初高中数学衔接教材12讲word版配答案.pdf

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1、初高中数学衔接教材 编者的话 高中数学难学，难就难在初中教材与高中教材之间剃度过大，因此我们要认真搞好初高中数学教学的衔接，使初高中的数学教学具有连续性和统一性。现有初高中数学教材存在以下“脱节”：1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用；2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用；3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为 1 的二次三项式的分解，对系数不为 1 的涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用到它，如解方程、不等式等；4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函数、不等式

2、常用的解题技巧；5 初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平。而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要内容；配方、作简图、求值域（取值范围）、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法；6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达定理）初中不作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们的相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节；7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时，则作为必备的基本知识要领；8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍

3、了解，高中则作为重点，并无专题内容在教材中出现，是高考必须考的综合题型之一；9、几何中很多概念（如三角形的四心：重心、内心、外心、垂心）和定理（平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已经删除，大都没有去学习；10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。高中则在使用。另外，象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化，甚至老师根本没有去延伸发掘，不利于高中数学的学习。高一数学相对于初中数学而言，逻辑推理强，抽象程度高，知识难度大。初中毕业生以较高的数学成绩升入高中后，不适应高中数学教学，学习成绩大幅度下降，出现了严重的两极分化，心理失

4、落感很大，过去的尖子生可能变为学习后进生，甚至，少数学生对学习失去了信心。初中数学教学内容作了较大程度的压缩、上调，中考难度的下调、新课程的实验和新教材的教学，使高中数学在教材内容以及高考中都对学生的能力提出了更高的要求，使得原来的矛盾更加突出。高中教材从知 识内容上整体数量较初中剧增；在知识的呈现、过程和联系上注重逻辑性，且数学语言抽象程度发生了突变，教材叙述比较严谨、规范而抽象。知识难度加大，且习题类型多，解题技巧灵活多变，计算繁冗复杂，体现了“起点高、难度大、容量多”的特点。其次，初中难度降低，有中考试卷的难度降低作保障；而高中由于受高考的限制，教师都不敢降低难度，造成了高中数学实际难度

5、并没有降低。因此，从一定意义上讲，调整后的教材不仅没有缩小初高中教材内容的难度差距，反而加大了。如现行初中数学教材在内容上进行了较大幅度的调整，难度、深度和广度大大降低了，那些在高中学习中经常应用到的知识，如十字相乘法、分组分解法等内容，都转移到高一阶段补充学习。这样初中教材就体现了“浅、少、易”的特点，但却加重了高一数学的份量。在初中，教师讲得细，类型归纳得全，练得熟，考试时，学生只要记准概念、公式及教师所讲例题类型，一般均可对号入座取得中考好成绩。而高考要求则不同，有的高中教师往往用高三复习时应达到的类型和难度来对待高一教学，造成了轻过程、轻概念理解、重题量的情形，造成初、高中教师教学方法

6、上的巨大差异，中间又缺乏过渡过程，至使新生普遍适应不了高中教师的教学方法。高中许多知识仅凭课堂上听懂是远远不够的，还需要认真消化。这就要求学生具有较强的阅读分析能力和自学理解能力。因此，在初、高中数学教学衔接中，教师要有意识地指导学生阅读数学课本，通过编拟阅读提纲，帮助学生理解和掌握数学概念，对某些简单章节内容的教学，可组织阅读讨论，以培养学生的自学理解能力以及独立钻研问题的良好习惯，引导学生主动参与观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，使学生形成有效的学习策略。新的课程改革，难免会导致很多知识的脱节和漏洞。本书当然也没有详尽列举出来。我们会不断的研究新课程及其体系，将不遗余力地找到新

7、的初高中数学教材体系中存在的不足，加以补充和完善。我们的目标是使所有的学生在努力之后，都能摘到相应的果实，所以我们要不惜时间与精力，进行初高中数学教学的衔接，让“衔接教学”更好地为高一新生铺设一条成功的路。南侨中学高一数学备课组 目录 第一章 数与式 1.1 数与式的运算 1.1.1 乘法公式 3 1.1.2 分式 4 1.2 分解因式 5 第二章 二次方程、二次函数与二次不等式 2.1 一元二次方程 2.1.1 根的判别式 11 2.1.2 根与系数的关系 13 2.2 二次函数 2.2.1 二次函数 y=ax2+bx+c 的图像和性质 19 2.2.2 二次函数的三种表达方式 25 2.3

8、 一元二次不等式的解法 28 第三章 相似形、三角形 3.1 相似形 3.1.1 平行线分线段成比例定理 33 3.1.2 相似三角形形的性质与判定 36 3.2 三角形 3.2.1 三角形的四心、40 3.2.2 几种特殊的三角形 43 课后练习与习题答案 46 1.1 数与式的运算 1.1.1 乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()ab abab；（2）完全平方公式 222()2abaabb。我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()ab aabbab；（2）立方差公式 2233()()ab aabbab；（3）三数

9、和平方公式 2222()2()abcabcabbcac；（4）两数和立方公式 33223()33abaa babb；（5）两数差立方公式 33223()33abaa babb。对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明。例 1 计算：22(1)(1)(1)(1)xxxxxx。解法一：原式=2222(1)(1)xxx=242(1)(1)xxx=61x。解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)xxxxxx=33(1)(1)xx=61x。例 2 已知4abc，4abbcac，求222abc的值。解：2222()2()8abcabcabbcac。练习：1填空：（1）221111()9423ab

10、ba（）；（2）(4m 22)164(mm )；(3)2222(2)4(abcabc )。2选择题：（1）若212xmxk是一个完全平方式，则k等于（）A、2m B、214m C、213m D、2116m（2）不论a，b为何实数，22248abab的值（）A、总是正数 B、总是负数 C、可以是零 D、可以是正数也可以是负数 1.1.2 分式 1分式的意义：形如AB的式子，若B中含有字母，且0B，则称AB为分式。当M0 时，分式AB具有下列基本性质：AA MBBM；AAMBBM。2繁分式：像abcd，2mnpmnp这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式。例 1 若54(2)2xABx xx

11、x，求常数,A B的值。解：(2)()2542(2)(2)(2)ABA xBxAB xAxxxx xx xx x，5,24,ABA 解得32BA 。例 2（1）试证：111(1)1n nnn（其中n是正整数）；（2）计算：1111 22 39 10；（1）证明：11(1)11(1)(1)nnnnn nn n，111(1)1n nnn（其中n是正整数）成立。（2）解：由（1）可知1111 22 39 1011111(1)()()2239101110 910。练 习：1.对任意的正整数n，1(2)n n (112nn)；2计算：11111 32 43 59 11。12 分解因式 因式分解的主要方法

12、有：提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法，另外还应了解求根法及待定系数法。1、提取公因式法 例 1 分解因式：（1）baba552 （2）32933xxx 解：（1）baba552=5b52aba=)1)(5(aba（2）32933xxx=32(3)(39)xxx=2(3)3(3)xxx=2(3)(3)xx。或32933xxx32(331)8xxx3(1)8x33(1)2x 22(1)2(1)(1)22 xxx 2(3)(3)xx 练习：一、填空题：1、多项式xyzxyyx42622中各项的公因式是 _。2、yxxynyxm_。3、222yxxynyxm_。4、zyxxzynzyxm_

13、。5、zyxzyxzyxm_。6、523623913xbaxab分解因式得_。7计算99992=二、判断题：（正确的打上“”，错误的打上“”）1、baababba24222（）2、bammbmam（）3、5231563223xxxxxx（）4、111xxxxnnn（）2、公式法 例 2 分解因式：（1）164a （2）2223yxyx 解：(1)164a=)2)(2)(4()4)(4()(4222222aaaaaa (2)2223yxyx=)32)(4()23)(23(yxyxyxyxyxyx 练习 一、222baba，22ba，33ba 的公因式是_。二、判断题：（正确的打上“”，错误的打上

14、“”）1、1.032 1.0321.03201.094222xxxx（）2、babababa43 4343892222（）3、bababa45 4516252（）4、yxyxyxyx 2222（）5、cbacbacba 22（）五、把下列各式分解 1、229nmnm 2、3132x 3、22244xx 4、1224 xx 3、分组分解法 例 3 分解因式：（1）xyxyx332 （2）222456xxyyxy。解：（1）（）（）（）（）（）（3-xy-xy-x3y-xx333322xyxyxxyxyx 或）（）（）（）（）（）（y-x3x3xy3xx3xy33322yxxxyxyx（2）222

15、456xxyyxy=222(4)56xyxyy=22(4)(2)(3)xyxyy=(22)(3)xyxy。或222456xxyyxy=22(2)(45)6xxyyxy=(2)()(45)6xy xyxy=(22)(3)xyxy。练习：用分组分解法分解多项式 （1）byaxbayx222222 （2）91264422bababa 4、十字相乘法 例 4 分解因式：（1）2x3x2；（2）2x4x12；（3）22()xab xyaby；（4）1xyxy。解：（1）如图 111，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项 2 分解成1与2 的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x，就是x2

16、3x2 中的一次项，所以，有2x3x2(x1)(x2)。说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图111 中的两个x用 1来表示（如图 112 所示）。（2）由图 113，得2x4x12(x2)(x6)。1 1 x y 图 115（3）由图 114，得22()xab xyaby()()xayxby（4）1xyxy xy(xy)1(x1)(y+1)（如图 115 所示）。练习 一、填空题：1、把下列各式分解因式：（1）652xx_。（2）652xx_。（3）652xx_。（4）652xx_。（5）axax12_。（6）18112xx_。（7）2762xx_。（8）91242mm_。（

17、9）2675xx_。（10）22612yxyx_。2、3 42xxxx 3、若422xxbaxx则 a，b。二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）1、在多项式（1）672 xx（2）342 xx（3）862 xx（4）1072 xx，（5）44152xx中，有相同因式的是（）A、只有（1）（2）B、只有（3）（4）C、只有（3）（5）D、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）2、分解因式22338baba得（）A、3 11aa B、baba3 11 C、baba3 11 D、baba3 11 3、2082baba分解因式得（）A、2 10baba B、4 5baba C、10

18、 2baba D、5 4baba 4、若多项式axx32可分解为bxx5，则a、b的值是（）A、10a，2b B、10a，2b C、10a，2b D、10a，2b 5、若bxaxmxx 102其中a、b为整数，则m的值为（）A、3或9 B、3 C、9 D、3或9 三、把下列各式分解因式 1、3211262pqqp 2、22365abbaa 3、6422 yy 4、8224 bb 5、关于x的二次三项式2ax+bx+c(a0)的因式分解。若关于x的方程20(0)axbxca的两个实数根是1x、2x，则二次三项式2(0)axbxc a就可分解为12()()a xxxx。例 5 把下列关于x的二次多

19、项式分解因式：（1）221xx；（2）2244xxyy。解：（1）令221xx=0，则解得112x ，212x ，221xx=(12)(12)xx =(12)(12)xx 。（2）令2244xxyy=0，则解得1(22 2)xy ，1(22 2)xy ，2244xxyy=2(12)2(12)xy xy。练习 1选择题：多项式22215xxyy的一个因式为（）（A）25xy （B）3xy （C）3xy （D）5xy 2分解因式：（1）x26x8 （2）8a3b3（3）x22x1 （4）4(1)(2)xyy yx 习题 12 1分解因式：（1）31a=（2）424139xx；（3）22222bca

20、bacbc；（4）2235294xxyyxy。2在实数范围内因式分解：（1）253xx；（2）22 23xx；（3）2234xxyy；（4）222(2)7(2)12xxxx。3分解因式：2xx(a2a)。2.1 一元二次方程 2.1.1 根的判别式 情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，如求方程的根：(1)0322 xx；(2)0122 xx；(3)0322 xx。用配方法可把一元二次方程2axbxc0（a0）变为2224()24bbacxaa a0，4a20。于是（1）当b24ac0 时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根2,1x242bbaca；（2）

21、当b24ac0 时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根1x2x2ba；（3）当b24ac0 时，方程的右端是一个负数，而方程的左边2()2bxa一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根。由此可知，一元二次方程2axbxc0（a0）的根的情况可以由b24ac来判定，我们把b24ac叫做一元二次方程2axbxc0（a0）的根的判别式，通常用符号“”来表示。综上所述，对于一元二次方程2axbxc0（a0），有（1）当0 时，方程有两个不相2axbxc0 等的实数根2,1x242bbaca；（2）当 0 时，方程有两个相等的实数根，1x2x2ba；（3）当 0 时，方程没有实数根。例 1 判

22、定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根。（1）2x3x30；（2）2xax10；（3）2xax(a1)0；（4）2x2xa0。解：（1）3241330，方程没有实数根。（2）该方程的根的判别式 a241(1)a240，所以方程一定有两个不等的实数根2142aax，2242aax。（3）由于该方程的根的判别式为a241(a1)a24a4(a2)2，所以，当a2 时，0，所以方程有两个相等的实数根x1x21；当a2 时，0，所以方程有两个不相等的实数根x11，x2a1。（4）由于该方程的根的判别式为 2241a44a4(1a)，所以 当 0，即 4(1a)

23、0，即a1 时，方程有两个不相等的实数根111xa，211xa；当 0，即a1 时，方程有两个相等的实数根x1x21；当 0，即a1 时，方程没有实数根。说明：在第 3，4 小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论。分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题。2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程2axbxc0（a0）有两个实数根a2ac4bbx221，则有2212442222bbacbbacbbxxaaaa ；2222122244(4)422

24、44bbacbbacbbacaccx xaaaaa 。所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果2axbxc0（a0）的两根分别是1x,2x，那么1x+2xba，21xx ca。这一关系也被称为韦达定理。特别地，对于二次项系数为 1 的一元二次方程x2pxq0，若1x,2x是其两根，由韦达定理可知，1x+2xp，21xx q，即p(1x+2x)，q21xx，所以，方程2xpxq0 可化为2x(1x+2x)x21xx 0，由于1x,2x是一元二次方程x2pxq0 的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程2x(1x+2x)x21xx 0。因此有以两个数1x,2x为根的一元二次方程（二次项系

25、数为1）是2x(1x+2x)x21xx 0。所以，方程的另一个根为35，k的值为7。例 2 已知方程2560 xkx的一个根是 2，求它的另一个根及k的值。分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根。但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值。解法一：2 是方程的一个根，522k260，k7。所以，方程就为 5x27x60，解得1x2，2x35。解法二：设方程的另一个根为2x，则 22x65，2x35。由（35）25k，得 k7。

26、所以，方程的另一个根为35，k的值为7。例 3 已知关于x的方程2x2(m2)xm240 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大 21，求m的值。分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大 21 得到关于m的方程，从而解得m的值。但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零。解：设1x,2x是方程的两根，由韦达定理，得1x+2x2(m2)，21xx m24。21x22x21xx 21，(1x+2x)23 21xx 21，即2(m2)23(m24)21，化简，得 m216m170，解得m1，或m17。当m1 时，方程为2x6x5

27、0，0，满足题意；当m17 时，方程为2x30 x2930，302412930，不合题意，舍去。综上，m17。说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大 21”求出m的值，取满足条件的m的值即可。（2）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式 是否大于或大于零。因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根。例 4 已知两个数的和为 4，积为12，求这两个数。分析：我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数。也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解。解法一：设这两个数

28、分别是x，y，则）（）（2-12xy14yx 解得：112,6,xy ，226,2.xy 因此，这两个数是2 和 6。解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x24x120 的两个根。解这个方程，得1x2，2x6。所以，这两个数是2 和 6。说明：从上面两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷。例 5 若1x和2x分别是一元二次方程 22x5x30 的两根。（1）求|1x2x|的值；（2）求221211xx的值；（3）31x32x。解：1x和2x分别是一元二次方程 22x5x30 的两根，1252xx，1232x x 。（1）|1x2x|2x12+x222 21xx

29、(1x+2x)2421xx 253()4()22 2546494，|1x-2x|72。（2）22221212122222221212125325()2()3()2113722439()9()24xxxxx xxxxxx x 。（3）31x32x(1x+2x2)(21x21xx 22x)(1x+2x)(1x+2x)2321xx (52)(52)23(32)2158。说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x1和x2分别是一元二次方程2axbxc0（a0），则2142bbacxa，2242bbacxa，|1x

30、-2x|2224424222bbacbbacbacaaa 24|bacaa。于是有下面的结论：若1x和2x分别是一元二次方程2axbxc0（a0），则|1x-2x|a（其中b24ac）。今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论。例 6 若关于x的一元二次方程2xxa40 的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围。解：设1x,2x是方程的两根，则21xx a40，且(1)24(a4)0。由得a4，由得a174。a的取值范围是a4。练 习 1.选择题：（1）方程222 330 xkxk的根的情况是（）（A）有一个实数根（B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数

31、根（D）没有实数根（2）若关于 x 的方程 mx2(2m1)xm0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是（）（A）m14 （B）m14 （C）m14，且 m0 （D）m14，且 m0 2填空:（1）若方程2x3x10 的两根分别是x1和x2，则1211xx 。（2）方程mx2x2m0（m0）的根的情况是 。（3）以3 和 1 为根的一元二次方程是 。3.若2816|1|0aab，当k取何值时，方程k2xaxb0有两个不相等实数根？4已知方程2x3x10 的两根为1x和2x，求(1x3)(2x3)的值。习题 2.1 A 组 1选择题:（1）已知关于x的方程2xkx20 的一个根是 1，

32、则它的另一个根是（）（A）3 （B）3 （C）2 （D）2（2）下列四个说法：其中正确说法的个数是（）个 （A）1（B）2（C）3（D）4 方程2x2x70 的两根之和为2，两根之积为7；方程2x2x70 的两根之和为2，两根之积为 7；方程 32x70 的两根之和为 0，两根之积为73；方程 32x2x0 的两根之和为2，两根之积为 0。（3）关于x的一元二次方程a2x5xa2a0 的一个根是 0，则a的值是（）（A）0 （B）1 （C）1 （D）0，或1 2填空:（1）方程k2x4x10 的两根之和为2，则k 。（2）方程 2x2x40 的两根为，则 22 。（3）已知关于x的方程2xax

33、3a0 的一个根是2，则它的另一个根是 。（4）方程 22x2x10 的两根为x1和x2，则|x1x2|。3试判定当 m 取何值时，关于x的一元二次方程2m2x(2m1)x10 有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程 x27x10 各根的相反数。B 组 1 选择题:若关于x的方程2x(k21)xk10 的两根互为相反数，则k的值为（）（A）1，或1 （B）1 （C）1 （D）0 2 填空:（1）若m，n是方程2x2005x10 的两实数根，则m2nmn2mn的值等于 。（2）若a，b是方程2xx10 的两个实数根，则代数式a3a2bab

34、2b3的值是 。3已知关于x的方程2xkx20。（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x1和x2，如果 2(x1x2)x1x2，求实数k的取值范围。4一元二次方程a2xbxc0（a0）的两根为x1和x2。求：（1）|x1x2|和122xx；（2）x13x23。5关于x的方程2x4xm0 的两根为x1，x2满足|x1x2|2，求实数m的值。C 组 1.选择题：（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程22x8x70 的两根，则这个直角三角形的斜边长等于（）（A）3 （B）3 （C）6 （D）9（2）若x1，x2是方程 22x4x10 的两个根，则1221xxxx的值为（

35、）（A）6 （B）4 （C）3 （D）32（3）如果关于x的方程2x2(1+m)xm20 有两实数根，则 的取值范围为（）（A）12 （B）12 （C）1 （D）1 （4）已知a，b，c是ABC的三边长，那么方程c2x(ab)x4c0的根的情况是（）（A）没有实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根 （D）有两个异号实数根 2.填空：若方程2x8xm0 的两根为x1，x2，且 3x12x218，则m 。3.已知x1，x2是关于x的一元二次方程 4k2x4kxk10 的两个实数根。（1）是否存在实数k，使(2x1x2)(x12x2)32成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理

36、由；（2）求使1221xxxx2 的值为整数的实数k的整数值；（3）若k2，12xx，试求的值。4已知关于x的方程22(2)04mxmx。（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|x1|2，求m的值及相应的x1，x2。5若关于x的方程2xxa0 的根一个大于 1、另一根小于 1，求实数a的取值范围。22 二次函数 2.2.1 二次函数yax2bxc的图象和性质 情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象，如作图（1）2xy (2)2xy(3)322xxy 教师可采用计算机绘图软件辅助教学 问题 1 函数ya2x与y2x

37、的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出y22x，y122x，y22x的图象，通过这些函数图象与函数y2x的图象之间的关系，推导出函数ya2x与y2x的图象之间所存在的关系。先画出函数y2x，y22x的图象。先列表：x 3 2 1 0 1 2 3 2x 9 4 1 0 1 4 9 22x 18 8 2 0 2 8 18 从表中不难看出，要得到 2x2的值，只要把相应的x2的值扩大到两倍就可以了。再描点、连线，就分别得到了函数y2x，y22x的图象（如图 21 所示），从图 21我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y22x的图象可以由函数yx2的图象各点的纵坐标变为原来的

38、两倍得到。同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y122x，y22x的图象，并研究这两个函数图象与函数y2x的图象之间的关系。通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数ya2x(a0)的图象可以由yx2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到。在二次函数ya2x(a0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小。问题 2 函数ya(xh)2k与ya2x的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系。同学们可以作出函数y2(x1)21 与y22x的图象（如图 22 所示），从函数的图象我们不难发现，只要把函数y22x的图象向

39、左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y2(x1)21 的图象。这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点。类似地，还可以通过画函数y32x，y3(x1)21 的图象，研究它们图象之间的相互关系。通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数ya(xh)2k(a0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”。由上面的结论，我们可以得到研究二次函数ya2xbxc(a0)的图象的方法：由 于ya2xbxca(2xbxa)ca(2xbxa224ba)c24ba 2

40、24()24bbaca xaa，所以，ya2xbxc(a0)的图象可以看作是将函数ya2x的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数ya2xbxc(a0)具有下列性质：（1）当a0 时，函数ya2xbxc图象开口向上；顶点坐标为24(,)24bacbaa，对称轴为直线x2ba；当x2ba时，y随着x的增大而减小；当x2ba时，y随着x的增大而增大；当x2ba时，函数取最小值y244acba。（2）当a0 时，函数ya2xbxc图象开口向下；顶点坐标为24(,)24bacbaa，对称轴为直线x2ba；当x2ba时，y随着x的增大而增大；当x2ba时，y随着x的增大而减小；当x2ba时，函数

41、取最大值y244acba。上述二次函数的性质可以分别通过图 223 和图 224 直观地表示出来。因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题。例 1 求二次函数y32x6x1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象。解：y32x6x13(x1)24，函数图象的开口向下；对称轴是直线x1；顶点坐标为(1，4)；当x1 时，函数y取最大值y4；当x1 时，y随着x的增大而增大；当x1 时，y随着x的增大而减小；采用描点法画图，选顶点A(1，4)，与x轴交于点B2 33(,0

42、)3和C2 33(,0)3，与y轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象（如图 25 所示）。说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确。函数ya2xbxc图象作图要领：确定开口方向：由二次项系数a 决定。确定对称轴：对称轴方程为abx2 确定图象与 x 轴的交点情况，若0 则与 x 轴有两个交点，可由方程2xbxc=0求出若=0 则与 x 轴有一个交点，可由方程x2bxc=0求出若0 则与 x 轴有无交点。确定图象与 y 轴的交点情况,令 x=0 得出 y=c，所以交点坐标为（0，c）由以上各要素出草图。练习：

43、作出以下二次函数的草图：（1）62xxy(2)122xxy(3)12xy x/元 130 150 165 例 2 某种产品的成本是 120 元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示：若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？分析：由于每天的利润日销售量y(销售价x120)，日销售量y又是销售价x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值。解：由于y是x的一次函数，于是，设 yk

44、xb，将x130，y70；x150，y50 代入方程，有70130,50150,kbkb 解得200b1k。yx200。设每天的利润为z（元），则z(x+200)(x120)x2320 x24000 (x160)21600，当x160时，z取最大值1600。答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为 1600元。例 3 把二次函数y2xbxc的图像向上平移2 个单位，再向左平移4 个单位，得到函数yx2的图像，求b，c的值。解法一：y2xbxc(x+2b)224bc，把它的图像向上平移 2 个单位，再向左平移4个单位，得到22(4)224bbyxc的图像，也就是函数y2x的图像，所以，24

45、0,220,4bbc 解得b8，c14。解法二：把二次函数y2xbxc的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到函数y2x的图像，等价于把二次函数yx2的图像向下平移 2 个单位，再向右平移 4 个单位，得到函数y2xbxc的图像。由于把二次函数y2x的图像向下平移 2 个单位，再向右平移 4 个单位，得到函数y(x4)22 的图像，即为y2x8x14 的图像，函数y2x8x14 与函数y2xbxc表示同一个函数，b8，c14。说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律。这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是

46、直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等y/件 70 50 35 价的问题来解，具有计算量小的优点。今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题。例 4 已知函数yx2，2xa，其中a2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值。分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论。解：（1）当a2 时，函数y2x的图象仅仅对应着一个点(2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是 4，此时x2；（2）当2a0 时，由图 226可知，当x2 时，函数取最大

47、值y4；当xa时，函数取最小值ya2；（3）当 0a2 时，由图 226可知，当x2 时，函数取最大值y4；当x0时，函数取最小值y0；（4）当a2 时，由图 226可知，当xa时，函数取最大值ya2；当x0 时，函数取最小值y0。说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形进行讨论。此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题。练习 1选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（）（A）y22x （B）y22x4x2 （C）y22x1 （D）y22x4x （2）函数y2(x1)

48、22 是将函数y22x（）（A）向左平移 1 个单位、再向上平移 2 个单位得到的（B）向右平移 2 个单位、再向上平移 1 个单位得到的（C）向下平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的（D）向上平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的 2填空题（1）二次函数y22xmxn图象的顶点坐标为(1，2)，则m ，n 。（2）已知二次函数y2x+(m2)x2m，当m 时，函数图象的顶点在y轴上；当m 时，函数图象的顶点在x轴上；当m 时，函数图象经过原点。（3）函数y3(x2)25 的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当x 时，函数取最 值y ；当x 时，y随着x的增大而减小。

49、3求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象。（1）y2x2x3；（2）y16 x2x。4已知函数y2x2x3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：；）（2x.12x.2）（；1x2.3）（；3x0.4）（。2.2.2 二次函数的三种表示方式 通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：1一般式：ya2xbxc(a0)；2顶点式：ya(xh)2k(a0)，其中顶点坐标是(h，k)。除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示。为了研究另一种表示方式，我们先来

50、研究二次函数ya2xbxc(a0)的图象与x轴交点个数。当抛物线ya2xbxc(a0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有a2xbxc0。，并且方程的解就是抛物线ya2xbxc(a0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线ya2xbxc(a0)与x轴交点个数与方程的解的个数有关，而方程的解的个数又与方程的根的判别式b24ac有关，由此可知，抛物线ya2xbxc(a0)与x轴交点个数与根的判别式 b24ac存在下列关系：（1）当 0 时，抛物线ya2xbxc(a0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线ya2xbxc(a0)与x轴有两个交点，则 0 也成立。（2）当 0 时，抛物线y