垂直平分线与角平分线42640.pdf

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1、垂直平分线与角平分线 一垂直平分线【学习目标】1.掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，能够利用尺规作已知线段的垂直平分线 2.会证明三角形的三条中垂线必交于一点.掌握三角形的外心性质定理.3.已知底边和底边上的高，求作等腰三角形.4.能运用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题【要点梳理】要点一、线段的垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线 2.线段垂直平分线的做法 求作线段 AB 的垂直平分线.作法：（1）分别以点 A，B 为圆心，以大于21AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C，D 两点；（2）作

2、直线 CD，CD 即为所求直线 要点诠释：(1)作弧时的半径必须大于21AB 的长，否则就不能得到两弧的交点了(2)线段的垂直平分线的实质是一条直线.要点二、线段的垂直平分线定理 线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 要点诠释：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件 要点三、线段的垂直平分线逆定理 线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的

3、点，在这条线段的垂直平分线上 要点诠释：到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合 要点四、三角形的外心 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心外心.要点诠释:1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心.2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合.3.外心到三顶点的距离相等.要点五、尺规作图 作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”，画图必

4、须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即“xxx即为所求”.【典型例题】类型一、线段的垂直平分线定理 例 1、如图，ABC中 ACBC，边 AB 的垂直平分线与 AC 交于点 D，已知 AC=5，BC=4，则BCD的周长是（）A9 B8 C7 D6 练 1：在ABC中，AB 的垂直平分线分别交 AB、BC 于点 D、E，AC 的垂直平分线分别交 AC、BC 于点 F、G，若BAC=110，则EAG=_.类型二、线段的垂直平分线的逆定理 例 2.如图，已知 AB=AC,ABD=ACD，求证：AD 是线段 BC 的垂直平分线 CBAD

5、练 2：如图，P 是MON的平分线上的一点，PAOM,PBON,垂足分别为 A、B 求证：PO 垂直平分 AB 类型三、线段的垂直平分线定理与逆定理的综合应用 3、已知：如图，AB=AC，DB=DC，E 是 AD 上一点 求证：BE=CE CBADE 练 3.如图所示，在 RtABC中，ACB=90，AC=BC，D 为 BC 边上的中点，CEAD 于点 E，BFAC 交 CE 的延长线于点 F，求证：AB 垂直平分 DF 二角平分线【学习目标】1 掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质 2 掌握角平分线的判定及角平分线的画法 3.熟练运用角的平分线的性质解决问题【要点梳理】【高清课

6、堂：388612 角平分线的性质，知识要点】要点一、角的平分线的性质 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若 CD 平分ADB，点 P 是 CD 上一点，且 PEAD 于点 E，PFBD 于点 F，则 PEPF.要点二、角的平分线的判定 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若 PEAD 于点 E，PFBD 于点 F，PEPF，则 PD 平分ADB 要点三、角的平分线的尺规作图 角平分线的尺规作图 （1）以 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于 D，交 OB 于

7、 E.（2）分别以 D、E 为圆心，大于12DE 的长为半径画弧，两弧在AOB内部交于点 C.（3）画射线 OC.射线 OC 即为所求.要点四、三角形角平分线的性质 三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有 4 个.如图所示：ABC的内心为1P，旁心为234,P P P，这四个点到ABC三边所在直线距离相等.【典型例题】类型一、角的平分线的性质 例 1 如图，ACB90,BD平分ABC交 AC 于 D，DEAB

8、 于 E，ED 的延长线交 BC 的延长线于 F.求证：AECF.练 1.如图，AD 是BAC的平分线，DEAB，交 AB 的延长线于点 E，DFAC 于点 F，且 DBDC.求证：BECF.例 2、如图,ABC中,C 90,AC BC,AD 平分CAB,交 BC 于 D,DEAB 于 E,且AB6cm,则DEB的周长为()A.4cm B.6cm C.10cm D.以上都不对 练 2.已知：如图，AD 是ABC的角平分线，且:3:2AB AC，则ABD与ACD的面积之比为（）A 3：2 B3:2 C2：3 D.2:3 类型二、角的平分线的判定 例 3.已知，如图，CEAB,BDAC,B C，B

9、FCF.求证：AF 为BAC的平分线.练 3.如图，在ABC中，D 是 BC 的中点，DEAB，DFAC，垂足分别是 E，F，BECF 求证：AD 是ABC的角平分线.类型三.角的平分线的性质综合应用 例 4、如图，已知1 2，AEOB 与点 E，BDOA 与点 D，交 AE 于点 C，求证：ACBC.练 4、ABC的ABC的外角的平分线 BD 与ACB的外角的平分线 CE 相交于点 P，求证：点 P 到三边 AB，BC，CA 所在直线的距离相等。【课堂练习】1.1如图 1，在ABC中，AD 平分CAE，B=30，CAD=65，则ACD等于 （）A 50 B65 C80 D95 2 如图 2，

10、在ABD中，AD=4，AB=3，AC 平分BAD，则:A B CA C DSS=（）A 3:4 B4:3 C16:19 D不能确定 3 如图 3，在ABC中，C=90，AD 平分BAC，DEAB 于 E，则下列结论：AD 平分CDE；BAC=BDE；DE 平分ADB；BE+AC=AB。其中正确的有 （）A 2 个 B3 个 C4 个 D1 个 4.如图所示，在ABC中，BAC90，ADBC 于 D，BE 平分ABC交 AD 于 E，F 在 BC 上，并且 BFAB，则下列四个结论：EFAC，EFBBAD，AEEF，ABEFBE，其中正确的结论有（）A、B、C、D、5.5.如图，在ABC中，AD 是BAC平分线,AD的垂直平分线分别交 AB、BC 延长线于 F、E 求证：（1）EAD=EDA;（2）DFAC（3）EAC=B 6.如图，在ABC中，AB=AC，A=120，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N求FDECBA证：CM=2BM 7.如图 12，PA=PB，1+2=180。求证：OP 平分AOB。8.如图 13，ABC中，P、Q 分别是 BC、AC 上的点，PRAB 于 R，PSAC 于 S，若 AQ=PQ，RP=PS。则 PQ 与 AB 是否平行？请说明理由。SQRPCBA 21）OPBA 图 12