现代数学概论.pptx

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1、4.4 线性空间 许多数学对象。例如几何向量，同型的矩阵，实函数等等，都能相加以及用数相乘，而且满足平常的的计算规则。这种对象通常称为向量。一.定义与例子 定义定义1：令F是一个数域（R、Q、C）。F中的元素用小写字母a，b,c表示。令V是一个非空集合。V中元素用小写希腊字母 来表示。我们把V中的元素叫做向量而把F中的元素叫做纯量。如果下列条件被满足，就称V是F上的一个向量空间:(1)在V中定义了一个加法，对于V中任意的两个向量 有V中一个唯一确定的向量与之对应，这个向量叫做 第1页/共25页 （2）有一个“纯量乘法”对于F中每一个数 和V中每一个向量有V中唯一确定的向量与它们对应。这个向量叫

2、做 （3）向量的加法与纯量乘法满足下列算律：1）2）3）在V中存在一个零向量，记作0。对于V中每一个向量 4)对于V中每一向量 ，在V中存在一个向量 ，称为的负向量，使得 5）6）第2页/共25页 7）8）则称V为关于所给（+，x)的F上的线性空间。定义2：由一个线性空间V到另一个线性空间的函数F称为线性的，如果对于V中所有向量 和数 均有 定义3：线性空间V的子集U称为线性子空间，如果对于 当U是由V有限个固定向量的所有线性组合构成时，我们就说U是有限生成的，这些向量称为生成元。记为 第3页/共25页 二.像与校定理 第4页/共25页三.不变子空间，特征向量，特征值，谱 很显然，所有的 特征

3、向量构成一个线性空间，称它为特征子空间其维数称为 的重数。第5页/共25页 由代数学基本定理即知，对于有限维空间，F至少存在一个特征值。定义3.如果U的维数是有限的，那么F的他政治所成的集合称为F的谱。四.补空间，余维 第6页/共25页4.5 赋范线性空间第7页/共25页第8页/共25页第9页/共25页第10页/共25页第11页/共25页第12页/共25页第13页/共25页 第14页/共25页第15页/共25页第16页/共25页第17页/共25页第18页/共25页第19页/共25页第20页/共25页第21页/共25页第22页/共25页第23页/共25页第24页/共25页感谢观看！感谢观看！第25页/共25页