3.4.1相似三角形的判定(精品).ppt

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1、天池学校数学组天池学校数学组、两个全等三角形一定相似吗？为什么？两个全等三角形一定相似吗？为什么？、两个直角三角形一定相似吗？为什么？、两个直角三角形一定相似吗？为什么？两个等腰直角三角形呢？两个等腰直角三角形呢？、两个等腰三角形一定相似吗？为什么？、两个等腰三角形一定相似吗？为什么？两个等边三角形呢？两个等边三角形呢？相似比是多少？相似比是多少？300450ABC106125182它们是相似三角形吗？为什么？它们是相似三角形吗？为什么？A6BC5382476 在相似多边形中在相似多边形中,最简单的就是最简单的就是相似三角形相似三角形在在ABC和和ABC中中,如果如果A=A,B=B,C=C,我

2、们就说我们就说ABC与与ABC相似相似,记作记作:ABCABC.k就是它们的相似比就是它们的相似比.如果如果k=1,这两这两个三角形有怎个三角形有怎样的关系样的关系?如图如图,在在 ABC中中,点点D是边是边AB的中点的中点,DE/BC,DE交交AC于点于点E,ADE与与ABC有什么关系有什么关系?思思考考？直觉告诉我们,ADE与ABC相似,我们通过相似的定义证明这个结论.先证明两个三角形的对应角相等先证明两个三角形的对应角相等.在在ADEADE与与ABCABC中中,A=,A=AA,DE/BC,DE/BC,ADE=B,AED=C.ADE=B,AED=C.再证明两个三角形的对应边的比相等.过E作

3、EF/AB,EF交BC于F点.在平行四边形BFED中,DE=BF,DB=EF.AD=EF.又又A=1,2=C,A=1,2=C,ADEEFC,DE=FC=BF=BC.AE=EC=AC,AD=DB=AB,即即:ADE与与ABC中中,A=A,ADE=B,AED=C.AD=AB,AE=AC,DE=BC.AD:AB=AE:AC=DE:BC=1:2AD:AB=AE:AC=DE:BC=1:2 这样这样,我们证明了我们证明了ADEADE和和ABCABC的对应角相等的对应角相等,对对应边的比相等应边的比相等,所以它们相所以它们相似似,相似比等于相似比等于0.5.0.5.ADEADEABCABC结论结论:三角形的

4、中位线截得的三角形与原三角形相似三角形的中位线截得的三角形与原三角形相似 改变点改变点D D在在ABAB上的位置上的位置,继续观察图形继续观察图形,容易进一步容易进一步猜想猜想ADEADE与与ABCABC仍有相似关系因此，我们有：仍有相似关系因此，我们有：平行于三角形一边的直线和其他两边平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似相交，所构成的三角形与原三角形相似平行于三角形一边的直线与其它两边平行于三角形一边的直线与其它两边(或延长线或延长线)相交相交,所得的三角形与原三角形所得的三角形与原三角形_.相似相似“A”型型“X”型型（图（图2）DEOBCABCDE（图（图1

5、）请写出它们的对应边的比例式请写出它们的对应边的比例式 已知：如图，已知：如图，ABEF CDABEF CD，3图中共有图中共有_对相似三角形。对相似三角形。EOFCOD ABEF AOB FOE ABCDEFCDAOB DOC 如图，如图，ABC 中，DEBC，GFAB，DE、GF交于点O，则图中与ABC相似的三角形共有多少个?请你写出来.解：与ABC相似的三角形有相似的三角形有3个个:ADE GFCGOEABCDEFGO如图，在如图，在ABC中，中，DGEHFIBC，（1）请找出图中所有的相似三角形；请找出图中所有的相似三角形；（2）如果）如果AD=1，DB=3，那么那么DG：BC=_。A

6、BCDEFGHIADGAEHAFIABC1：4 上面我们根据相似三角形的定义，通过证明两个三角形的对应角相等，对应边的比相等得到了一个关于三角形相似的结论学习三角形全等时，我们知道，除了可以通过证明对应角相等，对应边相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法（SSS，SAS，ASA，AAS）类似地，判定两个三角形相似时，是不是对所有的对应角和对应边都要一一验证呢？类似于判定三角形全等的方法，我们还能不能通过三边来判断两个三角形相似呢？是否有ABCABC？ABCCBA三边对应成 比例已知已知:如图如图ABC和和 中中,求证求证:ABCABC证明证明:在在ABCABC的边的边AB(AB(或延长

7、线或延长线)上截取上截取AD=AAD=AB B,ABCABCDE过点过点D D作作DEBCDEBC交交ACAC于点于点E.E.又又 ADEABC,ADEABC,.因此因此 .ABCADE 要证明要证明ABCABC，可以先作一，可以先作一个与个与ABC全等全等的三角形，证明的三角形，证明它它ABC与相与相似这里所作的似这里所作的三角形是证明的三角形是证明的中介，它把中介，它把ABC与与ABC联系起联系起来来ABCCBAABCABC如果一个三角形的三条边和另一个三角形的如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例三条边对应成比例,那么这两个三角形相似那么这两个三角形相似.简单地说简单地说

8、:三边对应成比例三边对应成比例,两三角形相似两三角形相似.例例1 1：在：在ABC和和ABC中，已知：中，已知：(1)AB6 cm，BC8 cm，AC10 cm，AB18 cm，BC24 cm，AC30 cm试判定试判定ABC与与ABC是否相似，并说明理由是否相似，并说明理由(2)AB=12cm，BC=15cm，AC24cm AB16cm，BC20cm，AC30cm试说明试说明BAD=CAE.BAD=CAE.ADCEBABCABCADEADEBAC=BAC=DAEDAEBACBACDAC=DAC=DAEDAEDACDAC即即BAD=CAEBAD=CAE答案是答案是2:14:2=5:x=6:y4

9、:x=5:2=6:y4:x=5:y=6:2要作两个形状相同的三角形框架要作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形其中一个三角形的三边的长分别为的三边的长分别为4、5、6,另一个三角形框架的另一个三角形框架的一边长为一边长为2,怎样选料可使这两个三角形相似怎样选料可使这两个三角形相似?4562 平行于三角形一边的直线与其他两边平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线或延长线)相交相交,所构成的三角形与原三角所构成的三角形与原三角形相似形相似;三边对应成比例三边对应成比例,两三角形相似两三角形相似.相似三角形的判定方法相似三角形的判定方法不不经历风雨，怎么雨，怎么见彩虹彩虹没有人能随随便便成功没有人能随随便便成功!