2023年三角恒等变换精品讲义1.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 三角恒等变换教案 适用学科 高中数学 适用年级 高中一年级 适用区域 全国通用 课时时长（分钟）60 知识点 两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，辅助角公式 教学目标 理解并掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，辅助角公式，体会三角恒等变换在数学中的应用 教学重点 1.二倍角公式的推导。2.三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点.教学难点 认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力.学习必备 欢迎下载 角公式辅助角公式体会三角恒等变换在数学中的应用教学重点二倍角公提高从整

2、体上把握变换过程的能力学习必备欢迎下载教学过程一课堂导向变换以及引入辅助角的变换前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等学习必备 欢迎下载 教学过程 一、课堂导入 思路 1.我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换.前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本 节将综合运用和（差）角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换.思路 2.三角函数的化简、求值、证明，都离不开三角恒等变换.学习了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我们就有 了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更

3、加丰富和灵活，同时也为培养和提高我们的推理、运算、实践能力提供了广阔的空间和发展的平台.对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差 异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的 各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式,这是三角式恒等变换的重要特点.角公式辅助角公式体会三角恒等变换在数学中的应用教学重点二倍角公提高从整体上把握变换过程的能力学习必备欢迎下载教学过程一课堂导向变换以及引入辅助角的变换前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等学习必备 欢迎下载 二、复习预习 复习三角函数值的计算及诱导公式（一）-（

4、六）。sin)2sin(k，cos)2cos(k ，t a n)2t a n(k （公式一）s i n()s i npaa+=-，c o s()c o spaa+=-，t a n()t a npaa+=（公式二）sin()sinaa-=-，cos()cosaa-=，tan()tanaa-=-（公式三）sinsin(），-coscos(），tantan(）（公式四）sin()cos2paa-=（公式五）sin()cos2paa+=（公式六）c o s()s i n2paa-=cos()sin2paa+=-角公式辅助角公式体会三角恒等变换在数学中的应用教学重点二倍角公提高从整体上把握变换过程的能力

5、学习必备欢迎下载教学过程一课堂导向变换以及引入辅助角的变换前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等学习必备 欢迎下载 三、知识讲解 考点 1 两角和的正弦、余弦、正切公式 coscoscossinsin；coscoscossinsin；sinsincoscossin；sinsincoscossin；tantantan1 tantan （tantantan1 tantan）；tantantan1 tantan （tantantan1 tantan）角公式辅助角公式体会三角恒等变换在数学中的应用教学重点二倍角公提高从整体上把握变换过程的能力学习必备欢迎下载教学过程一课堂导向变换以及引入辅助角的变换前面

6、已经利用诱导公式进行了简单的恒等学习必备 欢迎下载 考点 2 二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin22sincos222)cos(sincossin2cossin2sin1 2222cos2cossin2cos1 1 2sin 升幂公式2sin2cos1,2cos2cos122 降幂公式2cos 21cos2，21 cos 2sin2 22tantan21 tan 2tan12tan1 cos;2tan12tan2 sin:222万能公式角公式辅助角公式体会三角恒等变换在数学中的应用教学重点二倍角公提高从整体上把握变换过程的能力学习必备欢迎下载教学过程一课堂导向变换以及引入辅助角的变换前面已经

7、利用诱导公式进行了简单的恒等学习必备 欢迎下载 角公式辅助角公式体会三角恒等变换在数学中的应用教学重点二倍角公提高从整体上把握变换过程的能力学习必备欢迎下载教学过程一课堂导向变换以及引入辅助角的变换前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等学习必备 欢迎下载 考点 3 辅助角公式 把 两 个 三 角 函 数 的 和 或 差 化 为“一 个 三 角 函 数，一 个 角，一 次 方”的 BxAy)sin(形 式。22sincossin ，其中tan 角公式辅助角公式体会三角恒等变换在数学中的应用教学重点二倍角公提高从整体上把握变换过程的能力学习必备欢迎下载教学过程一课堂导向变换以及引入辅助角的变换前面已

8、经利用诱导公式进行了简单的恒等学习必备 欢迎下载 四、例题精析 考点一 两角和的正弦、余弦、正切公式 例 1已知(4，43)，(0，4),cos(4)53，sin(43)135，求 sin()的值 角公式辅助角公式体会三角恒等变换在数学中的应用教学重点二倍角公提高从整体上把握变换过程的能力学习必备欢迎下载教学过程一课堂导向变换以及引入辅助角的变换前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等学习必备 欢迎下载 角公式辅助角公式体会三角恒等变换在数学中的应用教学重点二倍角公提高从整体上把握变换过程的能力学习必备欢迎下载教学过程一课堂导向变换以及引入辅助角的变换前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等学习必备

9、欢迎下载【规范解答】443 2，(43,4)(0,1sin311x)4(0,2)43(43,)sin(4)54 cos(43)1312 sin()cos2()cos(4)(43)6556【总结与反思】这道题主要考察了诱导公式及两角和的余弦公式，先通过诱导公式的变形然后带入余弦公式即可。角公式辅助角公式体会三角恒等变换在数学中的应用教学重点二倍角公提高从整体上把握变换过程的能力学习必备欢迎下载教学过程一课堂导向变换以及引入辅助角的变换前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等学习必备 欢迎下载 例 2 计算 sin 68 sin 67 sin 23 cos 68的值为()A22 B.22 C.32 D

10、1 角公式辅助角公式体会三角恒等变换在数学中的应用教学重点二倍角公提高从整体上把握变换过程的能力学习必备欢迎下载教学过程一课堂导向变换以及引入辅助角的变换前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等学习必备 欢迎下载【规范解答】原式sin 68 cos 23 cos 68 sin 23 sin(68 23)sin 45 22.【总结与反思】本题考察了两角差的正弦公式，带入公式即可。角公式辅助角公式体会三角恒等变换在数学中的应用教学重点二倍角公提高从整体上把握变换过程的能力学习必备欢迎下载教学过程一课堂导向变换以及引入辅助角的变换前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等学习必备 欢迎下载 考点二 二倍角公式

11、的应用 例 3 化简42212cos2cos22tan()sin()44xxxx 角公式辅助角公式体会三角恒等变换在数学中的应用教学重点二倍角公提高从整体上把握变换过程的能力学习必备欢迎下载教学过程一课堂导向变换以及引入辅助角的变换前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等学习必备 欢迎下载【规范解答】切化弦，合理使用倍角公式原式22212sincos22sin()cos()44cos()4xxxxx 21(1sin 2)22sin()cos()44xxx21cos 22sin(2)2xx12cos 2x.【总结与反思】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角

12、之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等 角公式辅助角公式体会三角恒等变换在数学中的应用教学重点二倍角公提高从整体上把握变换过程的能力学习必备欢迎下载教学过程一课堂导向变换以及引入辅助角的变换前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等学习必备 欢迎下载 例 4 化简：sin cos 1sin cos 1sin 2.角公式辅助角公式体会三角恒等变换在数学中的应用教学重点二倍角公提高从整体上把握变换过程的能力学

13、习必备欢迎下载教学过程一课堂导向变换以及引入辅助角的变换前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等学习必备 欢迎下载 【规范解答】原式2sin2cos22sin22 2sin2cos22sin224sin 2cos 2cos cos2sin 2 cos2sin2sin2cos2cos cos22sin22sin2cos2cos cos sin 2cos 2cos tan2.【总结与反思】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化

14、弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等 角公式辅助角公式体会三角恒等变换在数学中的应用教学重点二倍角公提高从整体上把握变换过程的能力学习必备欢迎下载教学过程一课堂导向变换以及引入辅助角的变换前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等学习必备 欢迎下载 考点三 辅助角公式的应用 例 5 已知函数 f(x)2cos 2xsin2x.(1)求()3f的值；2)求 f(x)的最大值和最小值 角公式辅助角公式体会三角恒等变换在数学中的应用教学重点二倍角公提高从整体上把握变换过程的能力学习必备欢迎下载教学过程一课堂导向变换以及引入辅助角的变换前面已经

15、利用诱导公式进行了简单的恒等学习必备 欢迎下载【规范解答】先化简函数 yf(x)，再利用三角函数的性质求解(1)()3f2cos23sin23 13414.(2)f(x)2(2cos2x 1)(1cos2x)3cos2x1，xR.cos x1,1，当cos x 1 时，f(x)取最大值 2；当 cos x0 时，f(x)取最小值1.【总结与反思】高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中需要利用这些公式，先把函数解析式化为 yA sin(x)的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称角公式辅助角公式体会三角恒等变换在数学中

16、的应用教学重点二倍角公提高从整体上把握变换过程的能力学习必备欢迎下载教学过程一课堂导向变换以及引入辅助角的变换前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等学习必备 欢迎下载 性等性质 角公式辅助角公式体会三角恒等变换在数学中的应用教学重点二倍角公提高从整体上把握变换过程的能力学习必备欢迎下载教学过程一课堂导向变换以及引入辅助角的变换前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等学习必备 欢迎下载 课程小结 1.本节课主要是三角恒等变换的应用，通过三角恒等变形,把形如 y=a sin x+b cos x 的函数转化为形如 y=A sin(x+)的函数,从而能顺利考查函数的若干性质,达到解决问题的目的.在教学中教师

17、要强调：分析、研究三角函数的性质，是三角函数的重要内容.如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的解析式变形化简，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.因此，三角恒等变换是求解三角函数问题的一个基本步骤.但需注意的是，在三角恒等变换过程中，由于消项、约分、合并等原因，函数的定义域往往会发生一些变化，从而导致变形化简后的三角函数与原三角函数不等价.因此，在对三角函数式进行三角恒等变换后，还要确定原三角函数的定义域，并在这个定义域内分析其性质.2.在三角恒等变化中，首先是掌握利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此导出角和与差的正弦、余弦、正切公式，

18、二倍角公式和积化差、和差化积及半角公式，以此作为基本训练.其次要搞清楚各公式之间的内在联系，自己画出知识结构图.第三就是在三角恒等变换中，要结合第一章的三角函数关系、诱导公式等基础知识，对三角知识有整体的把握.角公式辅助角公式体会三角恒等变换在数学中的应用教学重点二倍角公提高从整体上把握变换过程的能力学习必备欢迎下载教学过程一课堂导向变换以及引入辅助角的变换前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等学习必备 欢迎下载 3.今后高考对三角变换的考查估计仍以考查求值为主.和、差、倍、半角的三角函数公式、同角关系的运用仍然是重点考查的地方，应该引起足够重视，特别是对角的范围的讨论，从而确定符号.另外，在三角形中的三角变换问题，以及平面向量为模型的三角变换问题将是高考的热点.角公式辅助角公式体会三角恒等变换在数学中的应用教学重点二倍角公提高从整体上把握变换过程的能力学习必备欢迎下载教学过程一课堂导向变换以及引入辅助角的变换前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等