理论力学2 质点组力学.ppt

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1、理理论论力力学学主主讲讲人人：谢谢文文法法第二章第二章质点组力学质点组力学质质点点组组力力学学问问题题比比起起质质点点力力学学的的一一些些问问题题要要复复杂杂得得多多，它它不不仅仅要要了了解解质质点点组组整整体体的的运运动动特特征征，有有时时还还要要了了解解质质点点组组内内部部各各质质点点相相对对运运动动的的特特征征。解解决决质质点点组组问问题题所所依依赖赖的的基基本本理理论论仍仍然然是是动动力力学学三三大大定定理理及及与与之之相相对对应应的三个守恒定律。的三个守恒定律。2.1质点组质点组相互连系着的质点所组成的系统叫做质点组。相互连系着的质点所组成的系统叫做质点组。质质点点组组中中质质点点间

2、间相相互互作作用用的的力力，叫叫做做内内力力；质质点点组组以以外外的的物物体体对质点组内任一质点的作用力，叫做外力。对质点组内任一质点的作用力，叫做外力。质质点点组组中中诸诸内内力力的的总总和和必必等等于于零零。如如果果一一个个质质点点组组不不受受任任何何外外力作用，则叫做孤立系或闭合系。力作用，则叫做孤立系或闭合系。在质点组中恒存在一特殊点，它的运动很容易被确定。如果以在质点组中恒存在一特殊点，它的运动很容易被确定。如果以这个特殊点作为参照点，又常能使问题简化，我们把这个特殊这个特殊点作为参照点，又常能使问题简化，我们把这个特殊点叫做质点组的质量中心，简称质心。点叫做质点组的质量中心，简称质

3、心。假假定定由由n个个质质点点组组成成的的质质点点组组，各各质质点点的的质质量量是是m1，m2，mn，位位于于P1，P2Pn诸诸点点，这这些些点点对对于于某某一一指指定定的的参参照照点点O的位矢是的位矢是，则质心，则质心C对此同一点的位矢对此同一点的位矢满足以下关系：满足以下关系：在直角坐标系在直角坐标系质量连续分布的体系质量连续分布的体系:在直角坐标系在直角坐标系如果质心恰好在坐标原点，则质心位矢为如果质心恰好在坐标原点，则质心位矢为=0质心和重心的区别质心和重心的区别质心：质心：重心：重心：从定义上从定义上质点组的全部质量可认为集中在某一点上质点组的全部质量可认为集中在某一点上 ，这一点我

4、们就叫做质点组的质心。这一点我们就叫做质点组的质心。作用于质点系是重力的合力的作用点。作用于质点系是重力的合力的作用点。二者不是同一点。二者不是同一点。特殊地特殊地，在地球表面附近，认为重力加速度是在地球表面附近，认为重力加速度是常矢量时，物体的质心和重心相互重合。常矢量时，物体的质心和重心相互重合。例一：例一：p150-2.1求均匀扇形薄片的质心，此扇形的半径为求均匀扇形薄片的质心，此扇形的半径为 ，所对的圆心，所对的圆心角为角为 。并证半圆片的质心离圆心的距离为。并证半圆片的质心离圆心的距离为 。2.2动量定理与动量守恒定律动量定理与动量守恒定律2.2.1动量定理与质心运动定理动量定理与质

5、心运动定理假假定定由由n个个质质点点组组成成的的质质点点组组，各各质质点点的的质质量量是是m1，m2，mn，位位于于P1，P2Pn诸诸点点，这这些些点点对对于于某某一一指指定定的的参参照照点点O的的位位矢矢是是，作作用用在在质质点点Pi上上诸诸力力的的合合力力为为，其其中中内内力力以以表表示示，外外力力以以表表示示，由由牛牛顿顿第第二二定定律律，质质点点Pi的运动微分方程为：的运动微分方程为：由牛顿第三定律，内力总和为零。上式变为：由牛顿第三定律，内力总和为零。上式变为：上式左端上式左端所以有所以有即即质质点点组组的的动动量量对对时时间间的的微微商商，等等于于质质点点组组中中诸诸外外力力之之矢

6、矢量量和，这就是质点组的动量定理。和，这就是质点组的动量定理。对质点组中每一质点写出这样的微分方程，共得到对质点组中每一质点写出这样的微分方程，共得到n个微分个微分方程。将方程。将n个方程相加，得：个方程相加，得：由质心定义由质心定义可得：可得：上式两端对时间微分上式两端对时间微分于是有于是有上式表明：质点组质心的运动，就好像一个质点的运动一样，上式表明：质点组质心的运动，就好像一个质点的运动一样，此质点的质量等于整个质点组的质量，作用在此质点上的力，此质点的质量等于整个质点组的质量，作用在此质点上的力，等于作用在质点组上所有诸外力的矢量和，这就是质心运动定等于作用在质点组上所有诸外力的矢量和

7、，这就是质心运动定理。故质点组受已知外力作用时，每一质点究将如何运动虽然理。故质点组受已知外力作用时，每一质点究将如何运动虽然无法知道，但此质点组质心的运动却可完全确定。无法知道，但此质点组质心的运动却可完全确定。2.2.2动量守恒定律动量守恒定律如质点组不受外力或外力矢量和为零，则：如质点组不受外力或外力矢量和为零，则：因此因此恒矢量，即恒矢量，即恒矢量恒矢量外外力力为为零零时时，质质点点组组的的动动量量是是一一恒恒矢矢量量，它它的的质质心心作作惯惯性性运运动，这个关系，叫做质点组的动量守恒定律。动，这个关系，叫做质点组的动量守恒定律。例一：例一：p151-2.7质质量量为为，半半径径为为的

8、的光光滑滑半半球球，其其底底面面放放在在光光滑滑的的水水平平面面上上。有有一一质质量量为为的的质质点点沿沿此此半半球球面面滑滑下下。设设质质点点的的初初位位置置与与球球心心的的联联线线和和竖竖直直向向上上的的直直线线间间所所成成的的角角为为，并并且且起起始始时时此此系系统统是是静静止止的的，求求此此质质点点滑滑到到它它与与球球心心的的联联线线和和竖竖直直向向上直线间所成之角为上直线间所成之角为时时之值。之值。2.3动量矩定理与动量矩守恒定律动量矩定理与动量矩守恒定律2.3.1动量矩定理动量矩定理由质点组动力学方程出发由质点组动力学方程出发对等式两端左面矢乘对等式两端左面矢乘得到：得到：诸诸内内

9、力力成成对对出出现现，量量值值相相等等，方方向向相相反反，并并在在同同一一直直线线上上，所所以以对对定点定点O的力矩之和为零。的力矩之和为零。又又故上式可写成：故上式可写成：等式左端用等式左端用表示，等于诸质点的动量对定点表示，等于诸质点的动量对定点O动量矩的矢量和。动量矩的矢量和。等式右端用等式右端用表示，等于诸外力对同一定点表示，等于诸外力对同一定点O的力矩的矢量和。的力矩的矢量和。这样上式可简写为：这样上式可简写为：质质点点组组对对任任一一固固定定点点的的动动量量矩矩对对时时间间的的微微商商，等等于于诸诸外外力力对对同同一点的力矩的矢量和，这种关系叫做质点组的动量矩定理。一点的力矩的矢量

10、和，这种关系叫做质点组的动量矩定理。2.3.2动量矩守恒定律动量矩守恒定律如如果果所所有有作作用用在在质质点点组组上上的的外外力力对对某某一一固固定定点点O的的合合力力矩矩为零，由动量矩定理可得：为零，由动量矩定理可得：恒矢量恒矢量质质点点组组不不受受外外力力作作用用时时，或或虽虽受受外外力力作作用用，但但这这些些力力对对某某定定点点的的力力矩矩的的矢矢量量和和为为零零，则则对对此此定定点点而而言言，质质点点组组的的动动量矩为一恒矢量，这个关系称作质点组动量矩守恒定律。量矩为一恒矢量，这个关系称作质点组动量矩守恒定律。2.3.3对质心的动量矩定理对质心的动量矩定理假假定定由由n个个质质点点组组

11、成成的的质质点点组组，各各质质点点的的质质量量是是m1，m2，mn，位位于于P1，P2Pn诸诸点点，这这些些点点对对于于某某一一指指定定的的参参照照点点O的的位位矢矢是是，对对质质心心C的的位位矢矢为为，而而质质心心C对对O的的位位矢矢则则为为。选选取取一一原原点点在在质质心心上上随随质质心心平平动动的的动动坐坐标标系系。则则由由非非惯惯性性动动力力学学，质质点点组组中中任任一一点点的的动动力力学学方方程程为：为：等式右端最后一项为惯性力，应当作外力看待。等式右端最后一项为惯性力，应当作外力看待。将将等等式式两两端端左左面面矢矢乘乘，并并对对i求求和和，则则内内力力矩矩仍仍互互相相抵抵消消，可

12、得：可得：因因C为质心，故为质心，故，上式最终简化为：，上式最终简化为：将将用用表示，代表质点组对质心的动量矩。表示，代表质点组对质心的动量矩。将将用用表表示示，代代表表所所有有外外力力对对质质心心的的动动量量矩矩之之和。和。则上式简化为：则上式简化为：即即质质点点组组对对质质心心的的动动量量矩矩对对时时间间的的微微商商等等于于所所有有外外力力对对质质心心的力矩之和，这就是质点组对质心的动量矩定理。的力矩之和，这就是质点组对质心的动量矩定理。可可见见，在在质质心心坐坐标标系系中中，内内力力矩矩与与惯惯性性力力矩矩互互相相抵抵消消。跟跟对对固定点的动量矩定理形式相同，只多一撇号。固定点的动量矩定

13、理形式相同，只多一撇号。例一：例一：p1522.11在在光光滑滑的的水水平平桌桌面面上上，有有质质量量各各为为的的两两个个质质点点，用用一一不不可可伸伸长长的的绳绳紧紧直直相相连连，绳绳长长为为。设设其其中中一一质质点点受受到到一一个个与绳正交的冲量与绳正交的冲量的作用，求证此后两质点将各作圆滚线的作用，求证此后两质点将各作圆滚线运运动动，且且其其能能量量之之比比为为，式式中中为为冲冲力力作作用时间。用时间。2.4动能定理与机械能守恒定律动能定理与机械能守恒定律质质点点组组中中任任一一质质点点动动能能的的微微分分等等于于作作用用在在该该质质点点上上外外力及内力所作元功之和，力及内力所作元功之和

14、，即即对整个质点组而言：对整个质点组而言：即即质质点点组组动动能能的的微微分分，等等于于诸诸内内力力及及诸诸外外力力所所作作元元功功之和，这关系叫质点组的动能定理。之和，这关系叫质点组的动能定理。内力所作元功之和一般不能互相抵消。内力所作元功之和一般不能互相抵消。如果作用在质点组上的所有外力及内力都如果作用在质点组上的所有外力及内力都是保守力，则有：是保守力，则有：这就是质点组机械能守恒定律。这就是质点组机械能守恒定律。选选取取质质心心坐坐标标系系，质质点点组组中中某某一一质质点点对对定定点点O的的位位矢为矢为，而，而C对对O的位矢则为的位矢则为。则质点组中的动能为：则质点组中的动能为：质心坐

15、标系中质心坐标系中，所以上式变为：，所以上式变为：质点组的动能为质心的动能与各质点对质心质点组的动能为质心的动能与各质点对质心动能之和，这个关系叫柯尼希定理。动能之和，这个关系叫柯尼希定理。对质心坐标系来讲，任一质点的动力学方程为：对质心坐标系来讲，任一质点的动力学方程为：用用相相对对于于质质心心系系的的位位移移标标乘乘上上式式中中的的各各项项，并并对对i求和，得：求和，得：因为因为故得：故得：即质点组对质心动能得微分，等于质点组相对即质点组对质心动能得微分，等于质点组相对于质心系位移时内力和外力所作元功之和。于质心系位移时内力和外力所作元功之和。例一：例一：p153-2.13长长为为的的均均

16、匀匀细细链链条条伸伸直直地地平平放放在在水水平平光光滑滑桌桌面面上上，其其方方向向与与桌桌面面边边缘缘垂垂直直。此此时时链链条条的的一一半半从从桌桌上上下下垂垂。起起始始时时，整整个个链链条条是是静静止止的的，试试用用两两种种不不同同的的方方法法，求求此此链链条条末末端端滑滑到到桌桌子的边缘时，链条的速度子的边缘时，链条的速度。2.5两体问题两体问题关关于于行行星星运运动动得得开开普普勒勒定定律律的的得得出出是是将将太太阳阳当当作作静静止止的的，行行星星在在有有心心力力的的作作用用下下绕绕太太阳阳作作运运动动，但但实实际际上上太太阳阳并并不不是是静静止止的的，太太阳阳和和行行星星都都有有运运动

17、动，保保持持静静止止的的是是太太阳阳和和行行星星组组成成的质点组的质心。的质点组的质心。图中图中S代表太阳，代表太阳，P代表行星，代表行星，C代表质心。代表质心。O则太阳的动力学方程为则太阳的动力学方程为(1)行星对同一坐标系的动力学方程为：行星对同一坐标系的动力学方程为：(2)式中式中.用用，得：，得：（3）因为因为，所以上式变为：，所以上式变为：（4）消去消去M，则行星相对于太阳的运动方程为：则行星相对于太阳的运动方程为：（5）上式又可写为：上式又可写为：（6）与我们以前推出的公式与我们以前推出的公式（7）相比行星质量减小为相比行星质量减小为，称之为折合质量。此即，称之为折合质量。此即为对

18、开普勒定律的修正。为对开普勒定律的修正。2.6变质量物体的运动变质量物体的运动设设一一物物体体的的质质量量在在t时时为为m，速速度度是是，同同时时一一微微小小质质量量以以速速度度运运动动，并并在在时时间间内内与与m相相合合并并，合合并并以以后后的的共共同同速速度度是是，如如果果作作用用在在m及及上上的的合合外外力力为为，则则由由动量定理得：动量定理得：略略去去上上式式中中得得二二阶阶微微量量，除除以以，并并使使之之趋趋于于零零，得得变质量物体动力学方程为：变质量物体动力学方程为：例一：火箭。例一：火箭。火箭是用逐渐把燃烧过得废气向外喷出的方法来增加火箭火箭是用逐渐把燃烧过得废气向外喷出的方法来

19、增加火箭本身运动的速度，属于变质量物体运动的问题。本身运动的速度，属于变质量物体运动的问题。根据变质量物体动力学方程，可得：根据变质量物体动力学方程，可得：即即式式中中是是放放出出物物质质相相对对于于运运动动物物体体的的速速度度，是是每每秒秒中中放放出出的的质质量量，对对于于火火箭箭，可可以以把把放放出出物物质质的的相相对对速速度度看作是沿着运动物体轨道切线的负方向，因此看作是沿着运动物体轨道切线的负方向，因此式中式中是沿轨道切线的单位矢量。是沿轨道切线的单位矢量。现现考考虑虑一一种种简简单单的的情情况况，即即火火箭箭在在空空间间运运动动是是不不受受任任何何外外力力作作用用，并并且且放放出出物

20、物质质的的相相对对速速度度的的量量值值不不变变即即为为常常数数，且且与与运运动质点速度共线而反向，则火箭运动方程简化为：动质点速度共线而反向，则火箭运动方程简化为：或或设设质质量量随随时时间间的的变变化化关关系系可可写写成成，式式中中为为起起始始质量。质量。则火箭运动方程变为：则火箭运动方程变为：积分得：积分得：设初始条件为：设初始条件为：t=0时，时，则，则，因而，因而（1）这就是研究火箭运动问题得一个主要关系式。这就是研究火箭运动问题得一个主要关系式。对（对（1）式积分即可得到火箭运动的轨迹方程：）式积分即可得到火箭运动的轨迹方程：（2）函函数数代代表表质质量量的的变变化化规规律律，在在近

21、近代代实实验验工工作作和和理理论论研研究究中，中，常采用下列两种变化规律：常采用下列两种变化规律：（1）直直线线律律：，式式中中为为常常数数，将将表表达达式式代代入入(2)得：得：（2）指数律：指数律：，将表达式代入，将表达式代入(2)得：得：从从以以上上讨讨论论可可看看出出：火火箭箭速速度度和和排排气气性性能能有有密密切切关关系系，排排气气速速度度越越大大，喷喷出出得得质质量量越越多多，火火箭箭得得到到的的速速度度越越大大，另另外外，质质量量比比也也能能影影响响到到火火箭箭的的速速度度。所所以以，抗抗高高温温的难熔轻金属钛是制造火箭外壳比较理想的材料。的难熔轻金属钛是制造火箭外壳比较理想的材

22、料。实实际际情情况况下下，还还应应考考虑虑火火箭箭所所受受的的重重力力与与空空气气阻阻力力，以及火箭本身的大小，因此，问题远比这里讨论的复杂。以及火箭本身的大小，因此，问题远比这里讨论的复杂。例二：p153-2.18原始总质量为原始总质量为M0的火箭，发射时单位时间内消耗的燃料与的火箭，发射时单位时间内消耗的燃料与M0正比，即正比，即(为比例常数为比例常数)，并以相对速度，并以相对速度v喷射。已知火箭喷射。已知火箭本身的质量为本身的质量为M，求证只有当，求证只有当时，火箭才能上升；并证时，火箭才能上升；并证明能达到的最大速度为明能达到的最大速度为能达到的最大高度为能达到的最大高度为例三：p15

23、3-2.14一一条条柔柔软软、无无弹弹性性、质质量量均均匀匀的的绳绳索索，自自高高处处竖竖直直地地下下坠坠至至地地板板上上。如如绳绳的的长长度度等等于于，每每单单位位长长度度的的质质量量等等于于。求求当当绳绳索索剩剩在在空空中中的的长长度度等等于于时时，绳绳索索的的速速度度及及它它对对地地板板的的压力。设开始时绳索的速度为零，它的下端离地面高度为压力。设开始时绳索的速度为零，它的下端离地面高度为。例四：p153-2.16雨滴下落时，其质量的增加率与雨滴的表面积成雨滴下落时，其质量的增加率与雨滴的表面积成正比，求雨滴速度与时间的关系。正比，求雨滴速度与时间的关系。2.7维里定理维里定理设设所所研

24、研究究的的质质点点组组是是由由n个个质质点点组组成成，其其中中某某一质点的质量是一质点的质量是，位矢为，位矢为，所受的力为，所受的力为，则其基本运动方程为：，则其基本运动方程为：定义新的物理量定义新的物理量将将对时间取微商，得：对时间取微商，得：（1）上式右方第一项可改写为：上式右方第一项可改写为：右方第二项则为：右方第二项则为：因此因此将上式对将上式对t从从0到到积分再除以积分再除以，得：得：或或如如为为周周期期运运动动，且且为为一一周周期期，则则上上式式右右方方为为零零。即即使使运运动动不不是是周周期期性性的的，只只要要所所有有质质点点的的坐坐标标和和动动量量都都保保持持为为有有限限值值，

25、则则G有有一一最最高高限限，故故如如取取足足够够长长，则则上上式式右右端端可可变变为为任意小。在此两种情况下，我们有：任意小。在此两种情况下，我们有：克劳修斯把克劳修斯把叫做维里（也叫均功），故上式叫做维里（也叫均功），故上式叫做维里定理。由上式可看出，维里定理适用于大数目叫做维里定理。由上式可看出，维里定理适用于大数目质点组，具有统计性质，其具体表述为：在很长时间间质点组，具有统计性质，其具体表述为：在很长时间间隔内，质点组的动能对时间的平均值取负号等于作用在隔内，质点组的动能对时间的平均值取负号等于作用在此质点组上的力的维里。此质点组上的力的维里。第二章小结第二章小结1质心质心2动量定理、

26、质心运动定理与动量守恒定律动量定理、质心运动定理与动量守恒定律2.1质点组的动量定理质点组的动量定理质点组的动量对时间的微商，等于质点组中诸外力之矢量和。质点组的动量对时间的微商，等于质点组中诸外力之矢量和。2.2 2.2 质心运动定理质心运动定理质点组质心的运动，就好像一个质点的运动一样，此质点质点组质心的运动，就好像一个质点的运动一样，此质点的质量等于整个质点组的质量，作用在此质点上的力，等的质量等于整个质点组的质量，作用在此质点上的力，等于作用在质点组上所有诸外力的矢量和。于作用在质点组上所有诸外力的矢量和。2.3质点组的动量守恒定律质点组的动量守恒定律外力为零时，质点组的动量是一恒矢量

27、，它的质心作惯性运动。外力为零时，质点组的动量是一恒矢量，它的质心作惯性运动。恒矢量恒矢量3动量矩定理与动量矩守恒定律动量矩定理与动量矩守恒定律3.1质点组的动量矩定理质点组的动量矩定理质点组对任一固定点的动量矩对时间的微商，等于诸外力对质点组对任一固定点的动量矩对时间的微商，等于诸外力对同一点的力矩的矢量和。同一点的力矩的矢量和。3.2质点组动量矩守恒定律质点组动量矩守恒定律质点组不受外力作用时，或虽受外力作用，但这些力对某定质点组不受外力作用时，或虽受外力作用，但这些力对某定点的力矩的矢量和为零，则对此定点而言，质点组的动量矩点的力矩的矢量和为零，则对此定点而言，质点组的动量矩为一恒矢量。

28、为一恒矢量。恒矢量恒矢量3.3质点组对质心的动量矩定理质点组对质心的动量矩定理质点组对质心的动量矩对时间的微商等于所有外力对质心质点组对质心的动量矩对时间的微商等于所有外力对质心的力矩之和。的力矩之和。4动能定理与机械能守恒定律动能定理与机械能守恒定律4.1质点组的动能定理质点组的动能定理质点组动能的微分，等于诸内力及诸外力所作元功之和。质点组动能的微分，等于诸内力及诸外力所作元功之和。4.2 4.2 质点组机械能守恒定律质点组机械能守恒定律如果作用在质点组上的所有外力及内力都是保守力，则有：如果作用在质点组上的所有外力及内力都是保守力，则有：4.3 4.3 柯尼希定理柯尼希定理质点组的动能为质心的动能与各质点对质心动能之和。质点组的动能为质心的动能与各质点对质心动能之和。5两体问题两体问题相比行星质量减小为相比行星质量减小为，称之为折合质量。，称之为折合质量。6变质量物体的运动变质量物体的运动7维里定理维里定理