现代数学选论.pptx

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1、 如果说非欧几何、群论、集合论是19世纪数学的三大革命，那么，泛函分析、抽象代数、拓扑学则是20世纪后的现代数学的理论基础。第1页/共66页12.1 12.1 泛函分析的诞生 巴拿赫于19321932年出版的线性算子理论标志了泛函分析的成熟，因此，巴拿赫被人们称为“泛函分析之父”第2页/共66页12.2 12.2 抽象代数的确立 由一元高次方程的代数根的研究，伽罗瓦提出了“置换群”、“子群”、“正规子群”、“极大正规子群”等数学概念，使得数学不仅可以研究现实的量，而且也可研究任意构造的量 第3页/共66页12.2 12.2 抽象代数的确立 以德国女数学家诺特为代表的戴德金、韦伯、希尔伯特等人将

2、伽罗瓦的思想方法进一步深化，抽象出群、环、域、模等概念，一个新的数学分支抽象代数出现了。第4页/共66页12.2 12.2 抽象代数的确立 诺特从不同领域的相似现象出发，把不同的对象加以抽象化、公理化，提炼出最一般的概念：同态、理想等 第5页/共66页12.2 12.2 抽象代数的确立 诺特从不同领域的相似现象出发，把不同的对象加以抽象化、公理化，提炼出最一般的概念：同态、理想等 从此，代数学研究对象从研究代数方程的根，进入到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构，完成了古典代数到抽象代数的本质的转变。第6页/共66页12.2 12.2 抽象代数的确立 假定两个群G G和 同态

3、，是 的一个不变子群，N N是 的逆象。证明：证明：所有同n n互素的模n n的剩余类对于剩余类的乘法来说作成一个群。找出模6 6的剩余类环的所有理想。第7页/共66页12.3 12.3 拓扑学的起源与发展 拓扑学是研究几何图形连续性质即在连续变形下保持不变性质的一门学科。它的起源可以追溯到1818世纪欧拉对著名的哥尼斯堡七桥问题的研究。第8页/共66页 在哥尼斯堡，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来（如图），问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点？即是否存在一条路线，可不重复地走遍七座桥？第9页/共66页 欧拉用点表示岛和陆地，两点之间的连线表示连接它

4、们的桥，将河流、小岛和桥简化为一个网络，把七桥问题化成判断连通网络能否一笔画的问题。第10页/共66页 凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。第11页/共66页 凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。第12页/共66页 凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可

5、以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。其他情况的图都不能一笔画出。(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。)第13页/共66页 凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。其他情况的图都不能一笔画出。(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。)在哥尼斯堡七桥问题中，奇点有4个，所以不能一笔画。第14页/共66页 欧拉的考虑非常巧妙，非常具有数学特色把一个实际问题抽象成合适的数学模型，忽略问题的非本质属性，通过模型的研究来解决现

6、实问题。此问题还被收录进小学数学六年级下册教材：第15页/共66页12.3 12.3 拓扑学的起源与发展 1852 1852年，古德里提出的关于四色问题的猜想，对拓扑学的发展起到了进一步的推动作用 第16页/共66页 “任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。第17页/共66页 第18页/共66页 美国伊利诺斯大学的哈肯和阿佩尔

7、合作编制了一个程序，1976年6月，他们在两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿次判断，终于完成了四色定理的证明，轰动了世界。第19页/共66页 在“四色问题”的研究过程中，不少新的数学理论随之产生。如将地图的着色问题化为图论问题，丰富了图论的内容，不仅如此，“四色问题”在有效地设计航空班机日程表，设计计算机的编码程序上都起到了推动作用。直到现在，仍有不少数学家和数学爱好者在寻找更简洁的证明方法。第20页/共66页12.3 12.3 拓扑学的起源与发展 莫比乌斯大约在18651865年前后引入了现在称为莫比乌斯带的曲面。第21页/共66页 一条长方形纸带有两个面和四条边,把一

8、个短边扭转180180度后与另一短边粘在一起，便成了一个8 8字形的环。这时候这条纸带只有一个面和一条边。这便是著名的拓朴学结构第22页/共66页 莫比乌斯环是一种没有内外之分的空间划分，亦即正面之中有反面，反面之中有正面，恰到好处地体现了古老的中国哲学中阴阳的流变统一过程。第23页/共66页第24页/共66页第25页/共66页第26页/共66页第27页/共66页12.3 12.3 拓扑学的起源与发展 从庞加莱开始，拓扑学分为点集拓扑和组合拓扑学两个部分，使得拓扑学的发展走上了更为宽广的道路 德国数学家豪斯道夫第一次抽象地使用了点集的邻域概念，称为点集拓扑学形成的标志，后续还建立了连续、同胚、

9、连通等一系列基础性概念。第28页/共66页12.4 12.4 重要数学事件 12.4.112.4.1数学问题 12.4.2 12.4.2第三次数学危机 第29页/共66页12.4.112.4.1数学问题 1900年，新世纪伊始，人们都把眼光放在未来。这一年的8月6日，国际数学家代表大会在巴黎召开。年方38岁的德国数学家大卫*希尔伯特走上讲台，第一句话就问道：第30页/共66页12.4.112.4.1数学问题 “揭开隐藏在未来之中的面纱，探索未来世纪的发展前景，谁不高兴呢？”第31页/共66页12.4.112.4.1数学问题 “揭开隐藏在未来之中的面纱，探索未来世纪的发展前景，谁不高兴呢？”科学

10、发展的每一个时代都有自己的问题。希尔伯特站在当时数学研究的最前沿，高瞻远瞩地用2323个数学问题，预示2020世纪数学发展的进程。第32页/共66页12.4.112.4.1数学问题 百年来，人们把解决希尔伯特问题，哪怕是其中一部分，都看成是至高无上的荣誉。据统计，从19361936年至19741974年，被誉为数学诺贝尔奖的菲尔茨国际数学奖的2020名获奖人中，至少有1212人的工作与希尔伯特问题有关。19761976年美国数学会组织评论19401940年以来的美国十大数学成就，就有三项是希尔伯特问题的1 1、5 5、1010等三个问题的解决第33页/共66页12.4.112.4.1数学问题

11、希尔伯特指出，历史上通过提出问题会导致整门学科的诞生，而他提出的问题后来也确实形成了许多新的数学分支。希尔伯特的演说获得了极大的成功。数学家们投入解决希尔伯特问题的激流中去。迄今为止，已完满解决的希尔伯特问题约占一半，大约还有三分之一的问题仍悬而未决。第34页/共66页12.4.112.4.1数学问题1.1.康托尔的连续统基数问题2.2.算术公理的无矛盾性3.3.两个等底等高四面体的体积相等问题4.4.两点间以直线为距离最短线问题5.5.一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的6.6.物理学的公理化第35页/共66页12.4.112.4.1数学问题7.7.某些数的超越性8.8.

12、素数问题9.9.在任意数域中证明最一般的互反律10.10.丢番都方程的可解性11.11.任意代数数系数的二次型12.12.将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域上去第36页/共66页12.4.112.4.1数学问题13.13.用两变量函数解一般七次方程的不可能性14.14.某些完备函数系的有限性的证明15.15.舒伯特计数演算的严格基础16.16.代数曲线和代数曲面的拓扑问题17.17.半正定形式的平方和表示18.18.用全等多面体构造空间 第37页/共66页12.4.112.4.1数学问题19.19.正则变分问题的解是否一定解析20.20.一般边值问题21.21.具有指定单值群的线

13、性微分方程解的存在性证明22.22.由自守函数构成的解析函数的单值化23.23.变分法的进一步发展 第38页/共66页12.4.112.4.1数学问题 “希尔伯特就像穿杂色衣服的风笛手，他那甜蜜的笛声诱惑了如此众多的老鼠，跟着他跳进了数学的深河。”外尔第39页/共66页12.4.212.4.2第三次数学危机 一开始微积分的基础并不牢固，这一严格性的问题在1919世纪末年已经解决，柯西建立了严格的极限理论，引进定义。戴德金、康托尔等又将实数理论严密化，分析学有了可靠的基础和完整的体系。因此，庞加莱在19001900年的国际会议上宣布：“现在我们可以说，完全的严格性已经达到了。”第40页/共66页

14、12.4.212.4.2第三次数学危机 三年后，英国的罗素提出了一个集合论上的悖论。正当康托尔创立的集合论开始为大家所接受的时候，突然宣布集合论本身是自相矛盾的。第41页/共66页12.4.212.4.2第三次数学危机 罗素悖论的通俗表示：某村所有刮胡子的人可以分为两类：一类自己给自己刮胡子，另一类自己不给自己刮胡子。理发师约定：他给而且只给村子里所有不给自己刮胡子的人刮胡子。第42页/共66页12.4.212.4.2第三次数学危机 罗素悖论的通俗表示：某村所有刮胡子的人可以分为两类：一类自己给自己刮胡子，另一类自己不给自己刮胡子。理发师约定：他给而且只给村子里所有不给自己刮胡子的人刮胡子。那

15、么，理发师该不该给自己刮胡子呢？第43页/共66页12.4.212.4.2第三次数学危机把集合分成两类：自己为自己的元素者作为甲类（例如由图书馆构成的集合M仍是图书馆，即MM），自己不是自己的元素的集合作为乙类（例如由人组成的集合N不是人，N不是N的元素）。第44页/共66页12.4.212.4.2第三次数学危机 由图书馆构成的集合图书馆1，图书馆2，图书馆n仍是图书馆，所以图书馆1，图书馆2，图书馆n图书馆 由人构成的集合人1，人2，人n不再是人了，所以人1，人2，人n 人第45页/共66页12.4.212.4.2第三次数学危机把集合分成两类：自己为自己的元素者作为甲类（例如由图书馆构成的集

16、合M仍是图书馆，即MM），自己不是自己的元素的集合作为乙类（例如由人组成的集合N不是人，N不是N的元素）。用符号表示就是M甲类意味着MM；M乙类意味着M M。第46页/共66页12.4.212.4.2第三次数学危机一个集合M，要么甲类，要么乙类，二者必居其一且仅居其一。罗素问：乙类集合的全体也是一个集合，它属于哪一类？第47页/共66页12.4.212.4.2第三次数学危机若乙甲类，则依甲类集合的定义（自己为自己的元素者作为甲类），应该有乙乙，这和乙甲矛盾，不可能；若乙乙，则依甲的定义应该有乙甲，又产生矛盾。第48页/共66页12.4.212.4.2第三次数学危机 人们从罗素悖论回溯，原来“集

17、合的集合”这句话不能随便说，人们看到这一矛盾的解决和对整个数学的看法有关。由于哲学观点不同，就产生了几大派。如逻辑主义学派、直观主义学派和形式主义学派。第49页/共66页12.4.212.4.2第三次数学危机 迄今为止，这场争论尚未停止。当今的数学家，已经不再划分为三派，他们各取所长，形成统一的数学分支数学基础，向着人类思维的深处探求规律。第50页/共66页12.4.212.4.2第三次数学危机数学大厦的基础上至今仍然存在着裂缝！第51页/共66页12.512.5应用数学选讲 12.5.112.5.1运筹学 第52页/共66页12.512.5应用数学选讲 12.5.112.5.1运筹学 运筹学

18、的思想十分古老，比如田忌赛马。目前，这一学科包括博弈论、规划论、排队论、决策分析等众多分支。第53页/共66页 以二人零和对策为例简单看冯诺依曼的对策思想。所谓零和对策是指竞赛双方的收益之和为零。用一个矩阵将一个局中人的收益（也为另一个局中人的损失）一一列出来。如下表第54页/共66页 假设甲、乙双方是两个竞争的组织，那么这个矩阵表示甲队有三种具体的行动方案可供选择，乙队有三种方案可供选择，于是，冯诺依曼矩阵本身就是对策。第55页/共66页12.512.5应用数学选讲 12.5.212.5.2模糊数学 现代数学的基础是集合论。在普通集合论中，一个元素对于一个集合来说，要么属于它，要么不属于它，

19、二者必居其一，而且仅居其一，绝不容许模棱两可。但是，这个要求大大限制了数学的应用范围，使它无法处理日常生活中的大量不明确现象，如“秃头悖论”。第56页/共66页12.5.212.5.2模糊数学 秃头悖论：如果我们事先约定，头发根数不超过某一确定的常数n0的人为秃头，那么，问：头发根数为n0+1的人是否算是秃头？第57页/共66页12.5.212.5.2模糊数学 秃头悖论：如果我们事先约定，头发根数不超过某一确定的常数n0的人为秃头，那么，问：头发根数为n0+1的人是否算是秃头？那么稍微改动一下，再约定，若当n=n0 时为秃头，则n=n0+1亦为秃头。这下，根据数学归纳法，我们可以推知世界上所有

20、的人都是秃头，这显然是一个悖论。第58页/共66页12.5.212.5.2模糊数学 秃头这一概念本身并不是一个明确的概念，其界限本来就不十分清楚，因此，勉强用“是非”的标准来划分，就必然会导致矛盾 第59页/共66页12.5.212.5.2模糊数学 经典数学赖以生存的二值逻辑对此已经无能为力了。美国控制论专家查德创立了一门崭新的学科模糊数学，为解决这类问题提供了有力的工具。第60页/共66页12.5.212.5.2模糊数学 普通集合论实质上是扬弃了模糊性而抽象出来的，它把思维过程绝对化，从而达到精确、严格的目的。事物x与集合A之间有着明确的隶属关系，要么属于，要么不属于，两者必居其一。数学家们

21、将这种关系用特征函数A（x）表示为 第61页/共66页12.5.212.5.2模糊数学 这种特征函数是一种二值函数，它只能表示事物非此即彼的状态，而忽略了事物在具有这种性质时程度上的差异，不能表示事物在中间过渡时所呈现出的亦此亦彼性。第62页/共66页12.5.212.5.2模糊数学 查德对描述普通集合的特征函数进行了推广，他把原来函数值的集合0,1改造为区间0,1，通过构造一个隶属函数A（x）(0A 1)来刻画元素x隶属于集合A的程度。第63页/共66页12.5.212.5.2模糊数学 查德对描述普通集合的特征函数进行了推广，他把原来函数值的集合0,1改造为区间0,1，通过构造一个隶属函数A（x）(0A 1)来刻画元素x隶属于集合A的程度。隶属函数随着问题的不同而具有不同的表达形式和具体内容，所以，它的确定是模糊数学研究的最基本的内容。第64页/共66页12.5.212.5.2模糊数学 普通集合与模糊集合之间并没有天然的鸿沟，当隶属函数A（x）的值域仅取闭区间0,1的两个端点时，隶属函数A（x）就退化为特征函数A（x），模糊子集也就退化为普通集合了。模糊数学的概念是经典数学概念的推广与发展。第65页/共66页谢谢您的观看！第66页/共66页