理论力学课件第二章质点组力学ppt.ppt

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1、经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用本章重点研究内容本章重点研究内容一质心及质心运动定理一质心及质心运动定理 二动量定理及其守恒律二动量定理及其守恒律三动量矩定理及其守恒律三动量矩定理及其守恒律四动能定理、机械能守恒律四动能定理、机械能守恒律五两体问题、变质量问题五两体问题、变质量问题经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.1 2.1 质点组的基本概念质点组的基本概念一、质点组的内力和外力一、质点组的内力和外

2、力 质点组质点组：由许多（有限或无限）相互联系由许多（有限或无限）相互联系着的质点所组成的系统。着的质点所组成的系统。内内 力：力：质点组内质点间的相互作用力。质点组内质点间的相互作用力。外外 力：力：质点组外的物体对质点组内质点质点组外的物体对质点组内质点的作用力。的作用力。合合 力：力：质点组所受所有的内力质点组所受所有的内力和外力之和。和外力之和。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用质点组中的诸内力的矢量和必等于零，即质点组中的诸内力的矢量和必等于零，即 质点组的所有内力对任一参考质点组的所有内

3、力对任一参考点的力矩的矢量和恒为零。点的力矩的矢量和恒为零。其中其中:是质点是质点pi相对相对p j 的位矢的位矢,与与 共线。共线。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用孤立系（闭合系）：孤立系（闭合系）：不受任何外力的质点组。不受任何外力的质点组。二、质心二、质心1.1.质心概念的必要性质心概念的必要性 逐个对质点加以描述和研究的方法，原则逐个对质点加以描述和研究的方法，原则上可用，但得出的是方程数目庞大的二阶微分上可用，但得出的是方程数目庞大的二阶微分方程组，难以解算。方程组，难以解算。内力一般是

4、未知量从而问题更复杂。内力一般是未知量从而问题更复杂。2.2.质点组研究方法质点组研究方法 从整体上去把握质点组，但不是利用统计从整体上去把握质点组，但不是利用统计方法，而是以点代体，即寻找一个与方法，而是以点代体，即寻找一个与“整体整体”等当的特殊点（或说代表点）等当的特殊点（或说代表点）质心来研究。质心来研究。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 简言之，质心就是质点组的质量等效中心。简言之，质心就是质点组的质量等效中心。假定有假定有n个质点，质量个质点，质量分别是分别是 ,位于位于 诸点，这些点

5、对诸点，这些点对参考点参考点O的位矢是的位矢是 则质心则质心C对此参考点对此参考点O的位的位矢矢 满足以下关系：满足以下关系：3.3.质点组质心的定义质点组质心的定义 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用直角坐标分量式直角坐标分量式:满足叠加原理满足叠加原理 若为质量连续分布的体系，则若为质量连续分布的体系，则 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用在直角坐标系中在直角坐标系中【说明】（【说明】（1 1）如果质

6、心恰好在坐标原点，则如果质心恰好在坐标原点，则质心位矢为质心位矢为 （2 2）当密度当密度 为常数时，质心和几何中心为常数时，质心和几何中心重合；当重力加速度重合；当重力加速度 为常矢量时，质心与重为常矢量时，质心与重心重合。心重合。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用重心：重心：质点系所受重力的合力的作用点。质点系所受重力的合力的作用点。（3 3）对于只有两个质点所组成的质点组而对于只有两个质点所组成的质点组而言，其质心位置在质点言，其质心位置在质点1 1与质点与质点2 2这两点连线这两点连线上，质

7、心与质点上，质心与质点1 1、2 2的距离反比于质点的距离反比于质点1 1、2 2的质量。的质量。例例1 1 一凹底的圆锥体，由高为一凹底的圆锥体，由高为h、底面半径为底面半径为R的匀质正圆锥体自底面挖去高为的匀质正圆锥体自底面挖去高为d（dh）的的共轴圆锥而成。求此凹底圆锥体的质心位置。共轴圆锥而成。求此凹底圆锥体的质心位置。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 解：解：具有线性关系的量都满足叠加原理。底具有线性关系的量都满足叠加原理。底面半径为面半径为r、高为高为h 的正圆锥体的体积是的正圆锥体的

8、体积是 若圆锥体是均匀的，则其质心位若圆锥体是均匀的，则其质心位于轴于轴z上，距离底面上，距离底面 h/4处，由叠处，由叠加原理，可得凹底圆锥体的质心离加原理，可得凹底圆锥体的质心离底面的距离为底面的距离为 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.2 2.2 动量定理与动量守恒律动量定理与动量守恒律一、动量定理一、动量定理 假设由假设由n个质点所组成的质点组，其中某一个质点所组成的质点组，其中某一个质点的质量为个质点的质量为mi，对某惯性参考系坐标原点，对某惯性参考系坐标原点O的位矢为的位矢为 ，作用

9、其上的诸力的合力为，作用其上的诸力的合力为质点质点pi的运动微分方程的运动微分方程（）经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用其中其中 为质点组的动量，等于质点组为质点组的动量，等于质点组诸质点动量的矢量和。诸质点动量的矢量和。或或而而 则则 质点组的动量定理：质点组的动量定理：质点组的动量对时间质点组的动量对时间的微商，等于作用在质点组上诸外力的矢量和。的微商，等于作用在质点组上诸外力的矢量和。或者说，质点组的动量的微分，等于作用在质或者说，质点组的动量的微分，等于作用在质点组上诸外力的元冲量的矢量和。

10、点组上诸外力的元冲量的矢量和。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用直角坐标分量式：直角坐标分量式：二、质心运动定理二、质心运动定理（质心的定义式）（质心的定义式）式中式中 为质点组的总质量。为质点组的总质量。两边对时间求导数，得两边对时间求导数，得是质点组质心的速度。是质点组质心的速度。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用或或 质点组的质量与其质心加速度的乘积等于质点组的质量与其质心加速度的乘积等于作用在质点

11、组上所有诸外力的矢量和，这就是作用在质点组上所有诸外力的矢量和，这就是质点组的质心运动定理。质点组的质心运动定理。直角坐标系的分量形式：直角坐标系的分量形式：经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 质心运动定理的物理意义：质心运动定理的物理意义：质心的运动，就犹如这样的一个质点质心的运动，就犹如这样的一个质点的运动，这个质点的质量等于整个质点组的运动，这个质点的质量等于整个质点组的质量，作用在此质点上的力等于作用在的质量，作用在此质点上的力等于作用在质点组上所有外力的矢量和。质点组上所有外力的矢量和。质

12、点组的质量中心是一个特殊的几何点，质点组的质量中心是一个特殊的几何点，质心质点的运动，由牛顿第二定律确定，代质心质点的运动，由牛顿第二定律确定，代表了物体整体的平动运动规律。表了物体整体的平动运动规律。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用三、动量守恒定理三、动量守恒定理 若质心组不受外力或所受外力的矢量和若质心组不受外力或所受外力的矢量和为零，即为零，即则则 或若作用在质点组上的诸外力在某一固定或若作用在质点组上的诸外力在某一固定轴（设为轴（设为x x轴）上的投影之和为零轴）上的投影之和为零,即即则则

13、经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 例例2 2 一门大炮停在铁轨上，炮弹质量为一门大炮停在铁轨上，炮弹质量为m，炮身和跑车质量和等于炮身和跑车质量和等于M,跑车可以自由地在铁跑车可以自由地在铁轨上反冲。如果炮身与地面成一角度轨上反冲。如果炮身与地面成一角度,炮弹对炮弹对炮身的相对速度为炮身的相对速度为V,试求炮弹离炮身时对地面的试求炮弹离炮身时对地面的速度速度及炮车反冲的速度及炮车反冲的速度u u。解：解：本题系统沿水平方向（设本题系统沿水平方向（设为为方向）无外力作用，因火药方向）无外力作用，因火

14、药爆炸力是内力，故沿爆炸力是内力，故沿方向系统方向系统动量守恒，即动量守恒，即 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用由相对运动的速度公式可得由相对运动的速度公式可得 故由于炮车反冲故由于炮车反冲 而而 。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 例例3 3 一个重量为一个重量为P的人的人,手拿一个重为手拿一个重为Q的物的物体体,以与水平线成以与水平线成角的速度角的速度 向前跳。当他跳向前跳。当他跳到最高时，将物体

15、以相对于他自己的速度到最高时，将物体以相对于他自己的速度 水平向后抛出。问由于物体的后抛使人的跳远水平向后抛出。问由于物体的后抛使人的跳远的距离增加了多少？的距离增加了多少？解：解：忽略空气阻力，则人和重物所组成的质忽略空气阻力，则人和重物所组成的质点组在水平方向的动量守恒。点组在水平方向的动量守恒。设设 是人在抛掷重物过程中所增加的水平是人在抛掷重物过程中所增加的水平速度，人对惯性参考系（地面）的水平速度为速度，人对惯性参考系（地面）的水平速度为 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用物体对地面的水平

16、速度为物体对地面的水平速度为设从最高点到落地的时间为设从最高点到落地的时间为t，则，则 故，多跳的一段距离为故，多跳的一段距离为经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.3 2.3 动量矩定理与动量矩守恒定律动量矩定理与动量矩守恒定律一、对固定点的动量矩定理一、对固定点的动量矩定理 由由n个质点组成的质点组，每个质点的动力个质点组成的质点组，每个质点的动力学方程为学方程为 从左面矢乘从左面矢乘 ，并对，并对i求和（求和（是质点组是质点组中任一质点中任一质点Pi对惯性系中某固定点的位矢）。对惯性系中某固定

17、点的位矢）。（）经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用或或 质点组的动量矩定理质点组的动量矩定理:质点组对任一固定点质点组对任一固定点的动量矩对时间的微商，等于作用在质点组上的动量矩对时间的微商，等于作用在质点组上诸外力对同一点的力矩的矢量和或质点组的动诸外力对同一点的力矩的矢量和或质点组的动量矩的微分形式等于作用在质点组上诸外力的量矩的微分形式等于作用在质点组上诸外力的冲量矩的矢量和。冲量矩的矢量和。（微分形式）（微分形式）经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，

18、增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用直角坐标系的分量形式：直角坐标系的分量形式：亦称为亦称为对固定轴的动量矩定理。对固定轴的动量矩定理。即即经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用直角坐标系的分量形式直角坐标系的分量形式动量矩定理的积分形式：动量矩定理的积分形式：经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用二、动量矩守恒定律二、动量矩守恒定律 1.1.如果作用在质点组上的诸外力对某一固如果作用在质点组上的

19、诸外力对某一固定点的合力矩为零定点的合力矩为零,则则 2.2.如果，但对通过原点的某一固如果，但对通过原点的某一固定轴定轴(设为设为轴轴)上的合力矩为零上的合力矩为零,则该方向动则该方向动量矩守恒。量矩守恒。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用三、对质心的动量矩定理三、对质心的动量矩定理1.1.质心坐标系质心坐标系 原点在质心，相对定系原点在质心，相对定系o-xyz（惯性系惯性系）作平动的）作平动的动坐标系动坐标系c-xyz（一般为（一般为非惯性系非惯性系）。）。2.2.对质心的动量矩定理对质心的动量

20、矩定理经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用用用 从左面矢乘并求和从左面矢乘并求和,得得而而 又因为质心位于动坐标系原点，则又因为质心位于动坐标系原点，则经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 在对质心的相对运动中，质点系对质心的在对质心的相对运动中，质点系对质心的动量矩的时间变化率，等于各外力对质心力矩动量矩的时间变化率，等于各外力对质心力矩的矢量和，这就是质心系对其质心的动量矩定的矢量和，这就是质心系对其质心

21、的动量矩定理。理。从而从而 或或 表明对质心的惯性力矩的总和为零。表明对质心的惯性力矩的总和为零。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用3.3.对质心的动量矩守恒定律对质心的动量矩守恒定律 例例4 4 质量为质量为m的质点，沿倾角为的质点，沿倾角为 的光滑直的光滑直角劈尖滑下，劈尖的质量为角劈尖滑下，劈尖的质量为M，可在光滑水平，可在光滑水平面上自由滑动。试求面上自由滑动。试求:(1):(1)质点水平方向的加速质点水平方向的加速度度 ；(2)(2)劈的加速度劈的加速度 ；(3)(3)劈对质点的反作劈对质

22、点的反作用力用力 ；(4)(4)水平面对劈的反作用力水平面对劈的反作用力 。解：解：系统在水平方向上系统在水平方向上动量守恒动量守恒经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 令令 为物体沿斜面下为物体沿斜面下滑的速度（相对），则滑的速度（相对），则联立求解得联立求解得在非惯性系中，对在非惯性系中，对m有有经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用再由再由对劈尖，由对劈尖，由经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消

23、费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 例例5 5 在具有水平轴的滑轮上悬有一根绳子，绳在具有水平轴的滑轮上悬有一根绳子，绳子的两端距通过该轴水平面的距离为子的两端距通过该轴水平面的距离为 与与 。两个质量分别为两个质量分别为 和和 的人抓着绳子的两端，的人抓着绳子的两端，他们同时开始以匀加速度向上爬并同时达到滑他们同时开始以匀加速度向上爬并同时达到滑轮轴所在的水平面。假定滑轮的质量可忽略，轮轴所在的水平面。假定滑轮的质量可忽略，且所有的阻力也都忽略不计，问需多少时间，且所有的阻力也都忽略不计，问需多少时间，两人可以同时达到？两人可以同时达到？解：

24、解：如教材图如教材图2.3.22.3.2所示，根据质点组对固定所示，根据质点组对固定轴的动量矩定理，得轴的动量矩定理，得经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用而而故故经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用一、质点组的动能定理一、质点组的动能定理2.4 2.4 动能定理与机械能守恒定律动能定理与机械能守恒定律对于质点组中的任一质点对于质点组中的任一质点 对对 求和，就得求和，就得质点组的动能定理：质点组的动能定理：

25、质点组的动能定理：质点组动能的微分，质点组的动能定理：质点组动能的微分，等于诸外力及诸内力所做元功之和。等于诸外力及诸内力所做元功之和。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 注注 意：意：（1 1）在动量定理和动量矩定理中，内力均）在动量定理和动量矩定理中，内力均因成对出现、等大相反而消去；因成对出现、等大相反而消去；（2 2）在质点组动能定理中，内力所作元功）在质点组动能定理中，内力所作元功之和一般不能互相抵消；之和一般不能互相抵消；（3 3）对特殊的质点组）对特殊的质点组刚体来说，内力不刚体来说，

26、内力不作功，即内力所作元功之和为零。作功，即内力所作元功之和为零。一对内力的功：一对内力的功：经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 对于一般的质点组来说，由于其质点间对于一般的质点组来说，由于其质点间的相对位置可以改变，所以内力的功之和不的相对位置可以改变，所以内力的功之和不等于零。等于零。故只有当故只有当 时，才有时，才有 。而。而 意味着质点间距离不能改变，即为刚体。意味着质点间距离不能改变，即为刚体。二、质点组的机械能守恒定律二、质点组的机械能守恒定律 只有作用在质点组上的所有外力及内力都只有作

27、用在质点组上的所有外力及内力都是保守力（或其中只有保守力作功）时，质点是保守力（或其中只有保守力作功）时，质点组的机械能才守恒。组的机械能才守恒。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用或或其中其中 为总能量，为总能量，为质点组动能，为质点组动能，为质点为质点组势能（它包括内力的势能和外力的势能）。组势能（它包括内力的势能和外力的势能）。质点组的动能：质点组的动能：三、柯尼希定理三、柯尼希定理经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款

28、或接受服务的费用 柯尼希定理：柯尼希定理：质点组的动能为质心的动能质点组的动能为质心的动能与各质点相对质心运动动能之和。与各质点相对质心运动动能之和。四、对质心的动能定理四、对质心的动能定理在在c-xyz中，对质点中，对质点mi，有，有经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用用用 点积，得点积，得而而从而得从而得又又故故经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 质点组对质心的动能定理：质点组对质心的动能定理：质点组对

29、质心质点组对质心的动能的微分，等于质点组相对于质心系位的动能的微分，等于质点组相对于质心系位移时内力及外力所作元功之和。移时内力及外力所作元功之和。说明：说明：质心虽是动点，但惯性力所作元功质心虽是动点，但惯性力所作元功之和为零，因为惯性力的矢量和通过之和为零，因为惯性力的矢量和通过c c点，位点，位移为零。移为零。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 例例6 6 质量为质量为 及及 的两自由质点互相以力的两自由质点互相以力吸引，引力与其质量成正比，与距离平方成反吸引，引力与其质量成正比，与距离平方成

30、反比，比例常数为比，比例常数为 。开始时，两质点都处于静。开始时，两质点都处于静止状态，其间距离为止状态，其间距离为 。试求两质点的距离为。试求两质点的距离为 时两质点的速度。时两质点的速度。解：解：由动量守恒得由动量守恒得由机械能守恒得由机械能守恒得经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用联立求解，得联立求解，得 例例7 7 一光滑小球与另一相同的静止小球相碰一光滑小球与另一相同的静止小球相碰撞。在碰撞前，第一小球运动的方向与碰撞时撞。在碰撞前，第一小球运动的方向与碰撞时两球的联心线成两球的联心线成 角

31、。求碰撞后第一小球偏过角。求碰撞后第一小球偏过的角度的角度 以及在各种以及在各种 值值下下 角的最大值。设恢复角的最大值。设恢复系数系数 为已知。为已知。解：解：碰撞过程中无外力碰撞过程中无外力做功，系统动量守恒做功，系统动量守恒 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用x方向方向 y方向方向 又因为恢复系数又因为恢复系数（4）（1）（2）（3）（1）-（3）得得经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用将将（4）代入

32、代入（2）得得 令令经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用又因为又因为 故故经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.5 2.5 两体问题两体问题一、两体问题的含义一、两体问题的含义 仅受相互作用的内力仅受相互作用的内力、不受任何其他外力、不受任何其他外力作用的两质点（物体）组成的系统，称为作用的两质点（物体）组成的系统，称为两体两体问题问题。二、两体问题动力学方程二、两体问题动力学方程及守恒量及守恒量 讨论由太

33、阳与一行星讨论由太阳与一行星组成的组成的两体问题两体问题。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用两式相加，得两式相加，得此即本问题中系统此即本问题中系统质心的动力学方程质心的动力学方程。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用【结论【结论1】P，S系统的质心将按惯性运动。系统的质心将按惯性运动。因系统只含两个质点，所以质心因系统只含两个质点，所以质心C在在P与与S的连线上。的连线上。令令则行星对则行星对C的动力学方

34、程为的动力学方程为又因又因则则经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用此此即即行星相对于质心的动力学方程行星相对于质心的动力学方程。力仍与距离的平方成反比，故行星绕力仍与距离的平方成反比，故行星绕 (S,P)系统的质心作圆锥曲线运动。同理可得太系统的质心作圆锥曲线运动。同理可得太阳的情形也是如此。阳的情形也是如此。【结论【结论2】太阳和行星都绕它们的质心作圆锥曲太阳和行星都绕它们的质心作圆锥曲线运动。线运动。行星相对于太阳运动的动力学方程行星相对于太阳运动的动力学方程太阳对惯性系太阳对惯性系O-xyz的绝

35、对运动动力学方程的绝对运动动力学方程经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用行星对惯性系行星对惯性系O-xyz的绝对运动动力学方程的绝对运动动力学方程 将前式乘以将前式乘以m、后式乘以、后式乘以M，然后后者减，然后后者减去前者，得去前者，得因因经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 消去消去M，得，得行星相对于太阳运动的动力学行星相对于太阳运动的动力学方程方程（形式（形式1 1）:式中式中 【据此据此】可认为太阳不

36、动，但它的质量却可认为太阳不动，但它的质量却不再为不再为M，而增大为，而增大为M+m。且此时的常数。且此时的常数对各行星均不相同。对各行星均不相同。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用行星相对于太阳运动的动力学方程行星相对于太阳运动的动力学方程（形式（形式2 2）。）。【据此据此】可认为太阳不动，它的质量仍为可认为太阳不动，它的质量仍为M，但行星质量却减小为但行星质量却减小为或或称为称为折合质量。折合质量。此时的常数此时的常数对各行星均相同。对各行星均相同。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照

37、消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 以上解决问题的方法就是变以上解决问题的方法就是变多体问题多体问题为为单体问题单体问题的处理方法。据此结果，可对开普的处理方法。据此结果，可对开普勒行星运动第三定律进行修正。勒行星运动第三定律进行修正。以上所讨论问题并未考虑行星间的相互吸以上所讨论问题并未考虑行星间的相互吸引作用，因此属于两体问题。引作用，因此属于两体问题。若需考虑任一行星还要受到其他行星的吸若需考虑任一行星还要受到其他行星的吸引力作用，则属于多体问题。多体问题则一般引力作用，则属于多体问题。多体问题则一般只能用微扰的方法来近似求解。只能用微

38、扰的方法来近似求解。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.6 2.6 质心坐标系与实验室坐标系质心坐标系与实验室坐标系 两体问题可以化为单体问题（即化为认为两体问题可以化为单体问题（即化为认为其中一个不动，而把另一个的质量改为折合质其中一个不动，而把另一个的质量改为折合质量）。但是并非二体问题的任何方面的结果都量）。但是并非二体问题的任何方面的结果都能简单地用折合质量代换实际质量来求得。能简单地用折合质量代换实际质量来求得。如散射角的求解。由于散射核的反冲，如散射角的求解。由于散射核的反冲，致使由实

39、验室测得的散射角与等效单体问题致使由实验室测得的散射角与等效单体问题的散射角不同，而后者又不能由实验直接测的散射角不同，而后者又不能由实验直接测得，因此在计算散射截面时，便遇到困难。得，因此在计算散射截面时，便遇到困难。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 在单体问题下散射角如图中的在单体问题下散射角如图中的 ，即为被，即为被散射体在散射前后之间所偏转的角度；而在两散射体在散射前后之间所偏转的角度；而在两体问题下散射角如图中的体问题下散射角如图中的 ，即为两体间相对，即为两体间相对位矢位矢 在散射前后

40、之间所偏转的角度。在散射前后之间所偏转的角度。可在实验室测得，而可在实验室测得，而 则要由等效单体问题计算出来。则要由等效单体问题计算出来。利用利用实验室坐标系实验室坐标系（即立（即立足于实验室中观察散射过程的足于实验室中观察散射过程的静止坐标系）和静止坐标系）和质心坐标系质心坐标系（即立足于质心上（即立足于质心上观察散射过程的动坐标系）来阐明二者关系。观察散射过程的动坐标系）来阐明二者关系。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用一、两种坐标系中看到的散射现象一、两种坐标系中看到的散射现象 设质量为设质

41、量为 的质点的质点1 1以速度以速度 被另一质量被另一质量为为 的静止质点的静止质点2 2散射。此两质点的质心在散散射。此两质点的质心在散射前后都将沿射前后都将沿 方向以方向以 速度运动。在散射速度运动。在散射前，有前，有 因因所以所以经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 此时质点此时质点1 1相对于质心的速度相对于质心的速度 的量值为的量值为 而质点而质点2 2相对于质心的速度相对于质心的速度 的量值则为的量值则为 故故 从质心坐标系看，由动量守恒律，两质从质心坐标系看，由动量守恒律，两质点散射后必

42、将沿相反方向运动，而质点点散射后必将沿相反方向运动，而质点1 1散射散射后的速度后的速度 与散射前的速度与散射前的速度 之间的夹角就是之间的夹角就是 ，如图（，如图（a a）所示。）所示。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用图图a a质心坐标系质心坐标系C图图b b实验室坐标系实验室坐标系 同一现象同一现象,从实验室坐标系看从实验室坐标系看,就完全不就完全不同。图同。图(b)(b)画出了从实验室坐标系看到的现象画出了从实验室坐标系看到的现象,这时质点这时质点1 1散射后的散射后的速度是速度是 ,它与它

43、与 之之间的夹角是间的夹角是 。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用,二、两坐标系中散射角的相互关系二、两坐标系中散射角的相互关系 由相对运动关系，有由相对运动关系，有 图图 2.6.3 2.6.3OyxC图图 2.6.4 2.6.4由质心定义知由质心定义知 折合质量折合质量 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用,散射后，当两质点远离到无引力场作用散射后，当两质点远离到无引力场作用时，因系统是保守的，这时二质

44、点相对速度时，因系统是保守的，这时二质点相对速度的量值的量值 必与其起始时二粒子的相对速率必与其起始时二粒子的相对速率 相等，则相等，则 又质心速度又质心速度 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 （2 2）等质量粒子散射（如质子）等质量粒子散射（如质子中子散中子散射）时射）时特例：特例：（1 1）重核散射（如）重核散射（如 粒子散射）时粒子散射）时经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.7 2.7 变质量物

45、体的运动变质量物体的运动 质量随时间连续地变化质量随时间连续地变化,即即m=m(t)的物体的物体的运动称为的运动称为变质量问题变质量问题。一、变质量物体的运动方程一、变质量物体的运动方程 设设t时刻，在惯性系中，物体的质量为时刻，在惯性系中，物体的质量为m，速度为速度为 ；另有一微小质量；另有一微小质量 ，速度为，速度为 ；在时间间隔在时间间隔 内内m与与 相合并，合并后的共相合并，合并后的共同速度为同速度为 ；此间，作用在；此间，作用在m及及 上的上的合外力为合外力为 。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服

46、务的费用由质点组的动量定理（广义的牛顿定律）由质点组的动量定理（广义的牛顿定律）得得此即此即变质量物体运动的基本方程变质量物体运动的基本方程。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用【说明】（【说明】（1）代表微小质量代表微小质量 m与与m合并前合并前或从或从m分离后一刹那的速度；分离后一刹那的速度；（2 2）是主体质量是主体质量m随时间的变化率，随时间的变化率，表示并入质量；表示并入质量；表示分出质量。表示分出质量。特例：特例：经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失

47、，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 例例8 8 雨点开始自由落下时的质量为雨点开始自由落下时的质量为M；在下；在下落过程中，单位时间内凝结在它上面的水汽落过程中，单位时间内凝结在它上面的水汽质量为质量为 。略去空气阻力，试求雨点在。略去空气阻力，试求雨点在t秒后秒后所下落的距离。所下落的距离。解：解：因因则则积分，得积分，得因因故故又又经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用积分，得积分，得又因又因故故经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔

48、偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 例例9 9 机枪质量为机枪质量为M，放在水平地面上，装有，放在水平地面上，装有质量为质量为 的子弹。机枪在单位时间内射出的质的子弹。机枪在单位时间内射出的质量为量为m，其相对地面的速度则为，其相对地面的速度则为 ，如机枪与，如机枪与地面的摩擦系数为地面的摩擦系数为 ，试证当，试证当 全部射出后，全部射出后，机枪后退的速度为机枪后退的速度为 解：解：根据变质量问题根据变质量问题的动力学方程的动力学方程 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 以机枪后退方向为以机枪后退方向为x轴的正方向，建立图示轴的正方向，建立图示坐标系。坐标系。竖直方向上支持力与重力是竖直方向上支持力与重力是一对平衡力。水平方向上所受合一对平衡力。水平方向上所受合外力外力F即为摩擦力即为摩擦力 质量随时间变化的函数为质量随时间变化的函数为 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用则则两边积分得两边积分得代入代入 ，得，得