垂直平分线与角平分线讲义.pdf

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1、 线段的垂直平分线与角平分线 知识要点详解 1、线段垂直平分线的性质 (1)垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 CA=CB 几何语言：/CD是线段AB的垂直平分线 定理的作用：证明两条线段相等(2)线段关于它的垂直平分线对称 2、线段垂直平分线性质定理的逆定理(1)线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 几何语言:CA=CB 点C在线段AB的垂直平分线 定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上 3、关于三角形三边垂直平分线的定理(1)关于三角形三边垂直平分线的定理:三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶

2、点的距离相等 定理的数学表示：如图 3,若直线 i,j,k分别是 ABC三边 AB BC CA的垂直平分线，则直线 i,j,k相 交于一点0,且0A=OB=OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等 亠”J-r=4、角平分线的性质定理:角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 几何语言表示：/0E是/AOB的平分线，CF丄0A DF丄0B CF=DF.定理的作用：证明两条线段相等；用于几何作图问题；R 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线 角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上 5、角平分线性质定理的逆定理:几何语言表示

3、：PC丄0A PD丄0B PC=PD 点P在/A0B的平分线上 定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系 6、关于三角形三条角平分线的定理：(1)关于三角形三条角平分线交点的定理：F I 图6 P D 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等 定理的作用:用于证明三角形内的线段相等；用于实际中的几何作图问*1 1 i*i”=1 1*=”1 _*/1=*i*=F*=*=1*.”=1*=”_=*=1=*a=”J 1=1”=*=”=厶 m _-1=*._”I=1 1*=*=1*-*=_*=”1=-”=线段垂直平分线练习

4、题 1 如图 1，在 ABC 中，BC=8cm AB 的垂直平分线交 AB 于点 D,交边 AC 于点 E,求 AC 的长度 2 已知:1）如图，AB=AC=14cm,A 啲垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC于点 E，如果 EBC 的周长是 24cm,那么 BC=_ 2）如图，AB=AC=14cm,A 啲垂直平分线交 AB 于点 D,交 AC 于点 E,如果 BC=8cm 那么 EBC 的周长是 _ 3）如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，如果/A=28 度，那么/EBC 是 _ 3、已知：在厶 ABC 中，ON 是 AB 的垂直平分线,OA=OC

5、求证：点 0 在 BC 的垂直平分线3、下列命题中正确的命题有（）线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；经过线段中点的 直线只有一条；点 P 在线段 AB 外且 PA=PB 过 P 作直线 MN 则 MN 是线段 AB 的垂直平分线；过线段上任一点可 以作这条线段的中垂线.A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 4、已知如图，在 ABC 中，AB=AC 0 是厶 ABC 内一点，且 OB=OC 求证：A0 丄 BC.4、如图 8，已知 人。是厶 ABC 的 BC 边上的高，且/C=2/B，求证：BD=AO CD.证明:测一测：1、如图，AC=A

6、D BC=BD _则（）A.CD 垂直平分 AD B.AB 垂直平分 CD C.CD 平分/ACB D.以上结论均不对 2、如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 图1 5、如图，在 ABC 中，AB=AC/A=120,AB 的垂直平分线 MN 分别交 BC AB 于点 M N.求证：CM=2BM.6、如图，在 ABC 中，/ABC=120，点 D 是 AB 延长线和 AC 垂直平分线的交点。联接 CD 这时 BC 恰好 平分/DCA 求/A 的度数 ABCD 中,AB/CD AB 丄 BC，EF AD

7、E 为 BC 中点，连接 AE DE DE 平分/ADC 求证：AE 平分/BAD.3、如图，已知 ABC 中，AB=AC，D 是 BC 的中点，求证：D 至 U AB、AC 的距离相等 测一测 ABC 中,AB=AC AC 的中垂线交 AB 于 E，A EBC 的周长为 20cm,AB=2BC 则腰长为 2、如图所示，AB/CD,0 为/A、/C 的平分线的交点，OE!AC 于 E,且 OE=2 则 AB 与 CD 之间的距离等于 角平分线练习题 1、已知：女口图，点 B、C 在/A 的两边上 PB=PC PE 丄 AC,PF 丄 AB,垂足分别是 E、F。求证：PE=PF C 且 2、如图

8、 10，已知在四边形 A、三条边的垂直平分线的交点、三条高的交点 C、三条中线的交点、三条角平分线的交点 4、如图，/1=/2,PDL OA PEL OB 垂足分别为 D,E,下列结论错误的是（A PD=PE B、OD=OE C、/DPO=/EPO D PD=OD 5、如图，直线 l 1,l 2，13表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有（D、1 处 6、如图，ABC 中，/C=90，AC=BC，AD 平分/CAB 交 BC 于 D,DEL AB 于 E，且 AB=6 cm，则厶 DEB 的周长为（、4 cm B、6 cm 7、l3 D 不

9、能确定 C、10 cm 第 6 题 如图，MPL NP,MQ MNP 的角平分线，MT=MP 连接 TQ,则下列结论中不正确的是（A、TQ=PQ B、/MQT=Z MQP C、/QTN=90 D、/NQT=Z MQT 第 7 题 如图在 ABC 中，/ACB=90 A.2 cm B.3 cm 第 8 题,BE 平分/ABC C.4 cm 第 9 题 DEI AB 于 D,如果 AC=3 cm,那么 AE+DE 等于()D.5 cm 9、如图，已知 AB=AC AE=AF,BE 与 CF 交于点 D 在/BAC 的平分线上.其中正确的是（A.B.C.和 D 10、如图，已知 BE 平分/ABC,CE 平分/ACD,D，则对于下列结论：ABEA ACF厶 BDFA CDE）.且交 BE 于 E.12、如图，/B=/C=90，M 是 BC 的中点，DM 平分/ADC，求证：AM 平分/DAB.