一元二次方程【韦达定理、根与系数的关系练习+答案】.docx

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1、韦达定理及根及系数的关系练习题一、填空题1、关于的方程，当 时，方程有两个正数根；当 时，方程有一个正根，一个负根；当 时，方程有一个根为0。2、已知一元二次方程的两根为、，则 3、如果，是方程的两个根，那么 4、已知，是方程的两实数根，则的值为_5、设、是方程的两个根，则 6、若方程的两根为，则 7、已知、是关于的方程的两个实数根，且，则 8、已知关于的一元二次方程的两根为和，且，则 ， 。9、若方程的两根之比是2：3，则 10、如果关于的方程的两根差为2，那么 。11、已知方程两根的绝对值相等，则 。12、已知方程的两根互为相反数，则 。13、已知关于的一元二次方程两根互为倒数，则 。14

2、、已知关于的一元二次方程。若方程的两根互为倒数，则 ；若方程两根之和及两根积互为相反数，则 。15、一元二次方程的两根为 0 和 1，则 。16、已知方程，要使方程两根的平方和为，那么常数项应改为 。17、已知方程的一个根比另一个根小4，则 ； ； 。18、已知关于的方程的两根立方和为 0，则 19、已知关于的方程的两根为、，且，则 。20、若方程及有一个根相同，则 。21、一元二次方程的两根及的两根之间的关系是 。22、请写出一个二次项系数为1，两实根之和为3的一元二次方程： 23、已知一元二次方程的两根之和为 5，两根之积为 6，则这个方程为 。24、若为实数且，则以为根的一元二次方程为

3、。(其中二次项系数为1)25、求作一个方程，使它的两根分别是方程两根的二倍，则所求的方程为 。二、解答题 1、已知m，是一元二次方程的两个实数根，求的值。2、设、是方程的两个根，求 的值。3、已知、是方程的两个实数根，且（1）求、及的值； （2）求的值4、已知、是一元二次方程的两个实数根，且，求和的值。5、已知，且，求的值。6、设：，且，求的值。7、已知：是关于的二次方程：的两个不等实根。(1)若为正整数时，求此方程两个实根的平方和的值；(2)若时，求的值。8、已知关于的二次方程的一个根是，求另一个根及的值9、已知方程的一根是5，求方程的另一根及的值。10、已知是的一根，求另一根和的值。11、

4、(1)方程的一个根是，则另一个根是 。 (2)若关于的方程的两个根中只有一个根为0，那么应满足 。12、如果是方程的一个根，则 ，另一个根为 。13、已知关于的方程的一个根是2，求它的另一个根及的值。14、已知关于的方程的一个根是2，求它的另一个根及的值。15、在解方程时，小张看错了，解得方程的根为1及3；小王看错了，解得方程的根为4及2。这个方程的根应该是什么?16、已知一元二次方程。(1)为何值时，方程的一个根为零?(2)为何值时 ，方程的两个根互为相反数?(3)证明：不存在实数，使方程的两个相互为倒数。17、方程中的是什么数值时，方程的两个实数根满足：(1)一个根比另一个根大2；(2)一

5、个根是另一个根的3倍；(3)两根差的平方是17。18、已知一元二次方程，根据下列条件，分别求出的值：(1)两根互为倒数；(2)两根互为相反数；(3)有一根为零；(4)有一根为1；20、已知关于的一元二次方程的两根之差为11，求的值。21、已知关于的二次方程有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，求的值。22、已知方程有两个不相等的正实根，两根之差等于3，两根的平方和等于29，求的值。23、已知关于的方程的两根满足关系式，求的值及两个根。24、已知关于的方程的两个实数根的平方和等于6，求的值25、是关于的一元二次方程的两个实数根，且满足，求实数的值26、是关于的方程的两个实根，并且满足，求的值。

6、 27、已知：是关于的方程的两根，求的值。28、已知关于的方程，问：是否存在正实数,使方程的两个实数根的平方和等于56，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.29、关于的一元二次方程的两实根之和等于两个实根的倒数和，求的值。 30、已知关于的一元二次方程()的两根之比为，求证：。31、已知方程和有一个相同的根，求的值及这个相同的根。32、已知关于的一元二次方程的两根为，且两个关于的方程及有唯一的公共根，求的关系式。33、已知、是关于的方程的两根、是关于的方程的两根，求常数的值。 34、已知方程的两实根是和，方程的两实根是和， 求和的值。35、已知，为实数，且.求下列各式的值：(1)； (2)

7、。36、已知、是关于的方程的两个实数根；、是关于的方程的两个实数根，且,，求、的值。37、关于的方程有两个乘积为1的实根，有大于0且小于2的根，求的整数值。38、已知关于的方程两根相等，方程的一个根是另一个根的3倍。求证：方程一定有实数根。39、已知关于的一元二次方程(1)求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程两根为、，且满足，求的值40、关于的方程，其中、分别是一个等腰三角形的腰长和底边长。(1)求证：这个方程有两个不相等的实根；(2)若方程两实根之差的绝对值是8，等腰三角形的面积是12，求这个三角形的周长。41、已知关于的方程。(1)证明：不论取何值，这个方程总有两

8、个不相等的实数根；(2)为何值时，方程的两根之差的平方等于16?42、已知方程的两根之比为，方程的两根相等()。求证：对任意实数，方程恒有实数根。43、如果关于的实系数一元二次方程有两个实数根，那么的最小值是多少? 44、已知方程的两根为、，且，又知根的判别式，求的值。45、求一个一元二次方程，使它的两个根是和。46、已知方程，不解方程，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程的两个根的负倒数。47、已知方程的两个根分别为、，利用根及系数的关系，求一个一元二次方程 ，使它的两个根分别是： (1)、 (2)、48、已知两数之和为7，两数之积为12，求这两个数。49、已知两数的和等于6，这

9、两数的积是4，求这两数。50、一个直角三角形的两条直角边长的和为6cm，面积为，求这个直角三角形斜边的长 。51、已知关于的方程的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积。52、试确定使的根同时为整数的整数的值。53、已知一元二次方程，且是腰长为 7 的等腰三角形的底边长，求：当取何整数时，方程有两个整数根。54、已知关于的一元二次方程有两个实根和()，在数轴上，表示的点在表示的点的右边，且相距，求的值。答案一、填空题1、 62、 103、 104、 -15、 -2 ; -86、 37、 88、 09、 010、 -1 () ; () 11、 112、 -213、

10、 -4; 0; 014、 315、 3或016、 互为倒数二、解答题1、 原式2、3、（1） 解之 （2） ；原式4、， 解之或() 5、6、7、，且 （1）时，； 时，； （2），即 ，化简得，解得8、 （1）； （2）；9、 1 10、 所以原方程为，解得16、（1）方程的一个根为0，即，此时；（2）方程的两根互为相反数，即，此时；（3）方程的两根互为倒数，即，此时，原方程为，（）17、 （1） ； （2） ； （3）18、（1）方程的两根互为倒数，即，此时，（2）方程的两根互为相反数，即，此时；（3）方程的一个根为0，即，此时；（4）方程的一个根为1，此时；解得；19、20、 ，解之21

11、、，由题意可得 即，解得或（舍）22、不相等的两正根，则 ，由题意解得23、即当时，解得;当时，解得24、 ，化简得，所以或（舍）25、 ， ，解得或（舍）26、 ， 解得或（舍）27、 ，则有、 原式28、 ，化简得，或（舍）29、 即当时，解得（舍）;当时，解得（舍）;综上所述，30、 不妨设，则有， 得， 即31、 方法一：-得：，即 代入中得：，解得、当时，方程的解为; 方程的解为，符合题意；当时，方程的解为; 方程的解为，符合题意；综上所述，当时相同根为； 当时相同根为；方法二：-得：，即 代入中得：，化简为，解得 或 当时由，相同根为； 当时相同根为；32、-得：，由题意得，所以

12、代入中化简得：，即， 33、34、35、，两边同除得，所以是同一方程的两根。 （1）； （2）36、因为、，两式相加得：即，整理得，解得（舍）37、方程有两个乘积为1的实根，解得（舍）当时，方程化为即解得（不符合题意，舍去）所以，解得； 又是整数，38、方程有两根相等，方程中不妨设，则有， 得，即综上，；此时原方程化为，所以该方程一定有实数根。39、（1），所以该方程总有两个不相等的实数根； （2），解得40、（1），所以该方程总有两个不相等的实数根； （2）解得，所以三角形周长41、（1），所以该方程总有两个不相等的实数根； （2），解得42、方程不妨设，则有， 得，即方程中有两根相等，即综

13、上，；此时原方程化为，所以该方程一定有实数根。43、，即原式当时，原式最小，为236-541844、因为，即，代入原方程又因为，即综上，45、，所求方程为（答案不唯一）46、，则有，所求方程为（答案不唯一）47、（1）（答案不唯一）； （2）（答案不唯一）51、，化简得，或当时，原方程为; （舍）；当时，原方程为; ；所以52、 略53、因为，解得；又因为等腰三角形，解得；所以，当取整数时，；当时，原方程为，符合题意；当时，原方程为，不符合题意（舍）；当时，原方程为，不符合题意（舍）；综上所述，54、由题意可知， 又因为 化简得，或当时，原方程为; （舍）；当时，原方程为; ；综上所述，第 11 页