现代数学概论.ppt

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1、现代数学概论现在学习的是第1页，共26页 按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表达的。它是第二代数学模型，其根源来自欧式几何，解析几何以及线性方程理论。本章的第一部分讨论线性代数的三个来源：欧式几何，解析几何以及线性方程组。其余部分讨论线性分析。这是代数和粉刺的非常有用的杂交品种。它是通过在代数方法中引进长度观念而得到的。无穷维线性空间中的的线性分析通常称为泛函分析。是20世纪的一项重要数学成果。我们将介绍它的一些基本概念和结果，其中包括自律线性算子和谱定理。4.1 欧式几何（不讲）4.2 解析几何（不讲）4.3 线性方程组和矩阵（不讲）现在学习的是第2页，共26页4.4 线性空间 许多

2、数学对象。例如几何向量，同型的矩阵，实函数等等，都能相加以及用数相乘，而且满足平常的的计算规则。这种对象通常称为向量。一.定义与例子 定义定义1 1：令F是一个数域（R、Q、C）。F中的元素用小写字母a，b,c表示。令V是一个非空集合。V中元素用小写希腊字母 来表示。我们把V中的元素叫做向量而把F中的元素叫做纯量。如果下列条件被满足，就称V是F上的一个向量空间:(1)在V中定义了一个加法，对于V中任意的两个向量 有V中一个唯一确定的向量与之对应，这个向量叫做 现在学习的是第3页，共26页 （2）有一个“纯量乘法”对于F中每一个数 和V中每一个向量有V中唯一确定的向量与它们对应。这个向量叫做 （

3、3）向量的加法与纯量乘法满足下列算律：1）2）3）在V中存在一个零向量，记作0。对于V中每一个向量 4)对于V中每一向量 ，在V中存在一个向量 ，称为的负向量，使得 5）6）现在学习的是第4页，共26页 7）8）则称V为关于所给（+，x)的F上的线性空间。定义2：由一个线性空间V到另一个线性空间的函数F称为线性的，如果对于V中所有向量 和数 均有 定义3：线性空间V的子集U称为线性子空间，如果对于 当U是由V有限个固定向量的所有线性组合构成时，我们就说U是有限生成的，这些向量称为生成元。记为 现在学习的是第5页，共26页 二.像与校定理 现在学习的是第6页，共26页三.不变子空间，特征向量，特

4、征值，谱 很显然，所有的 特征向量构成一个线性空间，称它为特征子空间其维数称为 的重数。现在学习的是第7页，共26页 由代数学基本定理即知，对于有限维空间，F至少存在一个特征值。定义3.如果U的维数是有限的，那么F的他政治所成的集合称为F的谱。四.补空间，余维 现在学习的是第8页，共26页4.5 赋范线性空间现在学习的是第9页，共26页现在学习的是第10页，共26页现在学习的是第11页，共26页现在学习的是第12页，共26页现在学习的是第13页，共26页现在学习的是第14页，共26页现在学习的是第15页，共26页 现在学习的是第16页，共26页现在学习的是第17页，共26页现在学习的是第18页，共26页现在学习的是第19页，共26页现在学习的是第20页，共26页现在学习的是第21页，共26页现在学习的是第22页，共26页现在学习的是第23页，共26页现在学习的是第24页，共26页现在学习的是第25页，共26页现在学习的是第26页，共26页