几种特殊类型函数的积分讲稿.ppt

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1、关于几种特殊类型函数的积分第一页，讲稿共六十五页哦定义：定义：两个多项式的商表示的函数称为两个多项式的商表示的函数称为有理函数有理函数.一、有理函数的积分一、有理函数的积分即即称此有理函数是称此有理函数是真分式真分式；称此有理函数是称此有理函数是假分式假分式；机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二页，讲稿共六十五页哦 利用多项式除法利用多项式除法,假分式可以化成一个多假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和。项式和一个真分式之和。例例 多项式的不定积分是容易求的，因此，下面多项式的不定积分是容易求的，因此，下面我们只讨论真分式的不定积分。我们只讨论真分式的不定积分。说

2、明：说明：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第三页，讲稿共六十五页哦机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第四页，讲稿共六十五页哦（1）分母中若有因式分母中若有因式 ，则分解后含有下列项，则分解后含有下列项:则分解后含有下列项：则分解后含有下列项：（2）分母中若有因式分母中若有因式 ,其中其中具体步骤如下：具体步骤如下：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第五页，讲稿共六十五页哦四种典型部分分式的积分四种典型部分分式的积分:变分子为变分子为 再分项积分再分项积分 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束

3、第六页，讲稿共六十五页哦整理得整理得例例1 1 求积分求积分 解解机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第七页，讲稿共六十五页哦机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第八页，讲稿共六十五页哦代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数取取取取取取并将并将 值代入值代入例例2 2：求积分求积分 解解:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第九页，讲稿共六十五页哦机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第十页，讲稿共六十五页哦解解1:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解得：解得：第十一页，讲

4、稿共六十五页哦机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第十二页，讲稿共六十五页哦解解2:2:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第十三页，讲稿共六十五页哦机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解:说明说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便但不一定简便 ,因此要注意根据被积函数的结构寻求因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法简便的方法.第十四页，讲稿共六十五页哦解解:原式原式例例5 5：求积分求积分 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第十五页

5、，讲稿共六十五页哦解解:原式原式注意本题技巧注意本题技巧按常规方法较繁按常规方法较繁例例6 6：求积分求积分 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第十六页，讲稿共六十五页哦三角函数的有理式的定义：三角函数的有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算构由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数一般记为成的函数一般记为二、三角函数有理式的积分二、三角函数有理式的积分（万能置换公式）（万能置换公式）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第十七页，讲稿共六十五页哦机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 万能置换公式万能置换公式第

6、十八页，讲稿共六十五页哦例例7 7：求积分求积分解：解：由万能置换公式由万能置换公式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 令令第十九页，讲稿共六十五页哦机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二十页，讲稿共六十五页哦例例8 8：求积分求积分解解1：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 用万能公式较繁用万能公式较繁第二十一页，讲稿共六十五页哦机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二十二页，讲稿共六十五页哦例例8 8：求积分求积分解解2：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 同解同解1

7、1第二十三页，讲稿共六十五页哦机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 说明：说明：一般来说，用万能置换的计算量会比较大，一般来说，用万能置换的计算量会比较大，故在计算三角函数有理式的积分时，通常先故在计算三角函数有理式的积分时，通常先考虑其它方法，不得已再用万能置换。考虑其它方法，不得已再用万能置换。第二十四页，讲稿共六十五页哦三角函数有理式的主要积分类型及代换三角函数有理式的主要积分类型及代换机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二十五页，讲稿共六十五页哦解解1:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例9 9：求积分求积分第

8、二十六页，讲稿共六十五页哦机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二十七页，讲稿共六十五页哦解解2：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 （同解法（同解法1 1）例例9 9：求积分求积分第二十八页，讲稿共六十五页哦解解3：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例9 9：求积分求积分第二十九页，讲稿共六十五页哦例例1010：求求解：解：令令机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 三、简单无理函数的积分三、简单无理函数的积分第三十页，讲稿共六十五页哦解：解：令令则则原式原式例例1111：求积分求积分机动机动 目

9、录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第三十一页，讲稿共六十五页哦例例1212：求积分求积分解：解：令令机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第三十二页，讲稿共六十五页哦例例1313：求积分求积分解：解：令令机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第三十三页，讲稿共六十五页哦简单无理函数积分小结简单无理函数积分小结机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1 1、当被积函数含有根式，且根式中含有三角函、当被积函数含有根式，且根式中含有三角函 数、指数函数、对数函数时，可先令整个根数、指数函数、对数函数时，可先令整个根 式为式

10、为 t，去掉根式后再作。，去掉根式后再作。第三十四页，讲稿共六十五页哦机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解1:例例1414：求积分求积分第三十五页，讲稿共六十五页哦机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解2：例例1414：求积分求积分第三十六页，讲稿共六十五页哦故故机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第三十七页，讲稿共六十五页哦四、内容小结四、内容小结1.1.可积函数的特殊类型可积函数的特殊类型有理函数有理函数分解分解多项式及部分分式之和多项式及部分分式之和三角函数有理式三角函数有理式万能代换万能代换简单无理函数简单无

11、理函数三角代换三角代换根式代换根式代换2.2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定但不一定 要注意综合使用基本积分法要注意综合使用基本积分法 ,简便计算简便计算 .简便简便 ,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第三十八页，讲稿共六十五页哦作业作业习题习题4-4(P280)2(双双)；3(双双)；4(双双)；机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第三十九页，讲稿共六十五页哦机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解:备用题备用题第四十页，讲稿共六十五页哦2 2、求积分求积分 解解:

12、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第四十一页，讲稿共六十五页哦3 3、求积分求积分解解1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第四十二页，讲稿共六十五页哦解解2 2修改万能置换公式修改万能置换公式,令令机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3 3、求积分求积分第四十三页，讲稿共六十五页哦解解3可以不用万能置换公式可以不用万能置换公式.说明：说明：比较以上三种解法便知，万能置换不一定是比较以上三种解法便知，万能置换不一定是最佳方法最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其故三角有理式的计算中先考虑其它手段它手段,不得已才用万能置换

13、不得已才用万能置换.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3 3、求积分求积分第四十四页，讲稿共六十五页哦解解:说明说明:通常求含通常求含的积分时的积分时,往往更方便往往更方便 .的有理式的有理式用代换用代换4 4、求积分求积分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第四十五页，讲稿共六十五页哦解法解法1 1 令令原式原式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 5 5、求积分求积分解法解法2 2 原式原式第四十六页，讲稿共六十五页哦6 6、求积分求积分解解1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第四十七页，讲稿

14、共六十五页哦6 6、求积分求积分解解2机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第四十八页，讲稿共六十五页哦解解3机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 6 6、求积分求积分第四十九页，讲稿共六十五页哦解解1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 7 7、求积分求积分第五十页，讲稿共六十五页哦解解2机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 7 7、求积分求积分第五十一页，讲稿共六十五页哦解解3机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 7 7、求积分求积分第五十二页，讲稿共六十五页哦解解1机动机动 目录

15、目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 8 8、求积分求积分第五十三页，讲稿共六十五页哦解解2机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 8 8、求积分求积分第五十四页，讲稿共六十五页哦解解3机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 8 8、求积分求积分第五十五页，讲稿共六十五页哦解解机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 9 9、求积分求积分第五十六页，讲稿共六十五页哦解解1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1010、求积分求积分第五十七页，讲稿共六十五页哦解解2机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回

16、返回 结束结束 1010、求积分求积分第五十八页，讲稿共六十五页哦解解3机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1010、求积分求积分第五十九页，讲稿共六十五页哦解解4：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1010、求积分求积分第六十页，讲稿共六十五页哦机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则则第六十一页，讲稿共六十五页哦机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解：解：1111、求积分求积分第六十二页，讲稿共六十五页哦机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第六十三页，讲稿共六十五页哦1212、解解机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第六十四页，讲稿共六十五页哦感感谢谢大大家家观观看看9/26/2022第六十五页，讲稿共六十五页哦