2.2.1直接证明与间接证明2.ppt

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1、2.2.12.2.1直接证明与间接证明直接证明与间接证明综合法与分析法综合法与分析法(第二课时第二课时)一般地，利用已知条件和某些已经学过一般地，利用已知条件和某些已经学过的定义、定理、公理等，经过一系列的推理、的定义、定理、公理等，经过一系列的推理、论证，最后推导出所要证明的结论成立，这论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做种证明方法叫做综合法综合法,也叫也叫顺推法顺推法。特点:“由因导果”一、复习：一、复习：1.什么是综合法？什么是综合法？综合法综合法说明：说明：3.条条件件a,b,c是是不不全全相相等等的的正正数数，所所以以最最后后所所证证不不等等式式取不到等号取不到等号.

2、1.综合法的思维综合法的思维特点特点是：由已知推结论是：由已知推结论.2.用综合法证明不等式中用综合法证明不等式中常用的重要不等式常用的重要不等式为：为：3.当当a R时，时，且且a20 当当a,b R时，时，a2+b2 2ab4.5.当当a,b同号时，同号时，;当当a,b异号时异号时6.一般地，从要一般地，从要证明的结论证明的结论出发，逐步寻求出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的推证过程中，使每一步结论成立的充分条件充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明一个明显成立显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理的条件（已知条件、定理、定义、公理

3、等）为止，这种证明的方法叫做等）为止，这种证明的方法叫做分析法（分析法（也叫也叫逆推证法逆推证法或或执果索因法执果索因法）特点：特点：执果索因执果索因.用框图表示分析法的思考过程、特点用框图表示分析法的思考过程、特点.得到一个明显得到一个明显成立的结论成立的结论2.什么叫分析什么叫分析法法？1.用分析法证明不等式的逻辑关用分析法证明不等式的逻辑关系是系是:2.结论（步步寻求不等式成立的充分条件）结论（步步寻求不等式成立的充分条件）条件；条件；3.分析法是分析法是“执果索因执果索因”的过程，它与综合法的过程，它与综合法“由因导果由因导果”恰恰恰恰相反；相反；4.用分析法证明时要注意用分析法证明时

4、要注意书写格式书写格式，用分析法论证，用分析法论证“若若A则则B”这个命题的这个命题的书写模式书写模式是：是：要证要证命题命题B成立，成立，只需证只需证命题命题B1成立，从而有成立，从而有只需证只需证命题命题B2成立，从而又有成立，从而又有这只需证明这只需证明A成立，成立，今已知命题今已知命题A成立，故命题成立，故命题B必成立必成立分析法分析法说明：说明：例例1.已知已知a,b,c是互不相等的正数，且是互不相等的正数，且 abc=1,求证求证:证明：证明：a,b,c是互不相等的正数，且是互不相等的正数，且abc=1,同理得：同理得：三式相加即得：三式相加即得：例例2.证明：证明：(a,b,cR

5、+)证法一：证法一：a2b2+b2c22ab2c，b2c2+c2a22abc2，a2b2+c2a2 2a2bc上述三个不等式相加得：上述三个不等式相加得：a2b2+b2c2+c2a2 abc(a+b+c)又又a,b,c R+，abc0由由不不等等式式性性质质，不等式的两边同除以不等式的两边同除以a+b+c得：得：证法二证法二:a,b,c R+，上述三式相加得证上述三式相加得证例例3 3:如图如图,SA,SA平面平面ABC,ABBC,ABC,ABBC,过过A A作作SBSB的垂线的垂线,垂足为垂足为E,E,过过E E作作SCSC的垂线的垂线,垂足为垂足为F,F,求证：求证：AFSCAFSCF F

6、E ES SC CB BA A证明证明:要证要证AFSCAFSC只需证只需证:SCSC平面平面AEFAEF只需证只需证:AESCAESC只需证只需证:AEAE平面平面SBCSBC只需证只需证:AEBCAEBC只需证只需证:BCBC平面平面SABSAB只需证只需证:BCSABCSA只需证只需证:SASA平面平面ABCABC因为因为:SA:SA平面平面ABCABC成立成立所以所以AFSCAFSC成立成立例例4.已知已知都是正数，并且求证证明：证明：都是正数，本题的结论反映了分式的一个性质：若本题的结论反映了分式的一个性质：若都是正数，都是正数，当当时，时，当当时，时，为了要证明只需证明因此，只需证

7、明例例5：已知已知a1，求证：，求证：证明：证明：a1 a+10 a-10即证即证 -10 （成立）只需证只需证要证要证即证即证即证即证所以原不等式所以原不等式 成立成立 例例6.已知已知ab0ab0,求证求证证明：证明：由于由于ab0ab0,，要证原不等式成立，要证原不等式成立只需证只需证即证即证即证即证即证即证由已知由已知ab0ab0,，可知上式显然成立，可知上式显然成立所以原命题成立所以原命题成立用用P P表示已知条件表示已知条件,定义定义,定理定理,公理等公理等,用用Q Q表示表示要证的结论要证的结论,则上述过程可用框图表示为则上述过程可用框图表示为:P P1P1 P2Pn-1 PnQ

8、m-1 QmQ1 QQ2 Q1点评点评：在解决问题时，我们经常把在解决问题时，我们经常把综合法和分析法综合法和分析法结合起来使用结合起来使用：根据条件结构特点去转化结论，得到根据条件结构特点去转化结论，得到中间结论中间结论Q Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论到中间结论P P ，若若P P可以推出可以推出Q Q，就可以证明结论成立，就可以证明结论成立mn练习证明证明:练习证明证明:练习3.证明一证明一:证明二证明二:1.综合法综合法证题方法：证题方法：由已知推结论由已知推结论.这里已知可以这里已知可以是已知的重要不等式，也可以是已知的不等式性质是已

9、知的重要不等式，也可以是已知的不等式性质.2.用用综合法综合法证题过程中要适当将原不等式证题过程中要适当将原不等式变形变形，使其转化为易证的不等式使其转化为易证的不等式.3.运用不等式的性质和已证过的不等式时，要注意他运用不等式的性质和已证过的不等式时，要注意他们各自成立的条件，这样才能使推理正确，结论无误们各自成立的条件，这样才能使推理正确，结论无误.小小 结结小小 结结 4 4.在数学证明中，在数学证明中，综合法综合法和和分析法分析法是两是两种最常用的数学方法，若从已知入手能找种最常用的数学方法，若从已知入手能找到证明的途径，则用综合法，否则用分析到证明的途径，则用综合法，否则用分析法法.5 5.综合法综合法的每步推理都是寻找必要条件，的每步推理都是寻找必要条件，分析法分析法的每步推理都是寻找充分条件，在解的每步推理都是寻找充分条件，在解题表述中要注意语言的规范性和逻辑性题表述中要注意语言的规范性和逻辑性.