北京市高考数学试卷（理科）.pdf

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1、2018年北京市高考数学试卷(理科)一、选择题共8 小题，每小题5 分，共 40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。x|x|b均为单位向量，则“I a-3bl=13 a+bl是 a_L b的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件A.1 B.2 C.3 D.4(x,y)x-y l,ax+y4,x-ayW2,则()A.对任意实数a,(2,1)GA B.对任意实数a,(2,1)6AC.当且仅当aVO 时，(2,1)在 A D.当且仅当aW a时，(2,1)6A2二、填空题共6 小题，每小题5 分，共 30分。an是等差数列,且ai=3

2、,a2+a5=3 6,则 a j的通项公式为_+psin0=a(a 0)与圆 p=2cos。相切，贝 ij a=.2 L)(u)o),若f(x)Wf(2 L)对任意的实数x 都成立，则 3的最小值为.6 4x+lW yW 2x,则 2y-x 的 最 小 值 是.f(0)对任意的xd(0,2 都成立，则 f(x)在 0,2 上是增函数 为假命题的 一 个 函 数 是.2 2 2 2工_+，=1(a b 0),双曲线N：=1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆2,2 2 2M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为;双曲线N的 离 心 率 为.三、解答题共6小题，共8 0

3、分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。ABC 中，a=7,b=8,cosB=-1.7(I )求N A；(口)求AC边上的高.iBiCi 中，C J L平面 ABC,D,E,F,G 分别为 AAi，AC,A iJ,BBi 的中点，AB=BC=J,AC=AAi=2.(I )求证：A C,平面BEF；(n )求二面角B-CD-C i的余弦值；(n i)证明：直线FG与平面BCD相交.好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.电影类型第一类第A-A 一-类-2LIZ.弟A A-二-*类A lA第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率假设所有电影是否获得

4、好评相互独立.(I )从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(口)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；(皿)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用飞k=l表示第k类电影得到人们喜欢.Sk=0表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=l,2,3,4,5,6).写出方差 D&,D&,D&，D%,D&，D*的大小关系.ax2-(4a+l)x+4a+3ex.(I )若曲线y=f(x)在 点(1,f(D)处的切线与x轴平行，求a；(口)若f(x)在x=2处取得极小值，求a的取值范围.2=2px经过点P(1,2),过

5、点Q(0,1)的直线I与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.(I )求直线I的斜率的取值范围；(I I)设。为原点，诬=入而，QN=HQO-求证：W-+J-为定值.a|a=(t i，t 2，t k(0,1 ,k=l,2,n ,对于集合 A 中的任意元素 a=(X l,X 2，X n)和 P=(y i,V 2 .yn)记M (a,p)(x i+y i -|x i -y i|)+(x z+y 2 -1 x 2-7 2 1)+(xn+yn-I xn-ynI)2(工)当 n=3 时，若 a=(1,1,0),P=(0,1,1),求 M (a,a)和 M (a,0)的

6、值；(口)当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素a,B，当a,P相同时，M (a,B)是奇数；当a,B不同时，M (a,0)是偶数.求集合B中元素个数的最大值；(H I)给定不小于2的n,设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素a,P，M (a,0)=0,写出一个集合B,使其元素个数最多，并说明理由.2018年北京市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。x|jx|2 ,B=-2,0,1,2 ,则 ADB=()A.0,1 B.-1,0,1 C.-2,0,1,2 D.-1,0,1

7、,2【分析】根据集合的基本运算进行计算即可.【解 答 解：A=x|x|2)=x|-2 x 即 12ab=0,则 a*b=0，即 a-L b，则1 =|3力+讨 是 的 充 要 条 件，故选：C.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量数量积的公式进行转化是解决本题的关键.A.1 B.2 C.3 D.4【分析】由题意dcosB msi n后T s*(8+a A 2 ,当 S M(0+a)=Vi W-1时，dmax=l+-7-2 3.由此能求出d的最大值.【解答】解：由题意 dcos 8 w in 8 _21=n(8+a A21,t a n a=,工,当 sin(0+a)=-1 时，

8、dmax=1+“/2 W 3，d的最大值为3.故选：C.【点评】本题考查点到直线的距离的最大值的求法，考查点到直线的距离公式、三角函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.(x,y)x-y l,ax+y4,x-ayW2,则()A.对任意实数a,(2,1)GA B.对任意实数a,(2,1)4AC.当且仅当aVO时，(2,1)qA D.当且仅当aW足 时，(2,1)4A2【分析】利 用a的取值，反 例 判 断(2,1)C A是否成立即可.【解答】解：当 a=-1 时，集合 A=(x,y)x-y l,ax+y4,x-ayW2=(x,y)x-y l,-x+y4,x+yW2,显

9、 然(2,1)不满足，-x+y4,x+yW2,所以A,C不正确；当 a=4,集合 A=(x,y)|x-y 2 l,ax+y4,x-ayW2=(x,y)x-y 2 1,4x+y4,x-4 y W 2,显 然(2,1)在可行域内，满足不等式，所 以B不正确；故选：D.【点评】本题考查线性规划的解答应用，利用特殊点以及特殊值转化求解，避免可行域的画法，简洁明了.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。an是等差数列，且ai=3,a2+a5=3 6,则如夷的通项公式为an=6n-3.【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求 出ai=3,d=6,由此能求出国)的通项公式.【解答】解：aj是等差数列，

10、且a】=3,a2+a5=36,.,a=3 ,a 1 +d+a+4d=36解得 ai=3,d=6,an=ai+(n-1)d=3+(n-1)X 6=6n-3.:.an的通项公式为an=6n-3.故 答 案 为:an=6n-3.【点评】本题考查等差数列的通项公式的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.+psin0=a(a 0)与圆 p=2cos。相切，则 a=l+x/?.【分析】首先把曲线和直线的极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用圆心到直线的距离等于半径求出结果.【解答】解：圆 p=2cos0,转化成：p2=2pcos0,进一步转化成直角坐标方程为

11、：(x-l)2+y2=l-把直线p(cos0+sin0)=a的方程转化成直角坐标方程为：x+y-a=0.由于直线和圆相切，所以：利用圆心到直线的距离等于半径.则：叮 占,V2解得：a=lV2-a0则负值舍去.故：a=l+V2.故答案为：1+加.【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆相切的充要条件的应用.三)3 0),若 f(x)Wf(匹)对任意的实数x 都成立，则 3的最小值为 2 .6 4 且一【分析】利用已知条件推出函数的最大值，然后列出关系式求解即可.【解答】解：函数f(x)=COS(3 X-2 L)(3 0),若 f(x)Wf(匹)对任意的6 4实数X都成

12、立，可得：3 =2k兀，kW Z,解得 3=8k+|，乙 3 0则 3的最小值为：2.3故答案为：2.3【点评】本题考查三角函数的最值的求法与应用，考查转化思想以及计算能力.+lW yW 2x,则 2 y-x 的 最 小 值 是 3.【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义进行求解即可.【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设 z=2y-x,贝 I y=x+l.z,2 2平移 y=.Lx+z,2 2由图象知当直线y=l-x+-Lz经过点A 时，2 2直线的截距最小，此 时 z 最小，由(x+l=y得f x=l,即 A(1,2),y=2x I y=2此时 z=2X2-1=

13、3,故答案为：3【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及数形结合是解决本题的关键.f(0)对任意的xG(0,2 都成立，则 f(x)在 0,2 上是增函数 为假命题的一个函数是 f(x)=sinx.【分析】本题答案不唯一，符合要求即可.【解答】解:例 如 f(x)=sinx,尽管f(x)f(0)对任意的xW(0,2 都成立，当 xG 0,2 L)上为增函数，在(工，2 为减函数，2 2故 答 案为:f(x)=sinx.【点评】本题考查了函数的单调性，属于基础题.2 2 2 2-+y-=l(a b 0),双曲线N：与-4=L 若双曲线N 的两条渐近线与椭圆2,2 2 2a

14、b in nM 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为娟 T；双曲线N 的 离 心 率 为 2.【分析】利用已知条件求出正六边形的顶点坐标，代入椭圆方程，求出椭圆的离心率；利用渐近线的夹角求解双曲线的离心率即可.2 2 2 2【解答】解：椭 圆 M：-+-=1 (a b 0),双曲线N：三-2 _=1.若双曲线2,2 2 2a b m nN 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，可得椭圆的焦点坐标(c,o),正六边形的一个顶点(，运 ),可 得:二+笛=1，2 2 4a24b2可 得;胃-=1,可得-8 e 2+4=0,

15、e W (0,1),4(-y-1)e解得 e=V 3 l-同时，双曲线的渐近线的斜率为即2 M，ID 2 2,2可得：n _=3,即旦手_=小i n mI 2,2可得双曲线的离心率为e=p+n =2.V ID故答案为：V-l；2.【点评】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。A B C 中，a=7,b=8,c o s B=-1.7(I )求NA；(口)求A C边上的高.【分析】(I )由正弦定理结合大边对大角进行求解即可.(口)利用余弦定理求出c的值，结合三角函数的高与斜边的关系进行求解即可.【解答】解：(I

16、)Va b,.,.A (800-1 60)+(2 00-5 0)X 1 6c2 00X 800 l,0 a l,a2 2 20,f(x)递增；x2,f (x)0,且 a=L,则 F(x)=1(x-2)2ex0,f(x)递增，无极值;2 2若a L,则工 2,f(x)在(2,2 aA.)递减；在(L,+8),a a(-8,2)递增,可得f(x)在x=2处取得极大值，不符题意;若a (),即可求得k的取值范围；（口）根据向量的共线定理即可求得入=l-yM,R=l-y N,求得直线PA的方程，令x=0,求得M点坐标，同理求得N点坐标，根据韦达定理即可求得三+_ 为T V定值.【解答】解：（I）抛物线

17、C：y2=2px经过点P （1,2）,；.4=2p,解得 p=2,设过点（0,1）的直线方程为y=kx+l,设 A（xi,yi）,B（X2,y2）J 2联立方程组可得y=4x,y=kx+l消 y 可得 k2x2+(2k-4)x+l=0,/.=(2k-4)2-4k2 0,且 k#0 解得 k V l,且 k#0,xi+x2=-2kY，xiX2=i.2 i2故直线I的斜率的取值范围(-8,0)u(o,1)；(I I)证明：设点 M(0,yM)N(0,yQ,则 赤(0,yM-1),Q0=(0，-1)因为QM5Q0，所以 yM-1=-yM-1,故人=l-yM,同理 n=l-yN,2-y.2-y 1.直

18、线 PA 的方程为 y-2=-(x-1)=x-(x-1)=-(x-1),2+yt2 V 2 v令x=0,得yM=-L,同理可得yN二.,2+yt2+V +2+y2 _ 8-2 7 2 _ 8-2(k x j+1)(k x2+l)入口 1一丫皿-VN 2-y i 2-y2(2-y(2-y 2)l-k(x1+x 2)+k2x1x24-9L-4-Dk8 h 2 2四+x 产 a+k+l i Xkl-k(X 1+X 2)+k2X 1x2 l-+l【点评】本题考查抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查转化思想，计算能力，属于中档题.a|a=(t i，t 2，.t n),t i .

19、yn)记M (a,B)=L (x i+y i -x i -y i|)+(x z+y z -x z -y 2 1)+.(xn+yn-xn-ynI)2(工)当 n=3 时，若 a=(l,1,0),0=(0,1,1),求 M (a,a)和 M (a,3)的值；(口)当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素a,B，当a,P相同时，M (a,P)是奇数；当a,0不同时，M (a,P)是偶数.求集合B中元素个数的最大值；(I I I)给定不小于2的n,设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素a,B，M (a,p)=0,写出一个集合B,使其元素个数最多，并说明理由.【分析】(I )

20、直接根据定义计算.(I I)注意到1的个数的奇偶性，根据定义反证证明.(0)根据抽屉原理即可得证.【解答】解：(I )M (a,a)=1+1+0=2,M (a,|3)=0+l+0=l.(I I)考虑数对(x k，yk)只有四种情况：(0,0)、(0,1)、(1,0)、(1,1),相应的3+沌-1 5-女L分别为。0、0、1,2所以B中的每个元素应有奇数个1,所以B中的元素只可能为(上下对应的两个元素称之为互补元素)：(1,0,0,0 )、(0,1,0,0)、(0,0,1,0)、(0,0,0,1),(0,1,1,1)、(1,0,1,1)、(1,1,0,1)、(1,1,1,0),对于任意两个只有1

21、个1的元素a,0都满足M (a,P)是偶数，所以四元集合 B=(1,0,0,0)、(0,1,0,0)、(0,0,1,0)、(0,0,0,1)满足题意，假设B中元素个数大于等于4,就至少有一对互补元素，除了这对互补元素之外还有至少1个含有3个1的元素a,则互补元素中含有1个1的元素B与之满足M (a,P)=1不合题意，故 B 中元素个数的最大值为4.(n i)B=(0,0,0,.0),(1,0,0.,0),(0,1,0,.0),(0,0,l.O)(0,0,0,.1),此 时 B 中有n+1 个元素，下证其为最大.对于任意两个不同的元素a,B，满 足 M (a,B)=0,则a,0中相同位置上的数字不能同时为1，假设存在B 有 多 于 n+1 个元素，由 于 a=(0,0,0,.0)与任意元素0都有M (a,P)=0,所 以 除(0,0,0,.0)外至少有n+l个元素含有1,根据元素的互异性，至少存在一对a,3满 足 Xi=y i=l,此 时 M (a,g)21不满足题意，故 B 中最多有n+l个元素.【点评】本题主要考查集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系.综合性较强，难度较大.