初高中数学衔接教材11讲word版配答案.pdf

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1、华师大一附中初高中数学衔接教材 目 录 引 入 乘法公式 第一讲 因式分解 1.1 提取公因式 1.2.公式法（平方差，完全平方，立方和，立方差）1.3 分组分解法 1.4 十字相乘法（重、难点）1.5 关于 x 的二次三项式 a x2+bx+c(a0)的因式分解 第二讲 函数与方程 2.1 一元二次方程 2.1.1 根的判别式 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）22 二次函数 2.2.1 二次函数 yax2bxc 的图象和性质 2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用 第三讲 三角形的“四心”乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 2

2、2()()ab abab；（2）完全平方公式 222()2abaabb 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()ab aabbab；（2）立方差公式 2233()()ab aabbab；（3）三数和平方公式 2222()2()abcabcabbcac；（4）两数和立方公式 33223()33abaa babb；（5）两数差立方公式 33223()33abaa babb 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明 例 1 计算：22(1)(1)(1)(1)xxxxxx 解法一：原式=2222(1)(1)xxx =242(1)(1)xxx =61x 解法二：

3、原式=22(1)(1)(1)(1)xxxxxx =33(1)(1)xx =61x 例 2 已知4abc，4abbcac，求222abc的值 解：2222()2()8abcabcabbcac 练 习 1填空：（1）221111()9423abba（）；（2）(4m 22)164(mm )；(3)2222(2)4(abcabc )2选择题：（1）若212xmxk是一个完全平方式，则k等于 （）（A）2m （B）214m （C）213m （D）2116m（2）不论a，b为何实数，22248abab的值 （）（A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数 第一讲 因式分解

4、 因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法 1十字相乘法 例 1 分解因式：（1）x23x2；（2）x24x12；（3）22()xab xyaby；（4）1xyxy 解：（1）如图 111，将二次项 x2分解成图中的两个 x 的积，再将常数项2 分解成1 与2 的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x，就是x23x2 中的一次项，所以，有 x23x2(x1)(x2)说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图 111 中的两个 x 用 1 来表示（如图 112 所示）（2）由图 113，得 x24x12(x2)(x6)（

5、3）由图 114，得 22()xab xyaby()()xayxby（4）1xyxy xy(xy)1(x1)(y+1)（如图 115 所示）课堂练习 一、填空题：1、把下列各式分解因式：（1）652xx_。（2）652xx_。（3）652xx_。（4）652xx_。1 1 x y 图 115（5）axax12_。（6）18112xx_。（7）2762xx_。（8）91242mm_。（9）2675xx_。（10）22612yxyx_。2、3 42xxxx 3、若422xxbaxx则 a，b。二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）1、在多项式（1）672 xx（2）342 xx（3）86

6、2 xx（4）1072 xx （5）44152xx中，有相同因式的是（）A、只有（1）（2）B、只有（3）（4）C、只有（3）（5）D、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）2、分解因式22338baba得（）A、3 11aa B、baba3 11 C、baba3 11 D、baba3 11 3、2082baba分解因式得（）A、2 10baba B、4 5baba C、10 2baba D、5 4baba 4、若多项式axx32可分解为bxx5，则a、b的值是（）A、10a，2b B、10a，2b C、10a，2b D、10a，2b 5、若bxaxmxx 102其中a、b为整数，则m

7、的值为（）A、3或9 B、3 C、9 D、3或9 三、把下列各式分解因式 1、3211262pqqp 2、22365abbaa 3、6422 yy 4、8224 bb 2提取公因式法 例 2 分解因式：（1）baba552 （2）32933xxx 解：（1）baba552=)1)(5(aba（2）32933xxx=32(3)(39)xxx=2(3)3(3)xxx =2(3)(3)xx 或 32933xxx32(331)8xxx3(1)8x33(1)2x 22(1)2(1)(1)22 xxx 2(3)(3)xx 课堂练习：一、填空题：1、多项式xyzxyyx42622中各项的公因式是_。2、yx

8、xynyxm_。3、222yxxynyxm_。4、zyxxzynzyxm_。5、zyxzyxzyxm_。6、523623913xbaxab分解因式得_。7计算99992=二、判断题：（正确的打上“”，错误的打上“”）1、baababba24222（）2、bammbmam（）3、5231563223xxxxxx（）4、111xxxxnnn（）3：公式法 例 3 分解因式：（1）164a （2）2223yxyx 解：(1)164a=)2)(2)(4()4)(4()(4222222aaaaaa (2)2223yxyx=)32)(4()23)(23(yxyxyxyxyxyx 课堂练习 一、222bab

9、a，22ba，33ba 的公因式是_。二、判断题：（正确的打上“”，错误的打上“”）1、1.032 1.0321.03201.094222xxxx（）2、babababa43 4343892222 （）3、bababa45 4516252 （）4、yxyxyxyx 2222（）5、cbacbacba 22（）五、把下列各式分解 1、229nmnm 2、3132x 3、22244xx 4、1224 xx 4分组分解法 例 4 （1）xyxyx332 （2）222456xxyyxy （2）222456xxyyxy=222(4)56xyxyy =22(4)(2)(3)xyxyy=(22)(3)xyx

10、y 或 222456xxyyxy=22(2)(45)6xxyyxy =(2)()(45)6xy xyxy =(22)(3)xyxy 课堂练习：用分组分解法分解多项式（1）byaxbayx222222（2）91264422bababa 5关于x 的二次三项式ax2+bx+c(a0)的因式分解 若关于 x 的方程20(0)axbxca的两个实数根是1x、2x，则二次三项式2(0)axbxc a就可分解为12()()a xxxx.例 5 把下列关于 x 的二次多项式分解因式：（1）221xx；（2）2244xxyy 解：（1）令221xx=0，则解得112x ，212x ，221xx=(12)(12

11、)xx =(12)(12)xx （2）令2244xxyy=0，则解得1(22 2)xy ，1(22 2)xy ，2244xxyy=2(12)2(12)xy xy 练 习 1选择题：多项式22215xxyy的一个因式为 （）（A）25xy （B）3xy （C）3xy （D）5xy 2分解因式：（1）x26x8；（2）8a3b3；（3）x22x1；（4）4(1)(2)xyy yx 习题 12 1分解因式：（1）31a；（2）424139xx；（3）22222bcabacbc；（4）2235294xxyyxy 2在实数范围内因式分解：（1）253xx；（2）22 23xx；（3）2234xxyy；（

12、4）222(2)7(2)12xxxx 3ABC三边a，b，c满足222abcabbcca，试判定ABC的形状 4分解因式：x2x(a2a)第二讲 函数与方程 2.1 一元二次方程 2.1.1 根的判别式 情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，如求方程的根（1）0322 xx(2)0122 xx(3)0322 xx 我们知道，对于一元二次方程 ax2bxc0（a0），用配方法可以将其变形为 2224()24bbacxaa 因为 a0，所以，4a20于是（1）当 b24ac0 时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 x1，2242bbaca；（2）当 b24a

13、c0 时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x1x22ba；（3）当 b24ac0 时，方程的右端是一个负数，而方程的左边2()2bxa一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根 由此可知，一元二次方程 ax2bxc0（a0）的根的情况可以由 b24ac来判定，我们把 b24ac 叫做一元二次方程 ax2bxc0（a0）的根的判别式，通常用符号“”来表示 综上所述，对于一元二次方程 ax2bxc0（a0），有（1）当 0 时，方程有两个不相等的实数根 x1，2242bbaca；（2）当 0 时，方程有两个相等的实数根 x1x22ba；（3）当 0 时，方程没有实数根 例 1 判定下列

14、关于 x 的方程的根的情况（其中 a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根（1）x23x30；（2）x2ax10；（3）x2ax(a1)0；（4）x22xa0 解：（1）3241330，方程没有实数根（2）该方程的根的判别式 a241(1)a240，所以方程一定有两个不等的实数根 2142aax，2242aax（3）由于该方程的根的判别式为 a241(a1)a24a4(a2)2，所以，当 a2 时，0，所以方程有两个相等的实数根 x1x21；当 a2 时，0，所以方程有两个不相等的实数根 x11，x2a1（3）由于该方程的根的判别式为 2241a44a4(1a)，所以 当 0，即 4(

15、1a)0，即 a1 时，方程有两个不相等的实数根 111xa，211xa；当 0，即 a1 时，方程有两个相等的实数根 x1x21；当 0，即 a1 时，方程没有实数根 说明：在第 3，4 小题中，方程的根的判别式的符号随着 a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对 a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程 ax2bxc0（a0）有两个实数根 2142bbacxa，2242bbacxa，则有 2212442222bbacbbacbb

16、xxaaaa ；2222122244(4)42244bbacbbacbbacaccx xaaaaa 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果 ax2bxc0（a0）的两根分别是 x1，x2，那么 x1x2ba，x1x2ca这一关系也被称为韦达定理 特别地，对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2pxq0，若 x1，x2是其两根，由韦达定理可知 x1x2p，x1x2q，即 p(x1x2)，qx1x2，所以，方程 x2pxq0 可化为 x2(x1x2)xx1x20，由于 x1，x2是一元二次方程 x2pxq0 的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程 x2(x1x2)xx1x20因此有

17、 以两个数 x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为 1）是 x2(x1x2)xx1x20 例 2 已知方程2560 xkx的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值 分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出 k 的值，再由方程解出另一个根 但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出 k 的值 解法一：2 是方程的一个根，522k260，k7 所以，方程就为 5x27x60，解得 x12，x235 所以，方程的另一个根为35，k 的值为7 解法二：设方程的另一

18、个根为 x1，则 2x165，x135 由 （35）25k，得 k7 所以，方程的另一个根为35，k 的值为7 例 3 已知关于 x 的方程 x22(m2)xm240 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大 21，求 m 的值 分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大 21 得到关于 m 的方程，从而解得 m 的值但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零 解：设 x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得 x1x22(m2)，x1x2m24 x12x22x1x221，(x1x2)23 x1x221，即 2(m2)23(m24

19、)21，化简，得 m216m170，解得 m1，或 m17 当 m1 时，方程为 x26x50，0，满足题意；当 m17 时，方程为 x230 x2930，302412930，不合题意，舍去 综上，m17 说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的 m 的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大 21”求出 m 的值，取满足条件的 m 的值即可（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式 是否大于或大于零因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根 例 4 已知两个数的和为 4，积为12，求这两个数 分析：我们可以设出这两个数

20、分别为 x，y，利用二元方程求解出这两个数 也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解 解法一：设这两个数分别是 x，y，则 xy4，xy12 由，得 y4x，代入，得 x(4x)12，即 x24x120，x12，x26 112,6,xy 或226,2.xy 因此，这两个数是2 和 6 解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x24x120 的两个根 解这个方程，得 x12，x26 所以，这两个数是2 和 6 说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷 例 5 若 x1和 x2分别是一元二次方程 2x25x30 的两根 （1）求|x1x2|的值；（2）求

21、221211xx的值；（3）x13x23 解：x1和 x2分别是一元二次方程 2x25x30 的两根，1252xx，1232x x （1）|x1x2|2x12+x222 x1x2(x1x2)24 x1x2253()4()22 2546494，|x1x2|72 （2）22221212122222221212125325()2()3()2113722439()9()24xxxxx xxxxxx x （3）x13x23(x1x2)(x12x1x2x22)(x1x2)(x1x2)23x1x2 (52)(52)23(32)2158 说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求

22、这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设 x1和 x2分别是一元二次方程 ax2bxc0（a0），则 2142bbacxa，2242bbacxa，|x1x2|2224424222bbacbbacbacaaa 24|bacaa 于是有下面的结论：若 x1和 x2分别是一元二次方程 ax2bxc0（a0），则|x1x2|a（其中 b24ac）今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论 例 6 若关于 x 的一元二次方程 x2xa40 的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围 解：设 x1，x2是方程的两根，则 x1x2a40，且(1)24(a4)0

23、 由得 a4，由得 a174 a 的取值范围是 a4 练 习 1选择题：（1）方程222 330 xkxk的根的情况是 （）（A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根（2）若关于 x 的方程 mx2(2m1)xm0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是 （）（A）m14 （B）m14 （C）m14，且 m0 （D）m14，且 m0 2填空:（1）若方程 x23x10 的两根分别是 x1和 x2，则1211xx （2）方程 mx2x2m0（m0）的根的情况是 （3）以3 和 1 为根的一元二次方程是 3已知2816|1|0aab，当 k 取

24、何值时，方程 kx2axb0 有两个不相等的实数根？4已知方程 x23x10 的两根为 x1和 x2，求(x13)(x23)的值 习题 2.1 A 组 1选择题:（1）已知关于 x 的方程 x2kx20 的一个根是 1，则它的另一个根是（）（A）3 （B）3 （C）2 （D）2（2）下列四个说法：方程 x22x70 的两根之和为2，两根之积为7；方程 x22x70 的两根之和为2，两根之积为 7；方程 3 x270 的两根之和为 0，两根之积为73；方程 3 x22x0 的两根之和为2，两根之积为 0 其中正确说法的个数是 （）（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个（3）关于

25、x 的一元二次方程 ax25xa2a0 的一个根是 0，则 a 的值是（）（A）0 （B）1 （C）1 （D）0，或1 2填空:（1）方程 kx24x10 的两根之和为2，则 k （2）方程 2x2x40 的两根为，则 22 （3）已知关于 x 的方程 x2ax3a0 的一个根是2，则它的另一个根是 （4）方程 2x22x10 的两根为 x1和 x2，则|x1x2|3 试判定当 m 取何值时，关于 x 的一元二次方程 m2x2(2m1)x10 有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程 x27x10 各根的相反数 B 组 1选择题:若关于

26、x 的方程 x2(k21)xk10 的两根互为相反数，则 k 的值为 （）（A）1，或1 （B）1 （C）1 （D）0 2填空:（1）若 m，n 是方程 x22005x10 的两个实数根，则 m2nmn2mn 的值等于 （2）如果 a，b 是方程 x2x10 的两个实数根，那么代数式 a3a2bab2b3的值是 3已知关于 x 的方程 x2kx20（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为 x1和 x2，如果 2(x1x2)x1x2，求实数 k 的取值范围 4一元二次方程 ax2bxc0（a0）的两根为 x1和 x2求：（1）|x1x2|和122xx；（2）x13x23 5关于

27、 x 的方程 x24xm0 的两根为 x1，x2满足|x1x2|2，求实数 m 的值 C 组 1选择题：（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程 2x28x70 的两根，则这个直角三角形的斜边长等于 （）（A）3 （B）3 （C）6 （D）9（2）若 x1，x2是方程 2x24x10 的两个根，则1221xxxx的值为 （）（A）6 （B）4 （C）3 （D）32（3）如果关于 x 的方程 x22(1m)xm20 有两实数根，则 的取值范围为 （）（A）12 （B）12 （C）1 （D）1 （4）已知 a，b，c 是 ABC 的三边长，那么方程 cx2(ab)x4c0 的根的情况是 （

28、）（A）没有实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根 （D）有两个异号实数根 2填空：若方程 x28xm0 的两根为 x1，x2，且 3x12x218，则 m 3 已知 x1，x2是关于 x 的一元二次方程 4kx24kxk10 的两个实数根（1）是否存在实数 k，使(2x1x2)(x12 x2)32成立？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由；（2）求使1221xxxx2 的值为整数的实数 k 的整数值；（3）若 k2，12xx，试求的值 4已知关于 x 的方程22(2)04mxmx（1）求证：无论 m 取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实

29、数根 x1，x2满足|x2|x1|2，求 m 的值及相应的 x1，x2 5若关于 x 的方程 x2xa0 的一个大于 1、零一根小于 1，求实数 a 的取值范围 22 二次函数 2.2.1 二次函数 yax2bxc 的图象和性质 情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象，如作图（1）2xy (2)2xy(3)322xxy 教师可采用计算机绘图软件辅助教学 问题 1 函数 yax2与 yx2的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出 y2x2，y12x2，y2x2的图象，通过这些函数图象与函数 yx2的图象之间的关系，推导出函数 yax2与 yx2的图象之间所存在的关系

30、 先画出函数 yx2，y2x2的图象 先列表：x 3 2 1 0 1 2 3 x2 9 4 1 0 1 4 9 2x2 18 8 2 0 2 8 18 从表中不难看出，要得到 2x2的值，只要把相应的 x2的值扩大两倍就可以了 再描点、连线，就分别得到了函数 yx2，y2x2的图象（如图 21 所示），从图 21 我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数 y2x2的图象可以由函数 yx2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到 同学们也可以用类似于上面的方法画出函数 y12x2，y2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数 yx2的图象之间的关系 通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数 y

31、ax2(a0)的图象可以由 yx2的图象各点的纵坐标变为原来的 a 倍得到在二次函数 yax2(a0)中，二次项系数 a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小 图 2.2-2 x y O 1 y2x2 y2(x1)2 y2(x1)21 yx2 y2x2 图 2.2-1 x O y 问题 2 函数 ya(xh)2k 与 yax2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系同学们可以作出函数 y2(x1)21 与 y2x2的图象（如图 22 所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数 y2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单

32、位，就可以得到函数 y2(x1)21 的图象这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点 类似地，还可以通过画函数 y3x2，y3(x1)21 的图象，研究它们图象之间的相互关系 通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数 ya(xh)2k(a0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”由上面的结论，我们可以得到研究二次函数 yax2bxc(a0)的图象的方法：由于 yax2bxca(x2bxa)ca(x2bxa224ba)c24ba 224()24b

33、baca xaa，所以，yax2bxc(a0)的图象可以看作是将函数 yax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数 yax2bxc(a0)具有下列性质：（1）当 a0 时，函数 yax2bxc 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24bacbaa，对称轴为直线 x2ba；当 x2ba时，y 随着 x 的增大而减小；当 x2ba时，y 随着x 的增大而增大；当 x2ba时，函数取最小值 y244acba （2）当 a0 时，函数 yax2bxc 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24bacbaa，对称轴为直线 x2ba；当 x2ba时，y 随着 x 的增大而增大；当 x2ba时，y 随

34、着x 的增大而减小；当 x2ba时，函数取最大值 y244acba 上述二次函数的性质可以分别通过图 223 和图 224 直观地表示出来因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题 例 1 求二次函数 y3x26x1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象 解：y3x26x13(x1)24，函数图象的开口向下；对称轴是直线 x1；顶点坐标为(1，4)；当 x1 时，函数 y 取最大值 y4；当 x1 时，y 随着 x 的增大而增大；当 x1 时，y 随着 x

35、的增大而减小；x y O x2ba A24(,)24bacbaa 图 2.2-3 x y O x2ba A24(,)24bacbaa 图 2.2-4 x O y x1 A(1,4)D(0,1)B C 图 2.25 采用描点法画图，选顶点 A(1，4)，与 x 轴交于点 B2 33(,0)3和C2 33(,0)3，与 y 轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象（如图 25 所示）说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确 函数yax2bxc图象作图要领：（1）确定开口方向：由二次项系数a 决定（2）确定对称轴：对

36、称轴方程为abx2（3）确定图象与 x 轴的交点情况，若0 则与 x 轴有两个交点，可由方程x2bxc=0求出若=0 则与 x 轴有一个交点，可由方程x2bxc=0求出若0 则与 x 轴有无交点。（4）确定图象与 y 轴的交点情况,令 x=0 得出 y=c，所以交点坐标为（0，c）（5）由以上各要素出草图。练习：作出以下二次函数的草图 （1）62xxy(2)122xxy(3)12xy 例 2 某种产品的成本是 120 元/件，试销阶段每件产品的售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间关系如下表所示：x/元 130 150 165 y/件 70 50 35 若日销售量 y 是销售价 x 的一

37、次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？分析：由于每天的利润日销售量 y(销售价 x120)，日销售量 y 又是销售价 x 的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价 x 之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值 解：由于 y 是 x 的一次函数，于是，设 ykx（B）将 x130，y70；x150，y50 代入方程，有 70130,50150,kbkb 解得 k1，b200 yx200 设每天的利润为 z（元），则 z(x+200)(x120)x2320 x24000 (x160

38、)21600，当 x160 时，z 取最大值 1600 答：当售价为 160 元/件时，每天的利润最大，为1600 元 例 3 把二次函数 yx2bxc 的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到函数 yx2的图像，求 b，c 的值 解法一：yx2bxc(x+2b)224bc，把它的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4个单位，得到22(4)224bbyxc的图像，也就是函数 yx2的图像，所以，240,220,4bbc 解得 b8，c14 解法二：把二次函数 yx2bxc 的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到函数 yx2的图像，等价于把二次函数 yx2的图

39、像向下平移 2 个单位，再向右平移 4个单位，得到函数 yx2bxc 的图像 由于把二次函数 yx2的图像向下平移 2 个单位，再向右平移 4 个单位，得到函数 y(x4)22 的图像，即为 yx28x14 的图像，函数 yx28x14 与函数 yx2bxc表示同一个函数，b8，c14 说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律 这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点今后，我们在解题

40、时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题 例 4 已知函数 yx2，2xa，其中 a2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量 x 的值 分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对 a 的取值进行讨论 解：（1）当 a2 时，函数 yx2的图象仅仅对应着一个点(2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是 4，此时 x2；（2）当2a0 时，由图 226可知，当 x2 时，函数取最大值 y4；当 xa 时，函数取最小值 ya2；（3）当 0a2 时，由图 226可知，当 x2 时，函数取最大值 y4；当 x0时，函数取最小值 y0；（4）当 a2

41、 时，由图 226可知，当 xa 时，函数取最大值 ya2；当 x0 时，函数取最小值 y0 说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对 a 的所有可能情形进行讨论 此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题 练 习 1选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （）（A）y2x2 （B）y2x24x2（C）y2x21 （D）y2x24x （2）函数 y2(x1)22 是将函数 y2x2 （）（A）向左平移 1 个单位、再向上平移 2 个单位得到的 （B）向右平移 2 个单位、再向上平移 1

42、 个单位得到的 （C）向下平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的 （D）向上平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的 2填空题（1）二次函数 y2x2mxn 图象的顶点坐标为(1，2)，则 m ，n （2）已知二次函数 yx2+(m2)x2m，当 m 时，函数图象的顶点在 y 轴上；当m 时，函数图象的顶点在 x 轴上；当 m 时，函数图象经过原点（3）函数 y3(x2)25 的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当 x 时，函数取最 值 y ；当 x 时，y 随着 x 的增大而减小 3求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及 y 随 x 的变化情况，并画出

43、其图象（1）yx22x3；（2）y16 xx2 4已知函数 yx22x3，当自变量 x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量 x 的值：（1）x2；（2）x2；（3）2x1；（4）0 x3 2.2.2 二次函数的三种表示方式 通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：1一般式：yax2bxc(a0)；2顶点式：ya(xh)2k(a0)，其中顶点坐标是(h，k)除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数 yax2bxc(a0)的图象与 x 轴交点个数 当抛物线 yax2bx

44、c(a0)与 x 轴相交时，其函数值为零，于是有 ax2bxc0 并且方程的解就是抛物线 yax2bxc(a0)与 x 轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线 yax2bxc(a0)与 x 轴交点个数与方程的解的个数有关，而方程的解的个数又与方程的根的判别式 b24ac 有关，由此可知，抛物线 yax2bxc(a0)与 x 轴交点个数与根的判别式 b24ac 存在下列关系：（1）当 0 时，抛物线 yax2bxc(a0)与 x 轴有两个交点；反过来，若抛物线 yax2bxc(a0)与 x 轴有两个交点，则 0 也成立（2）当 0 时，抛物线 yax2bxc(a0)与 x 轴有一个

45、交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线 yax2bxc(a0)与 x 轴有一个交点，则 0 也成立（3）当 0 时，抛物线 yax2bxc(a0)与 x 轴没有交点；反过来，若抛物线 yax2bxc(a0)与 x 轴没有交点，则 0 也成立 于是，若抛物线 yax2bxc(a0)与 x 轴有两个交点 A(x1，0)，B(x2，0)，则 x1，x2是方程 ax2bxc0 的两根，所以 x1x2ba，x1x2ca，即 ba(x1x2)，cax1x2 所以，yax2bxca(2bcxxaa)=ax2(x1x2)xx1x2 a(xx1)(xx2)由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线 yax2bx

46、c(a0)与 x 轴交于 A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为 ya(xx1)(xx2)(a0)这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3交点式：ya(xx1)(xx2)(a0)，其中 x1，x2是二次函数图象与 x 轴交点的横坐标 今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题 例 1 已知某二次函数的最大值为 2，图像的顶点在直线 yx1 上，并且图象经过点（3，1），求二次函数的解析式 分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象

47、过定点来求解出系数 a 解：二次函数的最大值为 2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，顶点的纵坐标为 2 又顶点在直线 yx1 上，所以，2x1，x1 顶点坐标是（1，2）设该二次函数的解析式为2(2)1(0)ya xa，二次函数的图像经过点（3，1），21(32)1a，解得 a2 二次函数的解析式为22(2)1yx，即 y2x28x7 说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题 因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题 例 2 已知二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，且顶点到 x 轴的距

48、离等于 2，求此二次函数的表达式 分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式 解法一：二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，可设二次函数为 ya(x3)(x1)(a0)，展开，得 yax22ax3a，顶点的纵坐标为 2212444aaaa，由于二次函数图象的顶点到 x 轴的距离 2，|4a|2，即 a12 所以，二次函数的表达式为 y21322xx，或 y21322xx 分析二：由于二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线 x1，又由顶点到 x 轴的距离为 2，可知顶点的纵坐标为

49、2，或2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式 解法二：二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，对称轴为直线 x1 又顶点到 x 轴的距离为 2，顶点的纵坐标为 2，或2 于是可设二次函数为 ya(x1)22，或 ya(x1)22，由于函数图象过点(1，0)，0a(11)22，或 0a(11)22 a12，或 a12 所以，所求的二次函数为 y12(x1)22，或 y12(x1)22 说明：上述两种解法分别从与 x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，

50、选择恰当的方法来解决问题 例 3 已知二次函数的图象过点(1，22)，(0，8)，(2，8)，求此二次函数的表达式 解：设该二次函数为 yax2bxc(a0)由函数图象过点(1，22)，(0，8)，(2，8)，可得 22,8,842,abccabc 解得 a2，b12，c8 所以，所求的二次函数为 y2x212x8 通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？练 习 1选择题:（1）函数 yx2x1 图象与 x 轴的交点个数是 （）（A）0 个 （B）1 个 （C）2 个 （D）无法确定 （2）函数 y12(x1)22 的顶点坐