初高中数学衔接教材18讲word版配答案(精编版).pdf

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1、初高中数学衔接教材 现有初高中数学知识存在以下“脱节”1立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。2因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。3二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。4初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。5二

2、次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。6图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。7含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。8几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，

3、而高中都要涉及。另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。目 录 1.1 数与式的运算 1.1.1 绝对值 1.1.2 乘法公式 1.1.3 二次根式 1.1.分式 12 分解因式 2.1 一元二次方程 2.1.1 根的判别式 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）22 二次函数 2.2.1 二次函数yax2bxc的图像和性质 2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用 2.3 方程与不等式 2.3.1 二元二次方程组解法 2.3.2 一元二次不等式解法 31 相似形 3.1.1平行线分线段成比例定理 3.1.2 相似形 3.2 三角形

4、3.2.1 三角形的“四心”3.2.2 几种特殊的三角形 33 圆 3.3.1 直线与圆，圆与圆的位置关系 3.3.2 点的轨迹 1.1 数与式的运算 1.1绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零即,0,|0,0,0.aaaaa a 绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离 两个数的差的绝对值的几何意义：ba表示在数轴上，数a和数b之间的距离 例 1 解不等式：13xx 4 解法一：由01x，得1x；由30 x，得3x；若1x，不等式可变为(1)(3)4xx，即24x4，解得 x0，又 x1，x0；若12x，不等式可

5、变为(1)(3)4xx，即 14，不存在满足条件的 x；若3x，不等式可变为(1)(3)4xx，即24x4，解得 x4 又 x3，点 B 之间的距离|PB|，即|PB|x3|所以，不等式 由|AB|2，可知 点 P 在点 C(坐标为 0)的左侧、或点 P 在点 D(坐标为 4)的右侧 x0，或 x4 练 习 1填空：（1）若5x，则 x=_；若4x，则 x=_.（2）如果5 ba，且1a，则 b_；若21c，则 c_.2选择题：下列叙述正确的是 （）（A）若ab，则ab （B）若ab，则ab （C）若ab，则ab （D）若ab，则ab 3化简：|x5|2x13|（x5）1.1.2.乘法公式 我

6、们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()ab abab；（2）完全平方公式 222()2abaabb 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()ab aabbab；（2）立方差公式 2233()()ab aabbab；（3）三数和平方公式 2222()2()abcabcabbcac；（4）两数和立方公式 33223()33abaa babb；（5）两数差立方公式 33223()33abaa babb 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明 例 1 计算：22(1)(1)(1)(1)xxxxxx 解法一：原式=2222(1)(

7、1)xxx =242(1)(1)xxx =61x 解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)xxxxxx =33(1)(1)xx =61x 例 2 已知4abc，4abbcac，求222abc的值 解：2222()2()8abcabcabbcac 练 习 1填空：（1）221111()9423abba（）；（2）(4m 22)164(mm )；（3）2222(2)4(abcabc )2选择题：（1）若212xmxk是一个完全平方式，则k等于 （）（A）2m （B）214m （C）213m （D）2116m（2）不论a，b为何实数，22248abab的值 （）（A）总是正数 （B）总是负数 （C

8、）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数 1.1.3二次根式 一般地，形如(0)a a 的代数式叫做二次根式根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如 232aabb，22ab等是无理式，而22212xx，222xxyy，2a等是有理式 1分母（子）有理化 把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如2与2，3 a与a，36与36，2 33 2与2 33 2，等等 一般地，a x与x，a xb y与a xb y，a xb与a xb互为

9、有理化因式 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程 在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式(0,0)a bab ab；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式 2二次根式2a的意义 2aa,0,0.aaa a 例1 将下列式子化为最简二次根式：（1）12b；（2）2(0)a b a；（3）64(0)x y x 解：（1）122 3bb

10、；（2）2(0)a baba b a；（3）633422(0)x yxyxy x 例 2 计算：3(33)解法一：3(33)333 3(33)(33)(33)3 3393 3(31)6 312 解法二：3(33)333 33(3 1)131 31(31)(31)312 例 3 试比较下列各组数的大小：（1）1211和1110；（2）264和2 26.解：（1）1211(1211)(1211)11211112111211，1110(1110)(1110)11110111101110，又12111110，12111110 （2）2 26(2 26)(2 26)22 26,12 262 26+又 4

11、2 2，64 62 2，2642 26.例 4 化简：20042005(32)(32)解：20042005(32)(32)20042004(32)(32)(32)2004(32)(32)(32)20041(32)32 例 5 化简：（1）94 5；（2）2212(01)xxx 解：（1）原式54 54 22(5)2 252 2(25)2552 （2）原式=21()xx1xx，01x，11xx，所以，原式1xx 例 6 已知3232,3232xy，求22353xxyy的值 解：223232(32)(32)103232xy，323213232xy，22223533()113 1011289xxyy

12、xyxy 练 习 1填空：（1）1313_ _；（2）若2(5)(3)(3)5x xxx，则x的取值范围是_ _ _；（3）4 246 543 962 150_ _；（4）若52x，则11111111xxxxxxxx _ _ 2选择题：等式22xxxx成立的条件是 （）（A）2x （B）0 x （C）2x （D）02x 3若22111aaba，求ab的值 4比较大小：2 3 5 4（填“”，或“”）1.1.分式 1分式的意义 形如AB的式子，若 B 中含有字母，且0B，则称AB为分式当 M0 时，分式AB具有下列性质：AA MBBM；AAMBBM 上述性质被称为分式的基本性质 2繁分式 像ab

13、cd，2mnpmnp这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式 例 1 若54(2)2xABx xxx，求常数,A B的值 解：(2)()2542(2)(2)(2)ABA xBxAB xAxxxx xx xx x，5,24,ABA 解得 2,3AB 例 2（1）试证：111(1)1n nnn（其中 n 是正整数）；（2）计算：1111 22 39 10；（3）证明：对任意大于1 的正整数n，有11112 33 4(1)2n n（1）证明：11(1)11(1)(1)nnnnn nn n，111(1)1n nnn（其中 n 是正整数）成立（2）解：由（1）可知 1111 22 39 10 111

14、11(1)()()223910 1110 910（3）证明：1112 33 4(1)n n 111111()()()23341nn 1121n，又 n2，且 n 是正整数，1n1 一定为正数，1112 33 4(1)n n12 例 3 设cea，且 e1，2c25ac2a20，求 e 的值 解：在 2c25ac2a20 两边同除以 a2，得 2e25e20，(2e1)(e2)0，e12 1，舍去；或 e2 e2 练 习 1填空题：对任意的正整数 n，1(2)n n (112nn)；2选择题：若223xyxy，则xy （）（A）（B）54 （C）45 （D）65 3正数,x y满足222xyxy

15、，求xyxy的值 4计算1111.1 22 33 499 100 习题 11 A 组 1解不等式：(1)13x；(2)327xx；(3)116xx 已知1xy，求333xyxy的值 3填空：（1）1819(23)(23)_；（2）若22(1)(1)2aa，则a的取值范围是_；（3）111111223344556_ B 组 1填空：（1）12a，13b，则2223352aabaabb_ _；（2）若2220 xxyy，则22223xxyyxy_ _；2已知：11,23xy，求yyxyxy的值 C 组 1选择题：（1）若2ababba ，则 （）（A）ab （B）ab （C）0ab （D）0ba（

16、2）计算1aa等于 （）（A）a （B）a （C）a （D）a 2解方程22112()3()10 xxxx 3计算：11111 32 43 59 11 4试证：对任意的正整数 n，有1111 2 32 3 4(1)(2)n nn 14 1.1.1绝对值 1（1）5；4 （2）4；1或3 2D 33x18 1.1.2乘法公式 1（1）1132ab （2）1 1,2 4 （3）424abacbc 2（1）D （2）A 1.1.3二次根式 1（1）32 （2）35x （3）8 6 （4）5 2C 31 4 1.1.4分式 112 2B 3 21 499100 习题 11 A 组 1（1）2x 或4x

17、 （2）4x3 （3）x3，或 x3 21 3（1）23（2）11a （3）61 B 组 1（1）37 （2）52，或15 24 C 组 1（1）C （2）C 2121,22xx 33655 4提示：1111(1)(2)2(1)(1)(2)n nnn nnn 12 分解因式 因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法 1十字相乘法 例 1 分解因式：（1）x23x2；（2）x24x12；（3）22()xab xyaby；（4）1xyxy 解：（1）如图 121，将二次项 x2分解成图中的两个 x 的积，再将常数项 2 分解成1 与2 的乘

18、积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x，就是 x23x2 中的一次项，所以，有 x23x2(x1)(x2)说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图 121 中的两个 x 用 1 来表示（如图122 所示）（2）由图 123，得 x24x12(x2)(x6)（3）由图 124，得 22()xab xyaby()()xayxby（4）1xyxy xy(xy)1(x1)(y+1)（如图 125 所示）2提取公因式法与分组分解法 例 2 分解因式：（1）32933xxx；（2）222456xxyyxy 解：（1）32933xxx=32(3)(39)xxx=2(3)3(3)xxx =2

19、(3)(3)xx 或 32933xxx32(331)8xxx3(1)8x33(1)2x 22(1)2(1)(1)22 xxx 2(3)(3)xx （2）222456xxyyxy=222(4)56xyxyy =22(4)(2)(3)xyxyy=(22)(3)xyxy 或 222456xxyyxy=22(2)(45)6xxyyxy =(2)()(45)6xy xyxy =(22)(3)xyxy 3关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a0)的因式分解 若关于 x 的方程20(0)axbxca的两个实数根是1x、2x，则二次三项式2(0)axbxc a就可分解为12()()a xxxx.例 3

20、把下列关于 x 的二次多项式分解因式：1 1 x y 图 125（1）221xx；（2）2244xxyy 解：（1）令221xx=0，则解得112x ，212x ，221xx=(12)(12)xx =(12)(12)xx （2）令2244xxyy=0，则解得1(22 2)xy ，1(22 2)xy ，2244xxyy=2(12)2(12)xy xy 练 习 1选择题：多项式22215xxyy的一个因式为 （）（A）25xy （B）3xy （C）3xy （D）5xy 2分解因式：（1）x26x8；（2）8a3b3；（3）x22x1；（4）4(1)(2)xyy yx 习题 12 1分解因式：（1）

21、31a；（2）424139xx；（3）22222bcabacbc；（4）2235294xxyyxy 2在实数范围内因式分解：（1）253xx；（2）22 23xx；（3）2234xxyy；（4）222(2)7(2)12xxxx 3ABC三边a，b，c满足222abcabbcca，试判定ABC的形状 4分解因式：x2x(a2a)1.2 分解因式 1 B 2（1）(x2)(x4)（2）22(2)(42)abaabb（3）(12)(12)xx （4）(2)(22)yxy 习题 12 1（1）211aaa （2）232311xxxx （3）2bcbca （4）3421yyxy 2（1）51351322

22、xx；（2）2525xx；（3）2727333xyxy；（4）3(1)(15)(15)xxxx 3等边三角形 4(1)()xaxa 2.1 一元二次方程 2.1.1 根的判别式 我们知道，对于一元二次方程 ax2bxc0（a0），用配方法可以将其变形为 2224()24bbacxaa 因为 a0，所以，4a20于是（1）当 b24ac0 时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 x1，2242bbaca；（2）当 b24ac0 时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x1x22ba；（3）当 b24ac0 时，方程的右端是一个负数，而方程的左边2()2bxa一定大于

23、或等于零，因此，原方程没有实数根 由此可知，一元二次方程 ax2bxc0（a0）的根的情况可以由 b24ac 来判定，我们把 b24ac叫做一元二次方程 ax2bxc0（a0）的根的判别式，通常用符号“”来表示 综上所述，对于一元二次方程 ax2bxc0（a0），有（1）当 0 时，方程有两个不相等的实数根 x1，2242bbaca；（2）当 0 时，方程有两个相等的实数根 x1x22ba；（3）当 0 时，方程没有实数根 例 1 判定下列关于 x 的方程的根的情况（其中 a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根 （1）x23x30；（2）x2ax10；（3）x2ax(a1)0；（4）

24、x22xa0 解：（1）3241330，方程没有实数根（2）该方程的根的判别式 a241(1)a240，所以方程一定有两个不等的实数根 2142aax，2242aax（3）由于该方程的根的判别式为 a241(a1)a24a4(a2)2，所以，当 a2 时，0，所以方程有两个相等的实数根 x1x21；当 a2 时，0，所以方程有两个不相等的实数根 x11，x2a1（3）由于该方程的根的判别式为 2241a44a4(1a)，所以 当 0，即 4(1a)0，即 a1 时，方程有两个不相等的实数根 111xa，211xa；当 0，即 a1 时，方程有两个相等的实数根 x1x21；当 0，即 a1 时，

25、方程没有实数根 说明：在第 3，4 小题中，方程的根的判别式的符号随着 a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对 a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程 ax2bxc0（a0）有两个实数根 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果 ax2bxc0（a0）的两根分别是 x1，x2，那么 x1x2ba，x1x2ca这一关系也被称为韦达定理 特别地，对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2pxq0，若 x1，x2是其两根，由

26、韦达定理可知 x1x2p，x1x2q，即 p(x1x2)，qx1x2，所以，方程 x2pxq0 可化为 x2(x1x2)程 x2pxq0 的两根，出 k 的值，再由方程解出另一个根但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出 k 的值 解法一：2 是方程的一个根，522k260，k7 所以，方程就为 5x27x60，解得 x12，x235 所以，方程的另的平方和比两个根的积大 21 得到关于 m 的方程，从而解得 m 的值但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因

27、此，其根的判别式应大于零 解：设 x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得 x1x22(m2)，x1x2m24 x12x22x1x221，(x1x2)23 x1x221，即 2(m2)23(m24)21，化简，得 m216m170，解得 m1，或 m17 当 m1 时，方程为 x26x50，0，满足题意；当 m17 时，方程为 x230 x2930，302412930，不合题意，舍去 综上，m17 说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的 m 的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大 21”求出 m 的值，取满足条件的 m 的值即可（1）在今后的解题过程

28、中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式 是否大于或大于零因为，韦达定理成立的前提是一元大方向个数分别为 x，y，利用二元方程求解出这两个数也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解 解法一：设这两个数分别是 x，y，则 xy4，xy12 由，得 y4x，代入，得 x(4x)12，即 x24x120，x12，x26 112,6,xy 或226,2.xy 因此，这两个数是2 和 6 解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x24x120 的两个根 解这个方程，得 x12，x26 所以，这两个数是2 和 6 说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简

29、捷 例 5 若 x1和 x2分别是一元二次方程 2x25x30 的两根 （1）求|x1x2|的值；（2）求221211xx的值；（3）x13x23 解：x1和 x2分别是一元二次方程 2x25x30 的两根，1252xx，1232x x ）22221212122222221212125325()2()3()2113722439()9()24xxxxx xxxxxx x （3）x13x23(x1x2)(x12x1x2x22)(x1x2)(x1x2)23x1x2 (52)(52)23(32)2158 说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简

30、便，我们可以探讨出其一般规律：设 x1和 x2分别是一元二次方程 ax2bxc0（a0），则，2242bbacxa，|x1x2|2224424222bbacbbacbacaaa 24|bacaa 于是有下面的结论：若 x1和 x2分别是一元二次方程 ax2bxc0（a0），则|x1x2|a（其中 b24ac）今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论 例 6 若关于 x 的一元二次方程 x2xa40 的一根大于零、另一根小于零，求实数 a 的取值范围 解：设 x1，x2是方程的两根，则 x1x2a40，且(1)24(a4)0 由得 a4，由得 a174 a 的取值范围是

31、 a4 练 习 1选择题：（1）方程222 330 xkxk的 习题 2.1 A 组 1选择题:（1）已知关于 x 的方程 x2kx20 的一个根是 1，则它的另一个根是（）（A）3 （B）3 （C）2 （D）2（2）下列四个说法：方程 x22x70 的两根之和为2，两根之积为7；方程 x22x70 的两根之和为2，两根之积为 7；方程 3 x270 的两根之和为 0，两根之积为73；方程 3 x22x0 的两根之和为2，两根之积为 0 其中正确说法的个数是 （）（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个（3）关于 x 的一元二次方程 ax25xa2a0 的一个根是 0，则 a 的

32、值是（）（A）0 （B）1 （C）1 （D）0，或1 2填空:（1）方程 kx24x10 的两根之和为2，则 k （2）方程 2x2x40 的两根为，则 22 （3）已知关于 x 的方程 x2ax3a0 的一个根是2，则它的另一个根是 （4）方程 2x22x10 的两根为 x1和 x2，则|x1x2|3试判定当 m 取何值时，关于 x 的一元二次方程 m2x2(2m1)x10 有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程 x27x10 各根的相反数 B 组 1选择题:若 关 于x的 方 程x2(k2 1)x k 1 0的 两 根 互 为 相

33、反 数，则k的 值 为 （）（A）1，或1 （B）1 （C）1 （D）0 2填空:（1）若 m，n 是方程 x22005x10 的两个实数根，则 m2nmn2mn 的值等于 （2）如果 a，b 是方程 x2x10 的两个实数根，那么代数式 a3a2bab2b3的值是 3已知关于 x 的方程 x2kx20 41 提示：(x13)(x23)x1 x23(x1x2)9 习题 21 2（1）2006 提示：mn2005，mn1，m2nmn2mnmn(mn1)1(20051)2006 （2）3 提示；ab1，ab1，a3a2bab2b3a2(ab)b2(ab)(ab)(a2b2)(ab)(ab)22ab

34、(1)(1)22(1)3 3（1）(k)241(2)k280，方程一定有两个不相等的实数根 （2）x1x2k，x1x22，2k2，即 k1 4（1）|x1x2|24|baca，122xx2ba；（2）x13x23333abcba 5|x1x2|1642 42mm，m3把 m3 代入方程，0，满足题意，m3 C 组 1（1）B （2）A （3）C 提整数的实数 k 的整数值为2，3 和5（3）当 k2 时，x1x21，x1x218，2，得1221xxxx28，即16，2610，32 2 4（1）22(1)20m；（2）x1x224m0，x10，x20，或 x10，x20 若 x10，x20，则

35、x2x12，x1x22，m22，m4此时，方程为 x22x40，115x ，215x 若 x10，x20，则x2x12，x1x22，m22，m0此时，方程为 x220，x10，x22 5设方程的两根为 x1，x2，则 x1x21，x1x2a，由一根大于 1、另一根小于 1，得 (x11)(x21)2.2.1 二次函数 yax2bxc 的图像和性质 问题 1 函数 yax2与 yx2的图象之间存在怎样的关？为了研究这一问题，我们可以先画出 y2x2，y12x2，y2x2的图象，通过这些函数图象与函数 yx2的图象之间的关系，推导出函数 yax2与 yx2的图象之间所存在的关系 先画出函数 yx2

36、，y2x2的图象 先列表：x 3 2 1 0 1 2 3 x2 9 4 1 0 1 4 9 2x2 18 8 2 0 2 8 18 从表中不难看出，要得到 2x2的值，只要把相应的 x2的值扩大两倍就可以了 再描点、连线，就分别得到了函数 yx2，y2x2的图象（如图 21 所示），从图21 我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数 y2x2的图象可以由函数 yx2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到 同学们也可以象之间的关系 通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数 yax2(a0)的图象可以由 yx2的图象各点的纵坐标变为原来的 a 倍得到在二次函数 yax2(a0)中，二次项系数

37、 a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小 问题 2 函数 ya(xh)2k 与 yax2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系 同学们可以作出函数 y2(x1)21 与 y2x2的图象（如图 22 所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数 y2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数 y2(x1)21 的图象 这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点 类似地，还可以通过画函数 y3x2，y3(x1)21 的图象，研究它们图象之间的相互关系 通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数

38、ya(xh)2k(a0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”由上面的结论，我们可以得到研究二次函数 yax2bxc(a0)的图象的方法：由于 yax2bxca(x2bxa)ca(x2bxa224ba)c24ba 图 2.2-2 x y O 1 y2x2 y2(x1)2 y2(x1)21 yx2 y2x2 图 2.2-1 x O y 224()24bbaca xaa，所以，yax2bxc(a0)的图象可以看作是将函数 yax2的图象作左右平移、上下平移得到的，

39、于是，二次函数 yax2bxc(a0)具有下列性质：（1）当 a0 时，函数 yax2bxc 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24bacbaa，对称轴为直线 x2ba；当 x2ba时，y 随着 x 的增大而减小；当 x2ba时，y 随着 x 的增大而增大；当 x2ba时，函数取最小值 y244acba（2）当 a0 时，函数 yax2bxc 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24bacbaa，对称轴为直线 x2ba；当 x2ba时，y 随着 x 的增大而增大；当 x2ba时，y 随着 x 的增大而减小；当 x2ba时，函数取最大值 y244acba 上述二次函数的性质可以分别通过图 223

40、和图 224 直观地表示出来因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题 例 1 求二次函数 y3x26x1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象 解：y3x26x13(x1)24，函数图象的开口向 例 2 某种产品的成本是 120 元/件，试销阶段每件产品的售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间关系如下表所示：x/元 130 150 165 y/件 70 50 35 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销

41、售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？分析：由于每天的利润日销售量 y(销售价 x120)，日销售量 y 又是销售价 x 的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价 x 之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值 解：由于 设每天的利润为 z（元），则 z(x+200)(x120)x2320 x24000 (x160)21600，当 x160 时，z 取最大值 1600 答：当售价为 160 元/件时，每天的利润最大，为 1600 元 例 3 把二次函数 yx2bxc 的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到函数 y

42、x2的图像，求 b，c 的值 解法一：yx2bxc(x+2b)224bc，把它的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到22(4)224bbyxc的图像，也就是函数 yx2的图像，所以，240,220,4bbc 解得 b8，c14 解法二：把二次函数 yx2bxc 的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到函数 yx2的图像，等价于把二次函数 yx2的图像向下平移 2 个单位，再向右平移 4 个单位，得到函数 yx2bxc 的图像 由于把二次函数 yx2的图像向下平移 2 个单位，再向右平移 4 个单位，得到函数 y(x4)22 的图像，即为 yx28x14 的图像

43、，函数 yx28x14 与函数 yx2bxc 表示同一个函数，b8，c14 说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律 这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题 例 4 已知函数 yx2，2xa，其中 a2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量 x 的值 分析：本例中函数自变量的范围是一

44、个变化的范围，需要对 a 的取值进行讨论 解：（1）当 a2 时，函数 yx2的图象仅仅对应着一个点(2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是 4，此时 x2；（2）当2a0 时，由图 226可知，当 x2 时，函数取最大值 y4；当 xa 时，函数取最小值 ya2；（3）当 0a2 时，由图 226可知，当 x2 时，函数取最大值 y4；当 x0 时，函数取最小值 y0；（4）当 a2 时，由图 226可知，当 xa 时，函数取最大值 ya2；当 x0 时，函数取最小值y0 说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对 a 的所有可能情形进行讨论此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任

45、意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题 练 习 1选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （）（A）y2x2 （B）y2x24x2（C）y2x21 （D）y2x24x （2）函数 y2(x1)22 是将函数 y2x2 （）（A）向左平移 1 个单位、再向上平移 2 个单位得到的 （B）向右平移 2 个单位、再向上平移 1 个单位得到的 （C）向下平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的 （D）向上平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的 2填空题（1）二次函数 y2x2mxn 图象的顶点坐标为(1，2)，则 m ，n

46、（2）已知二次函数 yx2+(m2)x2m，当 m 时，函数图象的顶点在 y 轴上；当 m 时，函数图象的顶点在 x 轴上；当 m 时，函数图象经过原点（3）函数 y3(x2)25 的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当 x 时，函数取最 值 y ；当 x 时，y 随着 x 的增大而减小 3求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及 y 随 x 的变化情况，并画出其图象 （1）yx22x3；（2）y16 xx2 4已知函数 yx22x3，当自变量 x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量 x 的值：（1）x2；（2）x2

47、；（3）2x1；（4）0 x3 2.2.2 二次函数的三种表示方式 通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：1一般式：yax2bxc(a0)；2顶点式：ya(xh)2k(a0)，其中顶点坐标是(h，k)除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数 yax2bxc(a0)的图象与 x 轴交点个数 当抛物线 yax2bxc(a0)与 x 轴相交时，其函数值为零，于是有 ax2bxc0 并且方程的解就是抛物线 yax2bxc(a0)与 x 轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线 yax2bxc(a0)与 x 轴交点

48、个数与方程的解的个数有关，而方程的解的个数又与方程的根的判别式 b24ac 有关，由此可知，抛物线 yax2bxc(a0)与 x 轴交点个数与根的判别式 b24ac 存在下列关系：（1）当 0 时，抛物线 yax2bxc(a0)与 x 轴有两个交点；反过来，若抛物线 yax2bxc(a0)与 x 轴有两个交点，则 0 也成立（2）当 0 时，抛物线 yax2bxc(a0)与 x 轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线 yax2bxc(a0)与 x 轴有一个交点，则 0 也成立（3）当 0 时，抛物线 yax2bxc(a0)与 x 轴没有交点；反过来，若抛物线 yax2bxc(a0)与

49、x 轴没有交点，则 0 也成立 于是，若抛物线 yax2bxc(a0)与 x 轴有两个交点 A(x1，0)，B(x2，0)，则 x1，x2是方程 ax2bxc0 的两根，所以 x1x2ba，x1x2ca，即 ba(x1x2)，cax1x2 所以，yax2bxca(2bcxxaa)=ax2(x1x2)xx1x2 a(xx1)(xx2)由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线 yax2bxc(a0)与 x 轴交于 A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为 ya(xx1)(xx2)(a0)这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3交点式：ya(xx1)(xx2)(a0)，其中

50、 x1，x2是二次函数图象与 x 轴交点的横坐标 今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题 例 1 已知某二次函数的最大值为 2，图像的顶点在直线 yx1 上，并且图象经过点（3，1），求二次函数的解析式 分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数 a 解：二次函数的最大值为 2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，顶点的纵坐标为 2 又顶点在直线 yx1 上，所以，2x1，x1 顶点坐标是（1，2）设该二次函数的解析式为2(2)1(0)ya