高考数学大一轮复习第五章数列第二节等差数列教师用书理.doc

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1、- 1 -第二节第二节 等差数列等差数列2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系。2016，全国卷，3,5 分(等差数列基本量的计算)2016，全国卷，17,12 分(等差数列通项公式、求和)2016，北京卷，12,5 分(等差数列的基本量计算)2016，浙江卷，6,5 分(等差数列的创新应用)1.以考查等差数列的通项、前n项和及性质为主，等差数列的证明也是考查的热点；2.题型主要以选择题、填空题的形式考查等

2、差数列的基本运算与简单性质。解答题往往与等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查。微知识 小题练自|主|排|查1等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为anan1d(常数)(nN N*，n2)或an1and(常数)(nN N*)。(2)等差中项若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A。ab 22等差数列的有关公式(1)等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是ana1(n1)d。(2

3、)等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d，其前n项和Snna1d 或Sn。nn1 2na1an 23等差数列的常用性质- 2 -(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN N*)。(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN N*)，则akalaman。(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为 2d。(4)若an，bn是等差数列，公差为d，则panqbn也是等差数列。(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN N*)是公差为md的等差数列。(6)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列。(7)S2n1(2n1)a

4、n。(8)若n为偶数，则S偶S奇；nd 2若n为奇数，则S奇S偶a中(中间项)。微点提醒 1用等差数列的定义判断数列是否为等差数列，要注意定义中的三个关键词：“从第2 项起” “每一项与它的前一项的差” “同一个常数” 。2等差数列的前n项和公式有两种表达形式，要根据题目给出的条件判断使用哪一种表达形式。3等差数列与函数的关系：(1)通项公式：当公差d0 时，等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且斜率为公差d。若公差d0，则为递增数列，若公差d0，a7a100，所以a80。又- 4 -a7a10a8a90。易知Snn26n，S39，S55，所以T5(a1a2a3)

5、a4a5S3(S5S3)S52S313。当n3 时，TnSn6nn2；当n4 时，TnS3(SnS3)Sn2S3n26n18。故TnError!【答案】 (1)an2n7(nN N*) (2)T513TnError!反思归纳 1.等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解。2等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，已知其中三个就能求出另外两个，体现了用方程组解决问题的思想。【变式训练】 (1)(2016北京高考)已知an为等差数列，Sn为其前n项和。若a16，a3a50，则S6_。(2)(2016江苏高考)已

6、知an是等差数列，Sn是其前n项和。若a1a3，S510，则a9的值是_。2 2【解析】 (1)设等差数列an的公差为d，由已知得Error!解得Error!所以S66a1 65d3615(2)6。1 2(2)设等差数列an的公差为d，则a1aa1(a1d)23，S55a110d10，解2 2得a14，d3，则a9a18d42420。【答案】 (1)6 (2)20- 5 -考点二 等差数列的判定与证明【典例 2】 (2017兰州模拟)已知数列an中，a1 ，an2(n2，nN N*)，3 51 an1数列bn满足bn(nN N*)。1 an1(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求数列an中的

7、通项公式an。【解析】 (1)证明：因为an2(n2，nN N*)，1 an1bn。1 an1所以n2 时，bnbn11 an11 an111(21 an1)11 an11an1 an111。1 an11又b1 ，1 a115 2所以数列bn是以 为首项，1 为公差的等差数列。5 2(2)由(1)知，bnn ，则an11。7 21 bn2 2n7【答案】 (1)数列bn是以 为首项，1 为公差的等差数列 (2)an15 22 2n7反思归纳 等差数列的四种判断方法：(1)定义法：an1and(d是常数)an是等差数列。(2)等差中项法：2an1anan2(nN N*)an是等差数列。(3)通项

8、公式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列。(4)前n项和公式：SnAn2Bn(A，B为常数)an是等差数列。【变式训练】 已知数列an的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn(nN N*)。anan1 2(1)求证：数列an是等差数列；(2)设bn，Tnb1b2bn，求Tn。1 Sn【解析】 (1)证明：Sn(nN N*)，anan1 2Sn1(n2)。an1an11 2- 6 -得an(n2)，a2nana2n1an1 2整理得(anan1)(anan1)anan1(n2)。数列an的各项均为正数，anan10，anan11(n2)。当n1 时，a11，数列an是首项为 1、公差为 1

9、的等差数列。(2)由(1)得Sn，n2n 2bn2，2 n2n2 nn1(1 n1 n1)Tn22。(11 2) (1 21 3) (1 31 4)(1 n1 n1)(11 n1)2n n1【答案】 (1)见解析 (2)Tn2n n1考点三 等差数列的性质及应用【典例 3】 (1)(2015全国卷)设Sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则S5( )A5 B7 C9 D11(2)设等差数列an的前n项和为Sn，且S312，S945，则S12_。(3)已知an，bn都是等差数列，若a1b109，a3b815，则a5b6_。【解析】 (1)解法一：a1a52a3，a1a3a53a33，a

10、31，S55a35。故选 A。5a1a5 2解法二：a1a3a5a1(a12d)(a14d)3a16d3，a12d1，S55a1d5(a12d)5。故选 A。5 4 2(2)因为an是等差数列，所以S3，S6S3，S9S6，S12S9成等差数列，所以 2(S6S3)S3(S9S6)，即 2(S612)12(45S6)，解得S63；又 2(S9S6)(S6S3)(S12S9)，即 2(453)(312)(S1245)，解得S12114。(3)因为an，bn都是等差数列，所以 2a3a1a5,2b8b10b6，所以 2(a3b8)(a1b10)(a5b6)，即 2159(a5b6)，解得a5b62

11、1。【答案】 (1)A (2)114 (3)21反思归纳 在等差数列an中，数列Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列；也是等差Sn n数列。等差数列的性质是解题的重要工具。- 7 -【变式训练】 (1)(2016银川模拟)已知an是等差数列，a415，S555，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线斜率为( )A4 B. 1 4C4 D1 4(2)已知等差数列an的公差为 2，项数是偶数，所有奇数项之和为 15，所有偶数项之和为 25，则这个数列的项数为( )A10 B20 C30 D40【解析】 (1)S55a355，a311，k4。故选 C。a4a3 431511 1(2)设这个

12、数列有 2n项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd，即 25152n，故 2n10，即数列的项数为 10。故选 A。【答案】 (1)C (2)A考点四 等差数列前n项和的最值问题母题发散【典例 4】 在等差数列an中，已知a120，前n项和为Sn，且S10S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值。【解析】 a120，S10S15，1020d1520d，10 9 215 14 2d 。5 3解法一：由an20(n1)n。(5 3)5 365 3得a130。即当n12 时，an0，当n14 时，an0，当n12 或 13 时，Sn取得最小值，最小值S12S13

13、130。13a1a13 2【答案】 当n12 或 13 时，Sn取得最小值，最小值S12S13130。Error!【拓展变式】 设Sn为等差数列an的前n项和，(n1)Sn0，a70，即数列an前 7 项均a8 a7小于 0，第 8 项大于零，所以Sn的最小值为S7。故选 D。【答案】 D- 9 -微考场 新提升1已知数列an为等差数列，其前n项和为Sn，若a36，S312，则公差d等于( )A1 B. 5 3C2 D3解析 由已知得S33a212，即a24，da3a2642。故选 C。答案 C2(2016长春二模)已知等差数列an的前n项和为Sn，满足a2 016S2 0162 016，则a

14、1等于( )A2 017 B2 016C2 015 D2 014解析 S2 0161 008(a1a2 016)2 016，a1a2 0162。又2 016a1a2 016 2a2 0162 016，a12 014。故选 D。答案 D3(2016临沂质检)在等差数列an中，若a2a4a6a8a1080，则a7a8的值1 2为( )A4 B6 C8 D10解析 a2a4a6a8a105a680，a616。a7a88。1 22a7a8 2a6 2答案 C4已知在数列an中，a32，a51，若是等差数列，则a11等于_。1 1an解析 记bn，则b3 ，b5 ，数列bn的公差为1 1an1 31 2，b1 ，bn，即。an，故a110。1 2(1 21 3)1 121 6n1 121 1ann1 1211n n1答案 05已知Anx|2nx2n1且x7m1，m，nN N，则A6中各元素的和为_。解析 A6x|26x27且x7m1，mN N，A6的元素x71,78,85,92,99,106，127各数组成一首项为 71，公差为 7 的等差数列。，9个71781277197891。9 8 2- 10 -答案 891