2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学试题(文科)word解析版.pdf

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1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文）（北京卷）本试卷满分 150 分，考试时 120 分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题（共8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1已知集合 A1,0,1，Bx|1xb，则()Aacbc B.1ab2 Da3b3 答案 D 解析 当 ab 时，a3b3成立A 中对 c0 不成立B 项取 a1，b1，则1ab2不成立 3下列函数中，既是偶函数又在区间(0，)上单调递减的是()Ay1x Byex Cyx21 Dylg|x|答案 C 解析 A

2、 中为奇函数，B 中 yex非奇非偶函数yx21 是偶函数，且在(0，)上递减 4在复平面内，复数 i(2i)对应的点位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案 A 解析 i(2i)2i1 对应点(1,2)在第一象限 5在ABC 中，a3，b5，sin A13，则 sin B 等于()A.15 B.59 C.53 D1 答案 B 解析 由正弦定理，asin Absin B，sin Bbasin A531359.6执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为()A1 B.23 C.1321 D.610987 答案 C 解析 执行一次循环后 S23，i1，执行第二次循环后，S1321

3、，i22，退出循环体，输出 S 的值为1321.7双曲线 x2y2m1 的离心率大于 2的充分必要条件是()是否结束输出Si2i=i+1S=S2+12S+1开始i=0,S=1Am12 Bm1 Cm1 Dm2 答案 C 解析 由 x2y2m1 知，a1，b m，c2a2b21m，e2c2a21m，由 e 2，得 1m2，m1.8.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 为对角线 BD1的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有()A3 个 B4 个 C5 个 D6 个 答案 B 解析 设正方体边长为 1，不同取值为 PAPCPB163，PA1PDPC11，PB33，PD12 33共有 4

4、 个 第二部分 二、填空题 9若抛物线 y22px 的焦点坐标为(1,0)，则 p_；准线方程为_ 答案 2 x1 解析 y22px 的焦点 Fp2，0.p2，准线 l：xp21.10某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为_ 答案 3 解析 由三视图知，四棱锥的高 h1，底面是边长为 3的正方形，四棱锥的体积 V13Sh133213.11若等比数列an满足 a2a420，a3a540，则公比 q_；前 n 项和 Sn_.答案 2 2n12 解析 设等比数列的公比为 q，由 a2a420，a3a540.20q40，且 a1qa1q320，解之得q2，且 a12.因此 Sna11qn122n1

5、2.12设 D 为不等式组 x0，2xy0，xy30表示的平面区域区域 D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为_ 答案 25 5 解析 PACBDC1B1D1A1 作不等式组表示的平面区域，如图所示(OAB 及其内部)，易观察知，所求最小值为点 P(1,0)到2xy0 的距离 d|210|221225 5.13函数 f(x)log12x，x1，2x，x1的值域为_ 答案(，2)解析 当 x1 时，log12x0；当 x1 时，02x2，f(x)的值域为(，0(0,2)(，2)14 已知点 A(1，1)，B(3,0)，C(2,1)若平面区域 D 由所有满足 APABAC(12,01)的点

6、P 组成，则 D 的面积为_ 答案 3 解析 设 P(x，y)，且AB(2,1)，AC(1,2)OPOAAP(1，1)(2,1)(1,2)x12y12 32yx332xy3 又 12,01 0 x2y362xy9表示的可行域是平行四边形及内部 可求其面积 S3.三、解答题（共 6 小题，共 80 分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤）15（本小题共 13 分）已知函数21()(2cos1)sin2cos42f xxxx（1）求()f x的最小正周期及最大值。（2）若(,)2，且2()2f，求的值。解(1)f(x)(2cos2x1)sin 2x12cos 4x cos 2xsin 2x12co

7、s 4x 12(sin 4xcos 4x)22sin4x4 f(x)的最小正周期 T2，最大值为22.(2)由 f()22，得 sin441.2，则94440 时，f(x)0，f(x)在(0，)递增 当 x0 时，f(x)1 时曲线 yf(x)与直线 yb 有且仅有两个不同交点 19直线 ykxm(m0)与椭圆 W：x24y21 相交于 A、C 两点，O 是坐标原点(1)当点 B 的坐标为(0,1)，且四边形 OABC 为菱形时，求 AC 的长；(2)当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时，证明：四边形 OABC 不可能为菱形 (1)解 四边形 OABC 为菱形，则 AC 与 OB 相互垂直

8、平分 由于 O(0,0)，B(0,1)设点 At，12，代入椭圆方程得t24141 则 t 3，故|AC|2 3.(2)证明 假设四边形 OABC 为菱形，因为点 B 不是 W 的顶点，且 ACOB，所以 k0.由 x24y24，ykxm，消 y 并整理得(14k2)x28kmx4m240.设 A(x1，y1)，C(x2，y2)，则 x1x224km14k2，y2y22kx1x22mm14k2.所以 AC 的中点为 M4km14k2，m14k2.因为 M 为 AC 和 OB 的交点，且 m0，k0，所以直线 OB 的斜率为14k，因为 k14k141，所以 AC 与 OB 不垂直 所以 OAB

9、C 不是菱形，与假设矛盾 所以当点 B 不是 W 的顶点时，四边形 OABC 不可能是菱形 20给定数列 a1，a2，an.对 i1,2，n1，该数列前 i 项的最大值记为 Ai，后 ni 项 ai1，ai2，an的最小值记为 Bi，diAiBi.(1)设数列an为 3,4,7,1，写出 d1，d2，d3的值；(2)设 a1，a2，an(n4)是公比大于 1 的等比数列，且 a10.证明：d1，d2，dn1是等比数列(3)设 d1，d2，dn1是公差大于 0 的等差数列，且 d10.证明：a1，a2，an1是等差数列 (1)解 d12，d23，d36.(2)证明 因为 a10，公比 q1.数列

10、 a1，a2，a3，an(n4)是递增数列 因此，对 i1,2，n1，Aiai，Biai1，diAiBiaiai1a1qn1(1q)因此 di0，且di1diq(i1,2，n2)，故数列 d1，d2，dn1是等比数列(3)证明 设 d 为 d1，d2，dn1的公差，且 d0，对于 1in2，因为 BiBi1，d0.Ai1Bi1di1BididBidiAi，又因为 Ai1maxAi，ai1，所以 ai1Ai1Aiai.从而 a1，a2，an1是递增数列，因此 Aiai(i1,2，n1)又因为 B1A1d1a1d1a1，所以 B1a1a2an1.因此 anB1，所以 B1B2Bn1an.所以 aiAiBidiandi，因此对于 i1,2，n2 都有 ai1aidi1did.故数列 a1，a2，a3，an1是等差数列