134页第十页

8、，共134页。定义：设定义：设 是是 维酉空间，维酉空间， 为其一组基为其一组基底底(j d)，对于，对于 中的任意两个向量中的任意两个向量那么那么 与与 的内积的内积Vn iV11,nniijjijxy11,1( ,)(,)(,)nnniiiiijijiji jxyx y 令令(,),1,2,ijijgi jn 第10页/共134页第十一页，共134页。111212122212nnnnnnggggggGggg称称 为基底为基底 的度量矩阵，而且的度量矩阵，而且定义：设定义：设 ，用，用 表示以表示以 的元素的元素(yun s)的共轭复数为元素的共轭复数为元素(yun s)组成的矩组成的矩阵，

9、记阵，记G i,( )TijijggGGn nACAA第11页/共134页第十二页，共134页。( )HTAA则称则称 为为 的复共轭转置矩阵。不难验证的复共轭转置矩阵。不难验证复共轭转置矩阵满足下列复共轭转置矩阵满足下列(xili)性质：性质：HAA(1)()(2)()(3)()(4)()HTHHHHHHHHAAABABkAkAABB A第12页/共134页第十三页，共134页。11(5)()()(6)()(7)(8)()()kHHkHHHHAAAAAAAA定义：设定义：设 ,如果如果(rgu) ，那，那么称么称 为为Hermite矩阵；如果矩阵；如果(rgu) ，那么称那么称 为反为反He

10、rmite矩阵。矩阵。例例 判断下列矩阵是判断下列矩阵是H-阵还是反阵还是反H-阵。阵。n nACHAAAHAA A第13页/共134页第十四页，共134页。4242(1)2142126123(2)1291317iiiiiiiiiiiii 第14页/共134页第十五页，共134页。018(3)1048403132(4)134152155iiiiiiiiiiii 第15页/共134页第十六页，共134页。（5） 实对称矩阵实对称矩阵（6） 反实对称矩阵反实对称矩阵（7） 欧氏空间的度量矩阵欧氏空间的度量矩阵（8） 酉空间的度量矩阵酉空间的度量矩阵内积空间的度量内积空间的度量定义定义(dngy)：

11、设：设 为酉（欧氏）空间，为酉（欧氏）空间，向量向量 的长度定义的长度定义(dngy)为非负实数为非负实数例例 在在 中求下列向量的长度中求下列向量的长度VV( , ) 4C第16页/共134页第十七页，共134页。(1)(12 ,3,22 )(2)(1, 2,3,4)iii解：解： 根据上面的公式可知根据上面的公式可知(k zh)一般地，我们有一般地，我们有: 对于对于 中的任意向量中的任意向量其长度为其长度为5196211491630 nC12(,)na aa第17页/共134页第十八页，共134页。21niia这里这里 表示复数表示复数 的模。的模。定理：向量定理：向量(xingling

12、)长度具有如下性质长度具有如下性质 当且仅当当且仅当 时，时， iaia(1)000(2),kkkC(3)(4)( ,) 第18页/共134页第十九页，共134页。例例 1： 在线性空间在线性空间 中，证明中，证明例例 2 设设 表示闭区间表示闭区间 上的所上的所有有(suyu)连续复值函数组成的线性空间，证连续复值函数组成的线性空间，证明：对于任意的明：对于任意的 ，我，我们有们有( )n nMC()()()HHHTr ABTr AATr BB , C a b , a b( ), ( ) , f x g xC a b22( ) ( ) ( )( )( )( )( )bbbaaaf x g x

13、 d xf xd xg xd x第19页/共134页第二十页，共134页。定义：设定义：设 为欧氏空间，两个非零向量为欧氏空间，两个非零向量(xingling) 的夹角定义为的夹角定义为于是有于是有定理：定理：V, ( ,),: arccos 0,2 ,( ,)02 第20页/共134页第二十一页，共134页。因此我们引入下面的概念因此我们引入下面的概念;定义：在酉空间定义：在酉空间 中，如果中，如果(rgu) ，则称，则称 与与 正交。正交。定义：定义： 长度为长度为1的向量称为单位向量，对于任何的向量称为单位向量，对于任何一个非零的向量一个非零的向量 ，向量，向量总是单位向量，称此过程为单

14、位化。总是单位向量，称此过程为单位化。 V( ,)0 第21页/共134页第二十二页，共134页。标准正交基底与标准正交基底与Schmidt正交化方法正交化方法定义：设定义：设 为一组不含有零向量的向量组，如果为一组不含有零向量的向量组，如果(rgu) 内的任意两个向量彼此正交，则称其内的任意两个向量彼此正交，则称其为正交的向量组。为正交的向量组。定义：如果定义：如果(rgu)一个正交向量组中任何一个向量一个正交向量组中任何一个向量都是单位向量，则称此向量组为标准的正交向量组都是单位向量，则称此向量组为标准的正交向量组。例例 在在 中向量组中向量组 i i3C第22页/共134页第二十三页，共

15、134页。12321 222 1, , , 33 333 31 2 2 , 3 3 3 与向量与向量(xingling)组组都是标准正交向量都是标准正交向量(xingling)组。组。123 cos ,0,sin ,0,1,0 sin ,0, cos ii 第23页/共134页第二十四页，共134页。定义：在定义：在 维内积空间中，由维内积空间中，由 个正交向量个正交向量组成的基底称为正交基底；由组成的基底称为正交基底；由 个标准的正个标准的正交向量组成的基底称为标准正交基底。交向量组成的基底称为标准正交基底。注意：标准正交基底不唯一。在上面的例题注意：标准正交基底不唯一。在上面的例题中可以发

16、现中可以发现(fxin)这一问题。这一问题。定理：向量组定理：向量组 为正交向量组的充分必要为正交向量组的充分必要条件是条件是 ;向量组向量组 为标准正交向量组的充分必要条为标准正交向量组的充分必要条件是件是nnn i(,)0,ijij i第24页/共134页第二十五页，共134页。定理：正交的向量组是一个线性无关的向量组定理：正交的向量组是一个线性无关的向量组。反之，由一个线性无关的向量组出发可以构。反之，由一个线性无关的向量组出发可以构造一个正交向量组，甚至是一个标准造一个正交向量组，甚至是一个标准(biozhn)正交向量组。正交向量组。Schmidt正交化与单位化过程正交化与单位化过程:

17、 设设 为为 维内积空间维内积空间 中中的的 个线性无关的向量，利用这个线性无关的向量，利用这 个向量完全个向量完全可以构造一个标准可以构造一个标准(biozhn)正交向量组。正交向量组。 1(,)0ijijijij Vnr12,r r第25页/共134页第二十六页，共134页。11212211111111111,rrrrrrrr 第一步第一步 正交化正交化容易容易(rngy)验证验证 是一个正交向是一个正交向量组。量组。12,r 第26页/共134页第二十七页，共134页。第二步第二步 单位单位(dnwi)化化显然显然 是一个标准的正交向量是一个标准的正交向量组。组。例例 1 运用正交化与单

18、位运用正交化与单位(dnwi)化过程将向化过程将向量组量组化为标准正交向量组。化为标准正交向量组。解：先正交化解：先正交化 121212,rrr12,r 1231,1,0,0 ,1,0,1,0 ,1,0,0,1 第27页/共134页第二十八页，共134页。1121221113132331211221,1,0,0,11,1,0,22,1 1 1,1,3 3 3 再单位再单位(dnwi)化化 第28页/共134页第二十九页，共134页。11122233311,0,022112,06661113,2 3 2 3 2 3 2 3 那么那么 即为所求的标准正交向量即为所求的标准正交向量(xingling

19、)组。组。例例 2 求下面齐次线性方程组求下面齐次线性方程组123, 第29页/共134页第三十页，共134页。1234123412340234023450 xxxxxxxxxxxx其解空间的一个标准正交基底。其解空间的一个标准正交基底。解：解： 先求出其一个基础先求出其一个基础(jch)解系解系下面对下面对 进行正交化与单位化：进行正交化与单位化：121, 2,0,1 ,2, 3,0,1XX12,XX第30页/共134页第三十一页，共134页。112122111111222(,)214,1 ;(,)333121,06662143,3030303XXX 即为其解空间的一个标准即为其解空间的一个

20、标准(biozhn)正交基底。正交基底。12, 第31页/共134页第三十二页，共134页。 酉变换与正交变换酉变换与正交变换定义：设定义：设 为一个为一个 阶复矩阵，如果其满足阶复矩阵，如果其满足(mnz)则称则称 是酉矩阵，一般记为是酉矩阵，一般记为 设设 为一个为一个 阶实矩阵，如果其满阶实矩阵，如果其满足足(mnz)则称则称 是正交矩阵，一般记为是正交矩阵，一般记为 AnHHA AAAIAn nAUAnTTA AAAIAn nAE第32页/共134页第三十三页，共134页。例：例：22022(1)10022022是一个是一个(y )正交正交矩阵矩阵第33页/共134页第三十四页，共13

21、4页。212333221(2)333122333是一个是一个(y )正交矩阵正交矩阵是一个是一个(y )正交矩阵正交矩阵cossin(3)sincos第34页/共134页第三十五页，共134页。（5）设）设 且且 ，如果，如果 则则 是一个是一个(y )酉矩阵。通常称为酉矩阵。通常称为Householder矩阵。矩阵。 1nC1H 2HAIAcos0sin(4)010sin0cosii是一个是一个(y )酉矩阵酉矩阵第35页/共134页第三十六页，共134页。酉矩阵酉矩阵(j zhn)与正交矩阵与正交矩阵(j zhn)的性质的性质：设设 ，那么，那么设设 ，那么，那么,n nA BU1(1)(

22、2)det( )1(3),Hn nn nAAUAAB BAU,n nA BE第36页/共134页第三十七页，共134页。1(1)(2)det( )1(3),Tn nn nAAEAAB BAE 定理：定理： 设设 ， 是一个酉矩阵的充分是一个酉矩阵的充分必要条件为必要条件为 的的 个列（或行）向量组是标个列（或行）向量组是标准正交向量组。准正交向量组。定义：定义： 设设 是一个是一个 维酉空间，维酉空间， 是是 的的一个线性变换，如果一个线性变换，如果(rgu)对任意的对任意的 都有都有n nACAnAVnV,V ( ( ),( )( ,) 第37页/共134页第三十八页，共134页。则称则称

23、是是 的一个的一个(y )酉变换。酉变换。定理：设定理：设 是一个是一个(y ) 维酉空间，维酉空间， 是是 的一个的一个(y )线性变换，那么下列陈述等价：线性变换，那么下列陈述等价：（1） 是酉变换；是酉变换；（3）将）将 的标准正交基底变成标准正交基底；的标准正交基底变成标准正交基底；（4）酉变换在标准正交基下的矩阵表示为酉矩）酉变换在标准正交基下的矩阵表示为酉矩阵。阵。注意：关于正交变换也有类似的刻划。注意：关于正交变换也有类似的刻划。VVnV(2)( ),V V第38页/共134页第三十九页，共134页。 幂等矩阵幂等矩阵定义：设定义：设 ，如果，如果 满足满足(mnz)则称则称 是

24、一个幂等矩阵。是一个幂等矩阵。例例是一个分块幂等矩阵。是一个分块幂等矩阵。 n nACA2AAA(),rn nrn rIMACMCOO第39页/共134页第四十页，共134页。幂等矩阵的一些性质：设幂等矩阵的一些性质：设 是幂等矩阵，那么有是幂等矩阵，那么有（1） 都是幂等都是幂等矩阵；矩阵；（2）（3） （4） 的充分的充分(chngfn)必要条件是必要条件是（5）A,THTHAAIA IAIA()()0A IAIA A( )()N AR IAAxx( )xR A1( )( )nCR AN A第40页/共134页第四十一页，共134页。定理：设定理：设 是一个是一个(y )秩为秩为 的的 阶

25、矩阵阶矩阵，那么，那么 为一个为一个(y )幂等矩阵的充分必要条幂等矩阵的充分必要条件是存在件是存在 使得使得推论：设推论：设 是一个是一个(y ) 阶幂等矩阵，则有阶幂等矩阵，则有定义：设定义：设 为一个为一个(y ) 维维标准正交列向量组，那么称标准正交列向量组，那么称 型矩阵型矩阵 AnrAn nnPC1rIOP APOO( )( )Tr ARank AAn12,r nnr第41页/共134页第四十二页，共134页。112,rU 为一个次酉矩阵。一般地将其记为为一个次酉矩阵。一般地将其记为定理：定理： 设设 为一个为一个 阶矩阵，则阶矩阵，则 的充分必要条件是存在一个的充分必要条件是存在

26、一个 型次酉矩型次酉矩阵阵 使得使得(sh de)其中其中 。An2HAAAnr1n rrUU1n rrUU11HAUU( )rRank A第42页/共134页第四十三页，共134页。引理：引理： 的充分的充分(chngfn)必要条必要条件是件是证明：设证明：设 ，那么，那么1n rrUU11Hr rU UI112,rU 121()()()TTHTrU第43页/共134页第四十四页，共134页。必要性：如果必要性：如果 为一个为一个 维维标准正交列向量标准正交列向量(xingling)组，那么组，那么12,r n第44页/共134页第四十五页，共134页。121112111212122212(

27、)(),()()()()()()()()()()TTHrTrTTTrTTTrTTTrrrrU U 第45页/共134页第四十六页，共134页。111r rI充分性：设充分性：设 ， 那么那么(n me)由由 ，可得，可得112,rU 11Hr rU UI第46页/共134页第四十七页，共134页。1212111212122212()(),()()()()()()()()()()TTrTrTTTrTTTrr rTTTrrrrI 第47页/共134页第四十八页，共134页。即这表明 是一个 维标准(biozhn)正交列向量组。定理的证明：必要性：因 ，故 有 个线性无关的列向量，将这 个列向量用S

28、chmidt方法得出 个两两正交的单位向量，以这 个向量为列构成一个 型次酉矩阵1(,)()0Tijjiijij 12,r nrankrAArrrrnr第48页/共134页第四十九页，共134页。Ar 。注意到 的 个列向量(xingling)都可以由 的 个列向量(xingling)线性表出。即如果那么可得nU1212,n rrrnUUA n rrUU第49页/共134页第五十页，共134页。1212112111222212,nrnnHrrnrACCCCCCUVCCC 第50页/共134页第五十一页，共134页。其中(qzhng)111212122212rrn rnnnrCCCCCCVCCC

29、C，由于向量(xingling)组 的秩为 ，所以 的秩为 。rr12,n HV第51页/共134页第五十二页，共134页。下面证明 。 由 可得 ，即注意(zh y)到 ，所以VU2HAAAHAA AHHHUVVU UVHr rU UIHHUVVV即因为 ，所以 ，这样(zhyng)得到于是()0HUV Vrank()HVrrank()0UVUVHAUU第52页/共134页第五十三页，共134页。充分性：若 ，则HAUU2HAAASchur引理与正规矩阵引理与正规矩阵定义：设定义：设 ，若存在，若存在 ，使得，使得则称则称 酉相似酉相似(或正交相似或正交相似)于于 定理定理(dngl)(Sc

30、hur引理引理)：任何一个：任何一个 阶复矩阵阶复矩阵 酉相似于一个上酉相似于一个上(下下)三角矩阵。三角矩阵。,()n nn nA BCR或n nUU()n nE或11()HTU AUUAUBU AUUAUB或ABAn第53页/共134页第五十四页，共134页。证明：用数学归纳法。证明：用数学归纳法。 的阶数为的阶数为1时定理显然成立时定理显然成立。现设。现设 的阶数为的阶数为 时定理成立，考虑时定理成立，考虑 的阶数为的阶数为 时的情况。时的情况。 取取 阶矩阵阶矩阵 的一个特征值的一个特征值 ，对应，对应(duyng)的单位特征向量为的单位特征向量为 ，构造以，构造以 为第一为第一列的列

31、的 阶酉矩阵阶酉矩阵 ，AAA1k kkkA111112,kU 112112,kkAUAAAAA因为 构成(guchng) 的一个标准正交基，故12,k kC第54页/共134页第五十五页，共134页。1(2,3, )kiijjjAaik，因此(ync)12131111210,0kkaaaAUA 其中 是 阶矩阵，根据(gnj)归纳假设，存在 阶酉矩阵 满足1k 1k 1AW11HW AWR(上三角(snjio)矩阵)第55页/共134页第五十六页，共134页。令那么(n me)21k kUUW12112112100kHHbbUUAUUR第56页/共134页第五十七页，共134页。注意注意:

32、等号右端的三角矩阵主对角线上的元等号右端的三角矩阵主对角线上的元素为矩阵素为矩阵 的全部特征值的全部特征值.定理定理(dngl)(Schur不等式不等式): 设设 为矩阵为矩阵 的特征值的特征值, 那么那么例例: 已知矩阵已知矩阵 A12,n nnAC A221,niijii ja第57页/共134页第五十八页，共134页。308316205A试求酉矩阵试求酉矩阵 使得使得(sh de) 为上为上三角矩阵三角矩阵.解解: 首先求矩阵首先求矩阵 的特征值的特征值UHU AUA3(1)IA第58页/共134页第五十九页，共134页。所以所以(suy) 为矩阵为矩阵 的三重特征值的三重特征值. 当当

33、 时时, 有单位特征向量有单位特征向量再解与其内积为零的方程再解与其内积为零的方程求得一个单位解向量求得一个单位解向量1 A1 A1211,666T12320 xxx2333,333T第59页/共134页第六十页，共134页。再解与再解与 内积为零的方程组内积为零的方程组求得一个求得一个(y )单位解向量单位解向量取取12, 123123200 xxxxxx3220,22T第60页/共134页第六十一页，共134页。123036132326132326U计算计算(j sun)可得可得第61页/共134页第六十二页，共134页。117 27 31235 60435 6062HUAU令令第62页/

34、共134页第六十三页，共134页。15 6435 662A再求矩阵再求矩阵 的特征值的特征值所以所以 为矩阵为矩阵 的二重的二重(r zhn)特征特征值值. 当当 时时, 有单位特征向量有单位特征向量1A21(1)IA1 1A1 1A第63页/共134页第六十四页，共134页。11015,55T再解与其内积为零的方程再解与其内积为零的方程求得一个求得一个(y )单位解向量单位解向量1210150 xx21510,55T第64页/共134页第六十五页，共134页。取取计算计算(j sun)可得可得1101555151055V11 125 61601HVAV第65页/共134页第六十六页，共134

35、页。210010150551510055U令令于是于是(ysh)有有第66页/共134页第六十七页，共134页。12230515561300661302 53056WUU则则第67页/共134页第六十八页，共134页。107 30 /60125 6 /6001HW AW矩阵矩阵 即为所求的酉矩阵即为所求的酉矩阵. 正规矩阵正规矩阵定义定义(dngy): 设设 , 如果如果 满足满足Wn nACA第68页/共134页第六十九页，共134页。HHAAA A那么那么(n me)称矩阵称矩阵 为一个正规矩阵为一个正规矩阵.设设 , 如果如果 同样满足同样满足那么那么(n me)称矩阵称矩阵 为一个实正

36、规矩阵为一个实正规矩阵.例例: (1) 为实正规矩阵为实正规矩阵 An nARAHHAAA AA1111第69页/共134页第七十页，共134页。abcdbadccdabdcba (2)其中其中(qzhng) 是不全为零的实数是不全为零的实数, 容易验证这是一个实正规矩阵容易验证这是一个实正规矩阵., , ,a b c d第70页/共134页第七十一页，共134页。 (3)这是一个正规矩阵这是一个正规矩阵. (4) H-阵阵, 反反H-阵阵, 正交矩阵正交矩阵, 酉矩阵酉矩阵, 对角对角(du jio)矩阵都是正规矩阵矩阵都是正规矩阵.正规矩阵的性质与结构定理正规矩阵的性质与结构定理43462

37、4432662261iiiiiiii 第71页/共134页第七十二页，共134页。引理引理 1 : 设设 是一个正规矩阵是一个正规矩阵, 则与则与 酉相似的矩阵一定是正规矩阵酉相似的矩阵一定是正规矩阵.引理引理 2 : 设设 是一个正规矩阵是一个正规矩阵, 且又是且又是三角三角(snjio)矩阵矩阵, 则则 必为对角矩阵必为对角矩阵.由上述引理可以得到正规矩阵的结构定理由上述引理可以得到正规矩阵的结构定理定理定理 : 设设 , 则则 是正规矩是正规矩阵的充要条件是存在一个酉矩阵阵的充要条件是存在一个酉矩阵 使得使得AAAAn nACAU第72页/共134页第七十三页，共134页。12HnU A

38、U其中其中 是矩阵是矩阵 的特征值的特征值.推论推论 1 : 阶正规阶正规(zhnggu)矩阵有矩阵有 个个线性无关的特征向量线性无关的特征向量 . 12,n Ann第73页/共134页第七十四页，共134页。推论推论 2 : 正规矩阵属于不同特征值的征向量正规矩阵属于不同特征值的征向量(xingling) 彼此正交彼此正交. 例例 1 : 设设求正交矩阵求正交矩阵 使得使得 为对角矩阵为对角矩阵.解解: 先计算矩阵的特征值先计算矩阵的特征值324202423AQ1Q AQ第74页/共134页第七十五页，共134页。2(1) (8)IA其特征值为其特征值为对于特征值对于特征值 解线性方程组解线

39、性方程组求得其一个基础解系求得其一个基础解系现在现在(xinzi)将将 单位化并正交化单位化并正交化, 得得到两个标准正交向量到两个标准正交向量1231,8 11 ()0IA X 121,2,0,1,0,1TTXX 12,XX第75页/共134页第七十六页，共134页。1212425,0,3553 5 2 5TT对于特征值对于特征值 解线性方程组解线性方程组求得其一个基础求得其一个基础(jch)解系解系将其单位化得到一个单位向量将其单位化得到一个单位向量28(8)0IA X32,1,2TX 第76页/共134页第七十七页，共134页。32 1 2, ,3 3 3T将这三个标准正交向量组成将这三

40、个标准正交向量组成(z chn)矩阵矩阵123142353 5221,353 552033Q 第77页/共134页第七十八页，共134页。则矩阵则矩阵(j zhn) 即为所求正交矩阵即为所求正交矩阵(j zhn)且有且有Q1118Q AQ例例 2 : 设设434624432662261iiiAiiiii 第78页/共134页第七十九页，共134页。求酉矩阵求酉矩阵 使得使得(sh de) 为对角为对角矩阵矩阵.QHQ AQ第79页/共134页第八十页，共134页。解解: 先计算矩阵的特征值先计算矩阵的特征值其特征值为其特征值为对于特征值对于特征值 解线性方程组解线性方程组求得其一个求得其一个(

41、y )基础解系基础解系2(81)(9)IA1239i,9 19i ( 9)0iIA X1/2,1,1TXi 第80页/共134页第八十一页，共134页。现在将现在将 单位单位(dnwi)化化, 得到一个单位得到一个单位(dnwi)向量向量1X12 2,3 3 3Ti对于特征值对于特征值 解线性方程组解线性方程组求得其一个基础解系求得其一个基础解系将其单位将其单位(dnwi)化得到一个单位化得到一个单位(dnwi)向量向量29i(9)0iIA X2, 1/2,1TXi 第81页/共134页第八十二页，共134页。221 2,333Ti对于特征值对于特征值 解线性方程组解线性方程组求得其一个基础解

42、系求得其一个基础解系将其单位将其单位(dnwi)化得到一个单位化得到一个单位(dnwi)向量向量39(9)0IA X3,1, 1/2TXi3221,3 33Ti第82页/共134页第八十三页，共134页。将这三个标准将这三个标准(biozhn)正交向量组成矩阵正交向量组成矩阵12322333212,333221333iiiQ 则矩阵则矩阵(j zhn) 即为所求酉矩阵即为所求酉矩阵(j zhn)且有且有Q第83页/共134页第八十四页，共134页。999HiQ AQi第84页/共134页第八十五页，共134页。例例 3 证明证明: (1) H-矩阵的特征值为实数矩阵的特征值为实数; H-矩阵属

43、矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的于不同特征值的特征向量是正交的. (2) 反反H-矩阵的特征值为零或纯虚数矩阵的特征值为零或纯虚数. (3) 酉矩阵的特征值模长为酉矩阵的特征值模长为1.定理定理(dngl): 设设 是正规矩阵是正规矩阵, 则则 (1) 是是H-阵的充要条件是阵的充要条件是 的特征的特征值为实数值为实数 . AAA第85页/共134页第八十六页，共134页。 (2) 是反是反H-阵的充要条件是阵的充要条件是 的特征的特征值的实部为零值的实部为零 . (3) 是是U-阵的充要条件是阵的充要条件是 的特征值的特征值的模长为的模长为1 . 注意注意: 正规矩阵正规矩阵(j zhn

44、)绝不仅此三类绝不仅此三类.例例 4 : 设设 是一个反是一个反H-阵阵, 证明证明:是是U-阵阵.证明证明: 根据根据U-阵的定义阵的定义AAA1()()WAIAIAA第86页/共134页第八十七页，共134页。11()() () ()HHHWWA I A IA IA I由于由于 是反是反H-阵阵, 所以所以, 这样这样(zhyng)于是可得于是可得 A()HAIAI 11() ()HAIAI 第87页/共134页第八十八页，共134页。11111111()() () ()()() () ()()()() ()()()() ()()() () ()HHHHWWA I A IA IA IA I

45、 A IA IA IA IA I A IA IA IA I A IA IA I A IA IA II 这说明这说明(shumng) 为酉矩阵为酉矩阵.W第88页/共134页第八十九页，共134页。例例 5 : 设设 是一个是一个(y ) 阶阶H-阵且存在自然阵且存在自然数数 使得使得 , 证明证明: .证明证明: 由于由于 是正规矩阵是正规矩阵, 所以存在一个所以存在一个(y )酉矩阵酉矩阵 使得使得Ank0kA 0An nUUA12,HinAUUR第89页/共134页第九十页，共134页。于是可得于是可得从而从而(cng r)这样这样120kkkHknAUU0,kiiR第90页/共134页第

46、九十一页，共134页。0,1,2,iin即即 Hermite二次型二次型(Hermite二次齐次多项式二次齐次多项式)Hermite矩阵的基本矩阵的基本(jbn)性质性质引理引理: 设设 , 则则 (1) 都是都是H-阵阵.0A,HHHAAAAA An nAC第91页/共134页第九十二页，共134页。 (2) 是反是反H-阵阵. (3) 如果如果 是是H-阵阵, 那么那么(n me) 也是也是H-阵阵, 为任意正整数为任意正整数. (4) 如果如果 是可逆的是可逆的H-阵阵, 那么那么(n me) 也是可逆的也是可逆的H-阵阵. (5) 如果如果 是是H-阵阵(反反H-阵阵), 那么那么(n

47、 me) 是反是反H-矩阵矩阵(H-阵阵), 这里这里 为虚数单位为虚数单位. (6) 如果如果 都是都是H-阵阵, 那么那么(n me)也是也是H-阵阵, 这里这里 均为实数均为实数. (7) 如果如果 都是都是H-阵阵, 那么那么(n me) 也是也是H-阵的充分必要条件是阵的充分必要条件是HAAAkAkA1AAiAi,A BkAlB, k l,A BABABBAAB第92页/共134页第九十三页，共134页。n nAC定理定理: 设设 , 则则 (1) 是是H-阵的充分必要条件是对于任阵的充分必要条件是对于任意的意的 是实数是实数. (2) 是是H-阵的充分必要条件是对于任阵的充分必要条

48、件是对于任意的意的 阶方阵阶方阵 为为H-阵阵.H-阵的结构阵的结构(jigu)定理定理定理定理: 设设 , 则则 是是H-阵的充分阵的充分必要条件是存在一个酉矩阵必要条件是存在一个酉矩阵 使使得得A,nHXCXAXAn,HBB ABn nACAn nUU第93页/共134页第九十四页，共134页。12HnU AU其中其中 , 此定理经常叙述此定理经常叙述为为: H-阵酉相似于实对角矩阵阵酉相似于实对角矩阵(j zhn).推论推论: 实对称阵正交相似于实对角矩阵实对称阵正交相似于实对角矩阵(j zhn). 12,nR 第94页/共134页第九十五页，共134页。例例 : 设设 为一个幂等为一个

49、幂等H-阵阵, 则存在酉矩则存在酉矩阵阵 使得使得证明证明: 由于由于(yuy) 为一个为一个H-阵阵, 所所以存在酉矩阵以存在酉矩阵 使得使得An nUU000rHIU AUAn nWU第95页/共134页第九十六页，共134页。12HnW AW又由于又由于 为一个幂等为一个幂等H-阵阵, 从而从而 或或将将1放在一起放在一起, 将将0放在一起放在一起, 那么那么(n me)可找到可找到一个酉矩阵一个酉矩阵 使得使得A0i1in nUU第96页/共134页第九十七页，共134页。000rHIU AU这里这里 为矩阵为矩阵(j zhn) 的秩的秩.Hermite二次型二次型 (Hermite二

50、次齐次多项式二次齐次多项式)定义定义: 由由 个复变量个复变量 , 系数为系数为复数的二次齐次多项式复数的二次齐次多项式Arn12,nx xx第97页/共134页第九十八页，共134页。1211(,)nnnijijijf x xxa x x称为称为(chn wi)Hermite二次型二次型, 这里这里如果记如果记 ijjiaa第98页/共134页第九十九页，共134页。12111212122212,TnnnnnnnnXx xxCaaaaaaAaaa第99页/共134页第一百页，共134页。那么上面的那么上面的Hermite二次型可以二次型可以(ky)记为记为称为称为Hermite二次型对应的矩