几种特殊类型的函数积分.ppt

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1、 有理函数和可化为有理函数的不定积分有理函数和可化为有理函数的不定积分二、三角函数有理式的积分法二、三角函数有理式的积分法一、有理函数的积分法一、有理函数的积分法三、简单无理函数的积分法三、简单无理函数的积分法2、有理函数的分类：、有理函数的分类：一、有理函数的积分法一、有理函数的积分法真分式真分式；假分式假分式；1、有理函数的定义；、有理函数的定义；由两个多项式函数的商所表示的函数称为有理函数。由两个多项式函数的商所表示的函数称为有理函数。3 3、有理函数积分法、有理函数积分法（2）分母中因式）分母中因式 ，对应的部分分式为，对应的部分分式为有理真分式有理真分式 化为部分分式之和的步骤：化为

2、部分分式之和的步骤：特殊地：特殊地：部分分式为部分分式为（3）分母中因式）分母中因式 ，对应的部分，对应的部分分式为分式为特殊地：特殊地：部分分式为部分分式为例例1 1比较系数比较系数（比比较较系系数数法法）或或（赋赋值值法法）令令令令例例2 2（综综合合法法）例例3 3（综综合合法法）说明说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：现三类情况：（A）多项式；）多项式；前两类易求，现讨论第三类积分前两类易求，现讨论第三类积分令令 可求！可求！则则记记这三类积分均可积出这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数且原函数都是初等函数.结论结论 有理函数的原函

3、数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数.例例4 4注注（1 1）有理函数的原函数都是初等函数；）有理函数的原函数都是初等函数；有理函数的积分一定可以有理函数的积分一定可以“积出来积出来”；（2 2）有理函数的积分总可以）有理函数的积分总可以“程序化地程序化地”求出来；求出来；（3 3）对具体的有理函数的积分可能有特）对具体的有理函数的积分可能有特定的简便求法。定的简便求法。例例5.求求解解:原式机动目录上页下页返回结束1 1、三角有理式的定义：、三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算构成由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数三角函数有理式可记为的函数三角函数有理式可记为

4、二、三角函数有理式的积分二、三角函数有理式的积分2 2、三角有理式的积分法：、三角有理式的积分法：令令万能代换公式：万能代换公式：例例6 6注注（1）用万能代换用万能代换一定能一定能将三角函数有理式的积分将三角函数有理式的积分化为有理函数的积分；化为有理函数的积分；（2）万能代换不一定是最好的；万能代换不一定是最好的；例例7 7 求求解一解一解二解二解三解三解四解四解五解五解六解六万能置换万能置换有理函数的积分有理函数的积分.三、简单无理函数的积分三、简单无理函数的积分1、例例8 8例例9 9注注 显然，积分的过程比微分的过程要复杂的显然，积分的过程比微分的过程要复杂的多，一个可微的初等函数，

5、按照微分法总是多，一个可微的初等函数，按照微分法总是可以求出其微分的，但即使是很简单的初等可以求出其微分的，但即使是很简单的初等函数也未必能用初等函数写出其不定积分。函数也未必能用初等函数写出其不定积分。下列函数的不定积分就不能写成初等函数下列函数的不定积分就不能写成初等函数（尽管我们知道其不定积分是存在的）：（尽管我们知道其不定积分是存在的）：（3）一些简单无理式的）一些简单无理式的“程序化程序化”积分法积分法.（1）有理式的）有理式的“程序化程序化”积分法；积分法；（2）三角有理式的）三角有理式的“程序化程序化”积分法；积分法；（具体三角有理式可能有其特定的简便积分法；用（具体三角有理式可能有其特定的简便积分法；用“万能代换万能代换”之前应先考虑是否有更简便的方法）之前应先考虑是否有更简便的方法）四、小结四、小结（具体有理式可能有其特定的简便积分法）（具体有理式可能有其特定的简便积分法）思考与思考与练习如何求下列积分更简便?解解:1.2.原式机动目录上页下页返回结束