2013年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学试题(文科)word解析版.pdf

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1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）详细解析 一选择题选择题：本大题共 10 小题。每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设i是虚数单位，若复数10()3aaRi是纯虚数，则a的值为 （）（A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3【答案】D【解析】iaiaiaiiaiiiaia)3()3(10)3(109)3(10)3)(3()3(103102，所以 a=3，故选择 D【考点定位】考查纯虚数的概念，及复数的运算，属于简单题.（2）已知|10,2,1,0,1Ax xB ，则()RC AB （）（A）2,1（B）2（C）1,0,

2、1（D）0,1【答案】A【解析】A：1x，1|xxACR，2,1)(BACR，所以答案选 A【考点定位】考查集合的交集和补集，属于简单题.（3）如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（A）34 （B）16 （C）1112 （D）2524 【答案】C【解析】21210,0,2ssn；434121,21,4ssn；12116143,43,6ssn 1211,8sn，输出 所以答案选择 C【考点定位】本题考查算法框图的识别，逻辑思维，属于中等难题.（4）“(21)0 xx”是“0 x”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】B【解析

3、】210,0)12(或xxx，所以答案选择 B【考点定位】考查充分条件和必要条件，属于简单题.（5）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被 录用的概率为 （A）23 (B)25 (C)35 （D）910【答案】D【解析】总的可能性有 10 种，甲被录用乙没被录用的可能性 3 种，乙被录用甲没被录用的可能性 3 种，甲乙都被录用的可能性 3 种，所以最后的概率333110p【考点定位】考查古典概型的概念，以及对一些常见问题的分析，简单题.（6）直线2550 xy 被圆22240 xyxy截得的弦长为 （A）1 （B）2 （C）4 （D）4 6【答

4、案】C【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离1+4-5+5=15d，半径5r，所以最后弦长为222(5)14.【考点定位】考查解析几何初步知识，直线与圆的位置关系，点到直线的距离，简单题.（7）设nS为等差数列 na的前n项和，8374,2Sa a，则9a=（A）6 （B）4 （C）2 （D）2【答案】A【解析】188333636978()4420226aaSaaaaaadaad 【考点定位】考查等差数列通项公式和前 n 项公式的应用，以及数列基本量的求解.(8)函数()yf x的图像如图所示，在区间,a b上可找到(2)n n 个不同的数12,nx xx，使得1212()()()nnf x

5、f xf xxxx，则n的取值范围为 (A)2,3 (B)2,3,4 (C)3,4 (D)3,4,5 【答案】B【解析】1111()()00f xf xxx表示11(,()xf x到原点的斜率；1212()()()nnf xf xf xxxx表示1122(,()(,()(,()nnxf xxf xxf x，与原点连线的斜率，而1122(,()(,()(,()nnxf xxf xxf x，在曲线图像上，故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点有几个，很明显有 3 个，故选 B.【考点定位】考查数学中的转化思想，对函数的图像认识.(9)设ABC的内角,A B C所对边的长分别为,a b c，若2,3s

6、in5sinbcaAB,则角C=(A)3 (B)23 (C)34 (D)56 【答案】B【解析】BAsin5sin3由正弦定理，所以baba35,53即；因为acb2，所以ac37，212cos222abcbaC，所以32C，答案选择 B【考点定位】考查正弦定理和余弦定理，属于中等难度.（10）已知函数32()f xxaxbxc有两个极值点12,x x，若112()f xxx，则关于x的方程23()2()0f xaf xb的不同实根个数为 （A）3 (B)4 (C)5 (D)6 【答案】A【解析】2()32fxxaxb，12,x x是方程2320 xaxb的两根，由23()2()0f xaf

7、xb，则又两个()f x使得等式成立，11()xf x，211()xxf x，其函数图象如下：如图则有 3 个交点，故选 A.【考点定位】考查函数零点的概念，以及对嵌套型函数的理解.二填空题（11）函数21ln(1)1yxx的定义域为_.【答案】0,1【解析】2110011011xxxxx 或，求交集之后得x的取值范围0,1【考点定位】考查函数定义域的求解，对数真数位置大于 0，分母不为 0，偶次根式底下大于等于 0.（12）若非负数变量,x y满足约束条件124xyxy，则xy的最大值为_.【答案】4【解析】由题意约束条件的图像如下：当直线经过(4,0)时，404zxy，取得最大值.【考点定

8、位】考查线性规划求最值的问题，要熟练掌握约束条件的图像画法，以及判断何时z取最大.（13）若非零向量,a b满足32abab，则,a b夹角的余弦值为_.【答案】13【解析】等式平方得：2222944ababa b 则22244|cosaaba b，即22044 3|cosbb 得1cos3 【考点定位】考查向量模长，向量数量积的运算，向量最基本的化简.（14）定义在R上的函数()f x满足(1)2()f xf x.若当01x时。()(1)f xxx，则当10 x 时，()f x=_.【答案】(1)()2x xf x 【解析】当10 x，则011x，故(1)(1)(11)(1)f xxxx x

9、 又(1)2()f xf x，所以(1)()2x xf x 【考点定位】考查抽象函数解析式的求解.（15）如图，正方体1111ABCDABC D的棱长为 1，P为BC的中点，Q为线段1CC上的动点，过点,A P Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）。当102CQ时，S为四边形 当12CQ 时，S为等腰梯形 当34CQ 时，S与11C D的交点R满足113C R 当314CQ时，S为六边形 当1CQ 时，S的面积为62【答案】【解析】（1）12CQ，S 等腰梯形，正确，图如下：（2）1CQ，S 是菱形，面积为36222，正确，图如下：（3）34CQ，

10、画图如下：113C R，正确 （4）314CQ，如图是五边形，不正确；（5）102CQ，如下图，是四边形，故正确 【考点定位】考查立体几何中关于切割的问题，以及如何确定平面。三解答题（16）（本小题满分 12 分）设函数()sinsin()3f xxx.（）求()f x的最小值，并求使()f x取得最小值的x的集合；（）不画图，说明函数()yf x的图像可由sinyx的图象经过怎样的变化得到.【解析】（1）3sincos3cossinsin)(xxxxf xxxxxcos23sin23cos23sin21sin )6sin(3)6sin()23()23(22xx 当1)6sin(x时，3)(m

11、inxf，此时)(,234,2236Zkkxkx 所以，)(xf的最小值为3，此时 x 的集合,234|Zkkxx.(2)xysin横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得xysin3；然后xysin3向左平移6个单位，得)6sin(3)(xxf【考点定位】本题主要考查三角恒等变形、三角函数的图像及性质与三角函数图像的变换.考查逻辑推理和运算求解能力，中等难度.（17）（本小题满分 12 分）为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取 30 名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如下：甲 乙 7 4 5 5 3 3 2 5 3

12、3 8 5 5 4 3 3 3 1 0 0 6 0 6 9 1 1 2 2 3 3 5 8 6 6 2 2 1 1 0 0 7 0 0 2 2 2 3 3 6 6 9 7 5 4 4 2 8 1 1 5 5 8 2 0 9 0 （）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为 0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60 分及 60 分以上为及格）；（）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为12,x x，估计12xx的值.【解析】（1）30300.056000.05nn 255306p （2）1740135042460 92670 92280 529

13、0230 x =208430 25401450 3 1760 103370 102080 59030 x =206930 2120842069150.5303030 xx 【考点定位】考查随机抽样与茎叶图等统计学基本知识，考查用样本估计总体的思想性以及数据分析处理能力.（18）（本小题满分 12 分）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为 2 的菱形，60BAD.已知2,6PBPDPA.（）证明：PCBD（）若E为PA的中点，求三菱锥PBCE的体积.【解析】（1）证明：连接,BD AC交于O点 PBPD POBD 又ABCD是菱形 BDAC 而ACPOO BD 面PAC BDPC (2)

14、由（1）BD面PAC 45sin3262121PACPECSS =32236 111132322P BECB PECPECVVSBO 【考点定位】考查空间直线与直线，直线与平面的位置，.三棱锥体积等基础知识和基本技能，考查空间观念，推理论证能力和运算能力.（19）（本小题满分 13 分）设数列 na满足12a，248aa,且对任意*nN，函数 1212()()cos-sinnnnnnf xaaaxax ax 满足()02f ()求数列 na的通项公式；（）若122nnnaba（），求数列 nb的前n项和nS.【解析】由12a 248aa 1212()()cos-sinnnnnnf xaaaxa

15、x ax 1212-sin-cosnnnnnfxaaaax ax（）121()-02nnnnfaaaa 所以，122nnnaaa na是等差数列.而12a 34a 1d 2-1 11nann（）（2）111122121222nnnannbann（）（）（）111-2 2122121-2nnnnS（）（）21=31-2131-2nnn nnn（）【考点定位】考查函数的求导法则和求导公式，等差、等比数列的性质和数列基本量的求解.并考查逻辑推理能力和运算能力.（20）（本小题满分 13 分）设函数22()(1)f xaxax，其中0a，区间|()0Ix f x.（）求I的长度（注：区间(,)的长度定

16、义为；（）给定常数0,1k，当11kak 时，求I长度的最小值.【解析】（1）令2()-10f xx aax（）解得 10 x 221axa 2|01aIxxa I的长度212-1axxa（2）0,1k 则0112kak 由（1）21aIa 22210(1)aIa，则01a 故I关于a在(1,1)k上单调递增，在(1,1)k上单调递减.1221-1-2211-kkIkkk 22111kIk（）min21-22kIkk【考点定位】考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用，并考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力.（21）（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的焦

17、距为 4，且过点(23)P，.（）求椭圆 C 的方程；（）设0000(,)(0)Q xyx y 为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E。取点(0,2 2)A,连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D。点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG，问这样作出的直线QG是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点？并说明理由.【解析】（1）因为椭圆过点(23)P，22231ab 且222abc 28a 24b 24c 椭圆 C 的方程是22184xy（2）由题意，各点的坐标如上图所示，则QG的直线方程：0000808xxyyxx 化简得20000(8)80 x y xxyy 又220028xy，所以0028

18、0 x xy y带入22184xy 求得最后0 所以直线QG与椭圆只有一个公共点.【考点定位】考查椭圆的标准方程及其几何性质，直线和椭圆的位置关系，并考查数形结合思想，逻辑推理能力及运算能力.试卷总评 2013 年安徽文科卷相对于 2012 年安徽文科卷的难度来说有所加大。从试卷命题特点方面：（1）对主干知识（函数、数列、圆锥曲线、立体几何、三角函数、概率统计）的重点考查，尤其是函数，考了四道小题，一道大题，而且函数小题两道是以压轴题的形式出现；（2）注重能力的考查：一方面在知识的交汇处命题，如第 19 题；另一方面重视对数学能力和思想方法的考查，如计算能力考查（第 9,13,17,21 题）

19、，转化思想的考查（第8,10,20 题），数形结合的考查（第 6，8，10 题）等等；（3）注重理论联系实际，如第 17 题概率统计；（4）注重对创新意识的考查，如第 21 题。从试卷难度方面：选择填空跟以往的试卷一样从易到难，但在做的过程中不是那么顺畅。第 1 题考查复数，难度不大；第 2 题考查集合的交与补以及不等式求法；第 3 题程序框图，简单；第 4 题充分必要条件，容易题；第 5 题古典概型，只要考生能够理解题意，基本没问题；第 6 题直线与圆的方程，考查圆中弦长的求法，第 7 题等差数列基本量的求解，简单；第 11 题考查函数定义域的求法，简单；第 12 题常规的线性规划题，难度不

20、大；第 14 题，抽象函数解析式的求解，难度中等。选择题第 8,9,10 题，填空题第 13,15 题难度加大。第 8 题考查函数转化思想以及数形结合，难度很大，考生不一定能想到方法；第 9 题三角函数，对正弦余弦定理的考查，计算量大；第 10 题函数零点的考查，难度很大，不容易做好；第 13 题平面向量，数量积的运算，需要细心；第 15 题立体几何的截面问题，是考生平时学习中最不容易弄明白的地方。大题第 16 题三角函数：容易，主要考查恒等变形，三角函数图像变换，考生需注意图像变换时语言的描叙；大题第 17 题概率统计：难度不大，对计算的要求很高，在那种高压环境下必须有个良好的心态才能做好；大题第 18 题立体几何：难度中等，常规性的考查了三棱锥体积的求法，在选择顶点的过程中，需要考生注意看清垂直关系；大题第 19题数列：综合性强，将函数求导利用到数列求通项中，只要学生能够细心，拿下这道题还是没有问题的；大题第 20 题函数：题型新颖，考查考生对新问题冷静处理的能力，对区间长度的准确理解；大题第 21 题：难度较大，计算量大，点比较多，也容易把考生绕进去，要将这题做好，需要一定的计算基本功。