高三数学(理)一轮复习(学案)第五章数列第二节等差数列.pdf

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1、第二节 等 差 数 列 2019 考纲考题考情 1等差数列的有关概念(1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示，定义表达式为 anan1d(常数)(nN*，n2)或 an1and(常数)(nN*)。(2)等差中项 若三个数 a，A，b 成等差数列，则 A 叫做 a 与 b 的等差中项，且有 Aab2。2等差数列的有关公式(1)等差数列的通项公式 如果等差数列an的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项公式是 ana1(n1)d。(2)等差数列的前 n 项和公式 设等

2、差数列an的公差为 d，其前 n 项和 Snna1nn12d或 Snna1an2。3等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)。(2)若an为等差数列，且 klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman。(3)若an是等差数列，公差为 d，则a2n也是等差数列，公差为 2d。(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列。(5)若an是等差数列，公差为 d，则 ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为 md 的等差数列。(6)数列 Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列。(7)S2n1(2n1)an。(8)若项数 n 为偶数，则 S偶S奇

3、nd2；若项数 n 为奇数，则 S奇S偶a中(中间项)。1用等差数列的定义判断数列是否为等差数列，要注意定义中的三个关键词：“从第 2 项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”。2等差数列的前 n 项和公式有两种表达形式，要根据题目给出的条件判断使用哪一种表达形式。3等差数列与函数的关系(1)通项公式：当公差 d0 时，等差数列的通项公式 ana1(n1)ddna1d 是关于 n 的一次函数，且一次项系数为公差 d。若公差 d0，则为递增数列，若公差 d0，则为递减数列。(2)前 n 项和：当公差 d0 时，Snna1nn12dd2n2a1d2n 是关于 n 的二次函数且常数项为 0。一

4、、走进教材 1(必修 5P38例 1(1)改编)已知等差数列8，3,2，7，则该数列的第 100 项为_。解析 依题意得，该数列的首项为8，公差为 5，所以 a1008995487。答案 487 2(必修 5P46A 组 T5改编)已知等差数列 5,427，347，则前 n 项和 Sn_。解析 由题知公差 d57，所以 Snna1nn12d114(75n5n2)。答案 114(75n5n2)二、走近高考 3(2018全国卷)记 Sn为等差数列an的前 n 项和。若 3S3S2S4，a12，则 a5()A12 B10 C10 D12 解析 设等差数列an的公差为 d，根据题中的条件可得33232

5、2d 22d42432d，整理解得 d3，所以 a5a14d21210。故选 B。解析：设等差数列an的公差为 d，因为 3S3S2S4，所以3S3S3a3S3a4，所以 S3a4a3，所以 3a1322dd，因为 a12，所以 d3，所以 a5a14d24(3)10。故选 B。答案 B 4(2017全国卷)记 Sn为等差数列an的前 n 项和。若 a4a524，S648，则an的公差为()A1 B2 C4 D8 解 析 设 等 差 数 列 an 的 公 差 为d，依 题 意 得 a13da14d24，6a1652d48，解得 a12d4，故选 C。解析：由等差数列的性质得 S63(a3a4)

6、48a3a416，又 a4a524，得 2d8，所以 d4。故选 C。答案 C 三、走出误区 微提醒：错用公式致误；求前 n 项和最值的方法不当致误；错用性质致误。5 已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100()A100 B99 C98 D97 解 析 设 等 差 数 列 an 的 公 差 为 d，由 已 知，得 9a136d27，a19d8，所以 a11，d1，所以 a100a199d19998。答案 C 6在等差数列an中，a17，公差为 d，前 n 项和为 Sn，当且仅当 n8 时 Sn取得最大值，则 d 的取值范围为_。解析 由题意知 d0，a90，78d0，解得1d78

7、。答案 1，78 7在等差数列an中，若 a3a4a5a6a7450，则 a2a8_。解析 由等差数列的性质，得 a3a4a5a6a75a5450，所以 a590，所以 a2a82a5180。答案 180 考点一 等差数列的基本运算【例 1】(1)(2018北京高考)设an是等差数列，且 a13，a2a536，则an的通项公式为_。(2)九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代

8、一种质量单位)，在这个问题中，甲得_钱()A53 B32 C.43 D.54 解析(1)设等差数列an的公差为 d，a2a5a1da14d65d36，所以 d6，所以 an3(n1)66n3。(2)甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数依次设为成等差数列的a1，a2，a3，a4，a5，设公差为 d，由题意知 a1a2a3a4a552，即 2a1d52，3a19d52，解得 a143，d16，故甲得43钱。故选 C。答案(1)an6n3(2)C 等差数列运算问题的通性通法 1等差数列运算问题的一般求法是设出首项 a1和公差 d，然后由通项公式或前 n 项和公式转化为方程(组)求解。2 等差数列的通项公式

9、及前 n 项和公式，共涉及五个量 a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题。【变式训练】(1)(2019沈阳市质量监测)在等差数列an中，若Sn为前 n 项和，2a7a85，则 S11的值是()A55 B11 C50 D60(2)已知等差数列an一共有 9 项，前 4 项和为 3，最后 3 项和为 4，则中间一项的值为()A1720 B5960 C1 D.6766 解析(1)设等差数列an的公差为 d，由题意可得 2(a16d)a17d5，得 a15d5，则 S1111a111102d11(a15d)11555。故选 A。解析：设等差数列an的公差为 d，

10、由 2a7a85，得 2(a6d)a62d5，得 a65，所以 S1111a655。故选 A。(2)设等差数列an的公差为 d，由题意得 4a16d3，3a121d4，解得 a11322，d766。所以中间一项为a5a14d132247666766。故选 D。答案(1)A(2)D 考点二 等差数列的判定与证明【例 2】已知数列an满足 a123，an12an33an4(nN*)。(1)证明：数列1an1是等差数列；(2)求an的通项公式。解(1)证明：因为 an112an33an41an13an4，所以1an113an4an131an1，所以1an111an13，所以1an1是首项为1a113

11、，公差为3 的等差数列。(2)由(1)得1an13n，所以 an13n1。判断数列an是否为等差数列，通常有两种方法：定义法，证明 anan1d(n2，d 为常数)，用定义法证明等差数列时，常选用两个式子 an1and 或 anan1d，但它们的意义不同，后者必须加上“n2”；等差中项法，证明 2anan1an1(n2)。【变式训练】(2019齐齐哈尔八中月考)已知数列an是等差数列，且 a1，a2(a1a2)分别为方程 x26x50 的两个根。(1)求数列an的前 n 项和 Sn；(2)在(1)中，设 bnSnnc，求证：当 c12时，数列bn是等差数列。解(1)因为 a1，a2(a1a2)

12、分别为方程 x26x50 的两个根，所以 a11，a25，所以等差数列an的公差为 4，所以 Snn1nn1242n2n。(2)证明：当 c12时，bnSnnc2n2nn122n，因为 bn1bn2(n1)2n2，b12，所以bn是首项为 2，公差为 2 的等差数列。考点三 等差数列的性质及应用【例 3】(1)在 等 差 数 列 an 中，a5 a6 4，则log2(2a12a22a10)()A10 B20 C40 D2log25(2)设 Sn是等差数列an的前 n 项和，若 S6722，S1 34412，则 S2 016()A22 B26 C30 D34 解析(1)由等差数列的性质知 a1a

13、10a2a9a3a8a4a7a5a64，则 2a12a22a102a1a2a1025(a5a6)254，所以 log2(2a12a22a10)log225420。(2)由等差数列的性质知，S672，S1 344S672，S2 016S1 344成等差数列，则 2(S1 344S672)S672S2 016S1 344，即 2(122)2S2 01612，解得 S2 01630。答案(1)B(2)C 1 利用等差数列的性质“若 mnpq(m，n，p，qN*)，则有 amanapaq”，或者“常用结论”中的有关公式可以有效地简化计算。2在等差数列中 Sn，S2nSn，S3nS2n，仍成等差数列，本

14、例(2)应用了这一个性质。【变式训练】(1)在等差数列an中，若 a3a5a7a9a1145，S33，那么 a5()A4 B5 C9 D18(2)两等差数列an和bn的前 n 项和分别为 Sn，Tn，且SnTn7n2n3，则a2a20b7b15_。(3)一个正项等差数列前 n 项的和为 3，前 3n 项的和为 21，则前 2n 项的和为()A18 B12 C10 D6 解析(1)由题意可得a3a5a7a9a115a745，S33a23，则 a79，a21，则数列的公差 da7a2722，故 a5a23d5。(2)因为数列an和bn均为等差数列，所以a2a20b7b15a1a21b1b21a1a

15、21212b1b21212S21T21721221314924。(3)因为an是等差数列，所以 Sn，S2nSn，S3nS2n成等差数列，即 2(S2nSn)Sn(S3nS2n)，因为 Sn3，S3n21，所以2(S2n3)321S2n，解得 S2n10。故选 C。答案(1)B(2)14924(3)C 考点四 等差数列的最值问题微点小专题 方向 1：等差数列前 n 项和的最值【例4】(2018全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和，已知 a17，S315。(1)求an的通项公式；(2)求 Sn，并求 Sn的最小值。解(1)设an的公差为 d，由题意得 3a13d15。由 a17 得 d2。所以

16、an的通项公式为 an2n9。(2)由(1)得 Snn28n(n4)216。所以当 n4 时，Sn取得最小值，最小值为16。求等差数列前 n 项和的最值，常用的方法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；利用等差数到的前n项和SnAn2Bn(A，B 为常数)为二次函数，通过二次函数的性质求最值。方向 2：等差数列项的最值【例 5】(2019安徽淮北一模)Sn是等差数列an的前 n 项和，S2 018S2 016，S2 017S2 018，则 Sn0 时 n 的最大值是()A2 017 B2 018 C4 033 D4 034 解析 因为 S2 0

17、18S2 016，S2 017S2 018，所以 a2 018a2 0170。所以 S4 0344 034a1a4 03422 017(a2 018a2 017)0，可知Sn0时n的最大值是4 034。故选 D。答案 D 本题借助等差数列的性质求出 Sn0，则其前 n 项和取最小值时 n 的值为()A6 B7 C8 D9 解析 由 d0 可得等差数列an是递增数列，又|a6|a11|，所以a6a11，即a15da110d，所以 a115d2，则 a8d20，所以前 8 项和为前 n 项和的最小值。故选 C。答案 C 2(方向 2)设等差数列an满足 a3a736，a4a6275，且anan1有

18、最小值，则这个最小值为_。解析 设等差数列an的公差为 d，因为 a3a736，所以a4a636，又 a4a6275，联立，解得 a411，a625或 a425，a611，当 a411，a625时，可得 a110，d7，此时 an7n17，a23，a34，易知当 n2 时，an0，所以 a2a312 为 anan1的最小值；当 a425，a611时，可得 a146，d7，此时an7n53，a74，a83，易知当 n7 时，an0，当 n8时，an5 时，an0。所以|a1|a2|a15|(a1a2a3a4)(a5a6a15)20110130。答案 130 4(配合例 4 使用)等差数列an的前

19、 n 项和为 Sn，已知 a113，S3S11，当 Sn最大时，n 的值是()A5 B6 C7 D8 解析 解法一：由 S3S11，得 a4a5a110，根据等差数列的性质，可得 a7a80。根据首项等于 13 可推知这个数列递减，从而得到 a70，a80,6Sna2n3an(nN*)，bn2an2an12an11，若nN*，kTn恒成立，则 k 的最小值是()A17 B149 C49 D.8441 解析 已知 6Sna2n3an(nN*)，6Sn1a2n13an1(nN*)，两式作差得 6ana2na2n13an 3an1，即 a2na2n13an3an10，即(anan13)(anan1)0，由 an0 可得 anan13，故数列an是等差数列，且6a1a213a1，解得 a13，由等差数列的通项公式得到 an3n(nN*)，故 bn8n8n18n111718n118n11(nN*)，裂项求和可得 Tn171718n111491718n11(nN*)，由条件 kTn恒成立，因为 Tn149，所以 k149，即 k 的最小值为149。答案 B