三角函数三角函数公式表.pdf

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1、实用标准文档 文案大全 常见三角函数 在平面直角坐标系xOy中，从点 O引出一条射线 OP，设旋转角为，设 OP=r，P点的坐标为(x,y)。在这个直角三角形中，y是的对边，x是的邻边，r是斜边，则可定义以下六种运算方法：基本函数 英文 表达式 语言描述 正弦函数 Sine sin=y/r 角的对边比斜边 余弦函数 Cosine cos=x/r 角的邻边比斜边 正切函数 Tangent tan=y/x 角的对边比邻边 余切函数 Cotangent cot=x/y 角的邻边比对边 正割函数 Secant sec=r/x 角的斜边比邻边 余割函数 Cosecant csc=r/y 角的斜边比对边

2、注：tan、cot曾被写作 tg、ctg，现已不用这种写法。非常见三角函数 除了上述六个常见的函数，还有一些不常见的三角函数，这些运算已趋于淘汰：函数名 与常见函数转化关系 正矢函数 versin=1-cos 实用标准文档 文案大全 余矢函数 covers=1-sin 半正矢函数 havers=(1-cos)/2 半余矢函数 hacovers=(1-sin)/2 外正割函数 exsec=sec-1 外余割函数 excsc=csc-1 单位圆定义 六个三角函数也可以依据半径为 1中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允

3、许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和/2 弧度之间的角。它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理，三角函数 单位圆的方程是：x2+y2=1 图像中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同 x 轴正半部分得到一个角，并与单位圆相交。这个交点的 x 和 y 坐标分别等于 cos 和 sin。图像中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为 1，所以有 sin =y/1 和 cos =x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于 1 的一种查看无限个三角形的方式。对于大于

4、 2 或小于等于 2 的角度，可直接继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为 2的周期函数：对于任何角度 和任何整数 k。周期函数的最小正周期叫做这个函数的“基本周期”。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆，也就是 2 弧度或 360；正切或余切的基本周期是半圆，也就是 弧度或 180。上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的，其他四个三角函数的定义如图所示。实用标准文档 文案大全 其他四个三角函数的定义 在正切函数的图像中，在角 k 附近变化缓慢，而在接近角(k+1/2)的时候变化迅速。正切函数的图像在 =(k+1/2)有垂直渐近线。这是因为在 从左侧接进(k+1/2)的时候

5、函数接近正无穷，而从右侧接近(k+1/2)的时候函数接近负无穷。另一方面，所有基本三角函数都可依据中心为 O 的单位圆来定义，类似于历史上使用的几何定义。特别 三角函数 是，对于这个圆的弦 AB，这里的 是对向角的一半，sin 是 AC（半弦），这是印度的阿耶波多介入的定义。cos 是水平距离 OC，versin =1-cos 是 CD。tan 是通过 A 的切线的线段 AE 的长度，所以这个函数才叫正切。cot 是另一个切线段 AF。sec =OE 和 csc=OF 是割线（与圆相交于两点）的线段，所以可以看作 OA 沿着 A 的切线分别向水平和垂直轴的投影。DE 是 exsec =sec

6、-1（正割在圆外的部分）。通过这些构造，容易看出正割和正切函数在 接近/2 的时候发散，而余割和余切在 接近零的时候发散。三角函数线 依据单位圆定义，实用标准文档 文案大全 三角函数线 我们可以做三个有向线段（向量）来表示正弦、余弦、正切的值。如图所示，圆 O是一个单位圆，P是的终边与单位圆上的交点，M点是P在x轴的投影，S(1,0)是圆 O与 x轴正半轴的交点，过 S点做圆 O的切线l。那么向量 MP 对应的就是的正弦值，向量 OM 对应的就是余弦值。OP 的延长线（或反向延长线）与l的交点为 T，则向量 ST 对应的就是正切值。向量的起止点不能颠倒，因为其方向是有意义的。借助线三角函数线，

7、我们可以观察到第二象限角的正弦值为正，余弦值为负，正切值为负 特殊角的三角函数 角度 sin cos tan cot 0 0 1 0 无意义 30 1/2 3/2 3/3 3 45 2/2 2/2 1 1 60 3/2 1/2 3 3/3 90 1 0 无意义 0 180 0-1 0 无意义 270-1 0 无意义 0 同角三角函数关系式 实用标准文档 文案大全 平方关系 sin2()+cos2()=1 cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=1-2sin2(a)=2cos2(a)-1 sin(2a)=2sin(a)cos(a)tan2()+1=1/cos2()2sin2(a)=1-c

8、os(2a)cot2()+1=1/sin2(a)积的关系 sin=tancos cos=cotsin tan=sinsec cot=coscsc sec=tancsc csc=seccot 倒数关系 tan cot1 sin csc1 cos sec1 商的关系 sin/costansec/csc cos/sincotcsc/sec 三角函数 直角三角 实用标准文档 文案大全 三角函数 形 ABC中,角 A的正弦值就等于角 A的对边比斜边,余弦等于角 A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边,对称性 180度-的终边和的终边关于 y轴对称。-的终边和的终边关于 x轴对称。180度+的终边和的终边关于

9、原点对称。90 度-的终边和的终边关于 y=x对称。诱导公式 公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等 k 是整数 sin（2k）sin cos（2k）cos tan（2k）tan cot（2k）cot 公式二：设为任意角，+的三角函数值与的三角函数值之间的关系 sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式三：sin（）sin 实用标准文档 文案大全 任意角与-的三角函数值之间的关系 cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式四：利用公式二和公式三可以得到-与的三角函数值之间的关系 sin（）sin cos（）cos tan（）ta

10、n cot（）cot 公式五：利用公式一和公式三可以得到 2-与的三角函数值之间的关系 sin（2）sin cos（2）cos tan（2）tan cot（2）cot 公式六：/2及 3/2与的三角函数值之间的关系 sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sin（3/2）c实用标准文档 文案大全 os cos（3/2）sin tan（3/2）cot cot（3/2）tan sin（3/2）cos cos（3/2）sin tan（3/2）cot cot（3/2）

11、tan 诱导公式的表格以及推导方法（定名法则和定号法则）sin cos tan cot sec csc 360k+sin cos tan cot sec csc 90-cos sin cot tan csc sec 90+cos-sin-cot-tan-csc sec 180-sin-cos-tan-cot-sec csc 180+-sin-cos tan cot-sec-csc 270-cos-sin cot tan-csc-sec 270+-cos sin-cot-tan csc-sec 360-sin cos-tan-cot sec-csc -sin cos-tan-cot sec-cs

12、c 实用标准文档 文案大全 定名法则 90的奇数倍+的三角函数，其绝对值与三角函数的绝对值互为余函数。90的偶数倍+的三角函数与的三角函数绝对值相同。也就是“奇余偶同，奇变偶不变”定号法则 将看做锐角（注意是“看做”），按所得的角的象限，取三角函数的符号。也就是“象限定号，符号看象限”.（或为“奇变偶不变，符号看象限”2在 K/中如果 K为奇数时函数名不变，若为偶数时函数名变为相反的函数名。正负号看原函数中所在象限的正负号。关于正负号有可口诀；一全二正弦，三切四余弦，即第一象限全部为正，第二象限角正弦为正，第三为正切、余切为正，第四象限余弦为正。）比如:90+。定名：90是 90的奇数倍，所以

13、应取余函数；定号：将看做锐角，那么 90+是第二象限角，第二象限角的正弦为正，余弦为负。所以 sin(90+)=cos,cos(90+)-sin 这个非常神奇，屡试不爽 还有一个口诀“纵变横不变，符号看象限”，例如：sin(90+)，90的终边在纵轴上，所以函数名变为相反的函数名，即 cos，将看做锐角，那么 90+是第二象限角，第二象限角的正弦为正，所以 sin(90+)=cos 两角和与差的三角函数 cos(+)=coscos-sinsin cos(-)=coscos+sinsin sin()=sincoscossin tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan)tan(-)=(

14、tan-tan)/(1+tantan)和差化积公式 sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2 sin-sin=2cos(+)/2sin(-)/2 cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2 cos-cos=-2sin(+)/2sin(-)/2 积化和差公式 sincos=(1/2)sin(+)+sin(-)cossin=(1/2)sin(+)-sin(-)coscos=(1/2)cos(+)+cos(-)sinsin=-(1/2)cos(+)-cos(-)倍角公式 sin(2)=2sincos=2/(tan+cot)实用标准文档 文案大全 cos(2)=(cos)2-(sin

15、)2=2(cos)2-1=1-2(sin)2 tan(2)=2tan/(1-tan2)cot(2)=(cot2-1)/(2cot)sec(2)=sec2/(1-tan2)csc(2)=1/2*seccsc 三倍角公式 sin(3)=3sin-4sin3=4sinsin(60+)sin(60-)cos(3)=4cos3-3cos=4coscos(60+)cos(60-)tan(3)=(3tan-tan3)/(1-3tan2)=tantan(/3+)tan(/3-)cot(3)=(cot3-3cot)/(3cot2-1)n倍角公式 sin(n)=ncos(n-1)sin-C(n,3)cos(n-3

16、)sin3+C(n,5)cos(n-5)sin5-cos(n)=cosn-C(n,2)cos(n-2)sin2+C(n,4)cos(n-4)sin4-半角公式 sin(/2)=(1-cos)/2)cos(/2)=(1+cos)/2)tan(/2)=(1-cos)/(1+cos)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin cot(/2)=(1+cos)/(1-cos)=(1+cos)/sin=sin/(1-cos)sec(/2)=(2sec/(sec+1)csc(/2)=(2sec/(sec-1)辅助角公式 Asin+Bcos=(A2+B2)sin(+）（tan=B/A）Asin+Bcos

17、=(A2+B2)cos(-）（tan=A/B）万能公式 sin(a)=(2tan(a/2)/(1+tan2(a/2)cos(a)=(1-tan2(a/2)/(1+tan2(a/2)tan(a)=(2tan(a/2)/(1-tan2(a/2)降幂公式 sin2=(1-cos(2)/2=versin(2)/2 cos2=(1+cos(2)/2=covers(2)/2 tan2=(1-cos(2)/(1+cos(2)实用标准文档 文案大全 三角和的三角函数 sin(+)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsin cos(+)=coscoscos-cossinsi

18、n-sincossin-sinsincos tan(+)=(tan+tan+tan-tantantan)/(1-tantan-tantan-tantan)其它公式 1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2)2 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2)2 csc(a)=1/sin(a)sec(a)=1/cos(a)cos30=sin60 sin30=cos60 推导公式 tan+cot=2/sin2 tan-cot=-2cot2 1+cos2=2cos2 1-cos2=2sin2 1+sin=sin(/2)+cos(/2)2 其他及证明 sin+sin(+2/n)+si

19、n(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin+2*(n-1)/n=0 cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+cos+2*(n-1)/n=0 以及 sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 cosx+cos2x+.+cosnx=sin(n+1)x+sinnx-sinx/2sinx 证明：左边=2sinx(cosx+cos2x+.+cosnx)/2sinx =sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+.+sinnx-sin(n-2)x+

20、sin(n+1)x-sin(n-1)x/2sinx（积化和差）=sin(n+1)x+sinnx-sinx/2sinx=右边 等式得证 sinx+sin2x+.+sinnx=-cos(n+1)x+cosnx-cosx-1/2sinx 证明:左边=-2sinxsinx+sin2x+.+sinnx/(-2sinx)实用标准文档 文案大全 =cos2x-cos0+cos3x-cosx+.+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x/(-2sinx)=-cos(n+1)x+cosnx-cosx-1/2sinx=右边 等式得证 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a)=

21、sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina =(2cos2a-1)cosa-2(1-cos2a)cosa =4cos3a-3cosa sin3a=3sina-4sin3a =4sina(3/4-sin2a)=4sina(3/2)2-sin2a =4sina(sin260-sin2a)=4sina(sin60+sina)(sin60-sina)=4sina*2sin(60+a)/2cos(60-a)/2*2sin(60-a)/2cos(6

22、0+a)/2 =4sinasin(60+a)sin(60-a)cos3a=4cos3a-3cosa =4cosa(cos2a-3/4)=4cosacos2a-(3/2)2 =4cosa(cos2a-cos230)=4cosa(cosa+cos30)(cosa-cos30)=4cosa*2cos(a+30)/2cos(a-30)/2*-2sin(a+30)/2sin(a-30)/2 =-4cosasin(a+30)sin(a-30)=-4cosasin90-(60-a)sin-90+(60+a)=-4cosacos(60-a)-cos(60+a)=4cosacos(60-a)cos(60+a)上

23、述两式相比可得 tan3a=tanatan(60-a)tan(60+a)三角形与三角函数 1、正弦定理：在三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(其中 R为外接圆的半径)实用标准文档 文案大全 2、第一余弦定理：三角形中任意一边等于其他两边以及对应角余弦的交叉乘积的和，即 a=c cosB+b cosC 3、第二余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方之和减去这两边与它们夹角的余弦的积的 2倍，即 a2=b2+c2-2bccosA 4、正切定理(napier比拟)：三角形中任意两边差和的比值等于对应角半角差和的正切比值，即（a-b）

24、/(a+b)=tan(A-B)/2/tan(A+B)/2=tan(A-B)/2/cot(C/2)5、三角形中的恒等式：对于任意非直角三角形中,如三角形 ABC,总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证明:已知(A+B)=(-C)所以 tan(A+B)=tan(-C)则(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC)整理可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 类似地,我们同样也可以求证:当+=n(nZ)时，总有 tan+tan+tan=tantantan 三角函数图像 三角函数图像：定义域和值域 sin(

25、x),cos(x)的定义域为 R,值域为-1,1 tan(x)的定义域为 x不等于/2+k,值域为 R cot(x)的定义域为 x不等于 k,值域为 R y=asin(x)+bcos(x)+c 的值域为 c-(a2+b2),c+(a2+b2）初等三角函数导数 y=sinx-y=cosx y=cosx-y=-sinx y=tanx-y=1/cos2x=sec2x y=cotx-y=-1/sin2x=-csc2x y=secx-y=secxtanx y=cscx-y=-cscxcotx 实用标准文档 文案大全 y=arcsinx-y=1/(1-x2)y=arccosx-y=-1/(1-x2)y=a

26、rctanx-y=1/(1+x2)y=arccotx-y=-1/(1+x2)倍半角规律 如果角 a的余弦值为 1/2，那么 a/2的余弦值为3/2 反三角函数 三角函数的反函数，是多值函数。它们是反正弦 Arcsin x，反余弦 Arccos x，反正切 Arctan x，反余切 Arccot x等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为 x的角。为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值 y限在 y=-/2y/2，将 y为反正弦函数的主值，记为 y=arcsin x；相应地，反余弦函数 y=arccos x的主值限在 0 y；反正切函数 y=arctan x的主值限在-/2y/2；

27、反余切函数 y=arccot x的主值限在 0y。反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数 y=x对称。其概念首先由欧拉提出，并且首先使用了 arc+函数名的形式表示反三角函数，而不是 f-1(x).反三角函数主要是三个：y=arcsin(x)，定义域-1,1，值域-/2,/2，图象用红色线条；y=arccos(x)，定义域-1,1，值域0,，图象用兰色线条；y=arctan(x)，定义域(-,+)，值域(-/2,/2)，图象用绿色线条；sinarcsin(x)=x,定义域-1,1,值域【-/2,/2】证明方法如下：设 arcsin

28、(x)=y,则 sin(y)=x,将这两个式子代如上式即可得 其他几个用类似方法可得。三角函数公式表 同角三角函数的基本关系式 倒数关系 商的关系 平方关系 tancot1sincsc1cossec1 sinsectancoscsccoscsccotsinsec 222222sincos11tansec1 cotcsc 诱导公式 sin()sin cos()cos tan()tan cot()cot 实用标准文档 文案大全 sin()cos2cos()sin2tan()cot2cot()tan2 sin()cos2cos()sin2tan()cot2cot()tan2 sin()sincos(

29、)costan()tancot()cot sin()sincos()costan()tancot()cot 3sin()cos23cos()sin23tan()cot23cot()tan2 3sin()cos23cos()sin23tan()cot23cot()tan2 sin(2)sincos(2)costan(2)tancot(2)cot (其中 k Z)sin(2)sincos(2)costan(2)tancot(2)cot 两角和与差的三角函数公式 万能公式 sin()sincoscossinsin()sincoscossincos()coscossinsincos()coscossi

30、nsin tantantan()1tantan tantantan()1tantan 2tan(/2)sin1tan2(/2)1tan2(/2)cos1tan2(/2)2tan(/2)tan1tan2(/2)半角的正弦、余弦和正切公式 三角函数的降幂公式 1 cossin()221 coscos()221 cos1 cossintan()21 cossin1 cos 221 cos2sin21 cos2cos2 实用标准文档 文案大全 二倍角的正弦、余弦和正切公式 三倍角的正弦、余弦和正切公式 sin22sincoscos2cos2sin22cos2112sin 2 2tantan21tan2

31、 sin33sin4sin3cos34cos33cos.3tantan3tan31 3tan2 三角函数的和差化积公式 三角函数的积化和差公式 sinsin2sincos22sinsin2cossin22coscos2coscos22coscos2sinsin22 1sincossin()sin()21cossinsin()sin()21coscoscos()cos()21sinsincos()cos()2 化 asin bcos为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）22sincossin()axbxabx 其中角所在的象限由a、b的符号确定，角的值由tanba确定 六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间 1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为 1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”实用标准文档 文案大全