重复字数 (33).docx

《重复字数 (33).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《重复字数 (33).docx（7页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2在概率论与数理统计中，正态分布是极为常见且重要的一种分布。在学术理论中，我们把研究在什么条件下，大量独立随机变量和的分布以正态分布为极限的这一类定理称为中心极限定理。在实际生活中，我们会发现很多的随机变量往往是服从正态分布的。此外，一些随机变量它们并不服从正态分布，但是它们变量与变量之间是相互独立，在这么的情况下，我们发现它们和的分布也总是近似服从正态分布。在正态分布存在地如此广泛的情况下，我们不得不去思考，客观实际中许多由大量相互独立的随机因素的综合影响所形成的随机变量，它们的又有什么样的客观规律。中心极限定理的发展是极为源远流长的。自18世纪由棣莫佛提出发展至今，其内容已非常丰富。中心极

2、限定理已经不再局限于概率论中的重要章节，在数理统计中，作为大样本统计推断的理论基础，它也发挥着巨大的作用。某些随机现象，它是在大量的随机因素的综合影响下所形成的，而这些影响因素其中的每一个因素都是相互独立的，且每一个因素在总的影响中所起到的作用都是微小的，在这种情况下的随机现象会的分布近似地服从正态分布，而这就是中心极限定理要证明的东西。由中心极限定理，我们可知，在一般的情况下，当足够大时个独立随机变量的和的极限分布总是服从正态分布的，而不论这些独立随机变量，彼此是服从于什么分布.因此，它不仅解释了为何在现实中，那么多的数量指标的分布都服从或近乎于似服从正态分布这一确凿的事实，而且还提供给了人

3、们一个计算独立随机变量之和的近似极限概率分布的简单而有效的方法。改5中心极限定理阐述了大批量随机变量积累分布函数逐点收敛到正态分布的积累分布函数的条件。该组定理是以数理统计学和误差分析为理论基础，讨论随机变量序列部分和分布渐近于正态分布的一类定理。段6落修改保险是一种以合同的形式确定双方经济关系，以单位和个人交纳保险费所建立起来的保险基金，对保险人在保险合同所约束的时间段内在保险合同所规定的赔付范围内发生意外事故所造成的损失，进行经济赔付或补偿的一种经济形式。一般商品的价格是是取决于实际成本跟产品定位，而保险保费是基于对未来风险预测，它的价格制定在实际成本发生之前的。因此，保险保费的制定就需要

4、对未来发生的成本加以预测和估算，它需要应用数理统计原理，其基本思想是运用大数定律及中心极限定理对保险保费进行厘定。而在实际生活中，影响着保险的预期利润和偿付能力有着众多的随机因素，比如交通事故发生率、人口死亡率。显然，每一个随机因素是相互独立的，且每个因素的在总结果中的影响作用都是很微小的。段落修改7在生活中比如从事高层大厦清洁作业的清洁工们有着一定的安全风险，这时候就需要一个计算他们发生危险后赔偿金额的风险单位。我们把发生一次风险事故可能造成的事物跟人的最大损失范围称之为风险单位。保险人可以根据风险单位即风险独立的单位向每个被保险人收取同样的保费。根据中心极限定理的说明，保险公司收取保费的原

5、则含有个风险单位的随机样本的平均损失符合正态分布，这个结论对保险保费的厘定有着极为重要的意义。因而在根据多重的损失统计信息精算出预期损失金额与预期赔偿概率，保险公司在制定出合理的保险保费的基础上同时也应尽可能多地承保风险单位。王东红在大数定律和中心极限定理在保险业中的重要应用一文中提到2004年5月1日执行的新的道路安全交通法，。2011年，王丙参，魏艳华，林朱在大数定律及中心极限定理在保险中的应用一文中，介绍了中心极限定理及大数定理与保险的关系，进而分别讲述中心极限定理在保险公司的承保业务量、责任准备金、安全附加系数、计算保险单位数、盈利及自留额中的运用。同时，根据某地区人身、交通、教育、投

6、资等各种情况，设计既有利于投保人又使保险公司能够达到期望收益的最佳保险品种。其次，由于纯保险的估算受到未来风险大小的影响,安全附加量在实际估算纯保险费起到了重要的作用，因此要利用得到的数据，从安全附加量与偿付能力关系看到，安全附加量对提高保险公司的偿付稳定性有着非常重要的作用。为了保证保险公司在赔偿时有足够的责任保证金，保险公司在每年年终结算时，会从保费的收入和利润中提前存留。而极限定理的阐述告诉了我们，这些大批随机因素作用的现象一定会收敛于某个正态分布的概率模型。在现实生活中，有许多具有上述特点的随机变量，最为典型的大炮的射程由多种因素影响所决定，比如说炮身结构，炮弹的形状，炮弹内部炸药的重

7、量，由此可以看出，随机变量和的极限的研究对于明确随机现象的实质有着相当重要的价值。同时许多观察表明，若一个随机变量是由大量相关独立的随机因素的综合影响所构成的，而其中每一个随机因素的单独作用是微小的，则这样的随机变量通常服从或近似服从正态分布。这种现象就是中心极限定理产生的客观背景。19在客观实际中有许多随机变量，它们是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的。而其中每一个别因素在总的影响中所起的作用都是微小的。这种随机变量往往近似地服从正态分布。21设随机变量相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差：，则随机变量这和的标准化变量这就是说，均值为，方差为的独立同分布的随机变量之和的标准

8、化变量，当n充分大时，有25将N（0,1）左端改写成，这样，上述结果可以写成：当n充分大时，这是独立同分布中心极限定理结果的，另一种形式。这就是说，均值为，方差为独立同分布的随机变量的算术平方，当n充分大时近似地服从均值，方差为的正态分布。这一结果是数理统计中大样本统计推断的基础。30设随机变量相互独立，它们具有数学期望和方差=36定理表明，在定理的条件下，随机变量。这就是，无论各个随机变量服从什么分布，只要满足定理的条件，那么它们的和当n很大时，就近似地服从正态分布。在很多问题中，所考虑的随机变量可以表示成很多独立的随机变量之和，例如，在任一指定时刻，一个城市的耗电量是大量用户耗电量的总和；

9、一个物理实验的测量误差是由许多观察不到的、可加的微小误差所合成的，它们往往近似地服从正态分布。39设随机变量（n1,2,.）服从参数为n,p(0p1)的二项分布，则对于任意x，有42保险费纯保险费附加保险费。纯保费是指用于保险公司支出保险责任范围内的保险金赔。我们从纯保费的厘定结构中可知：净保费是用于保险责任范围内的赔偿和给付，净保费的预算受到未来风险大小的影响，而附加费用不受任何风险的影响， 在了解保险保费结构的基础上，我们将中心极限定理应用于实际，得出了以下的数学模型：假设，某时期内保险人面临的总赔偿量为,且为一随机变量。设该时期内共有个投保人，每个投保人投保风险的索赔量分别为，则有。即保

10、险人的总损失为个个体损失之和，保险人承保风险，所收取的保险费为。假设，相互独立且具有相同的分布，即保险人承保个同质风险是彼此互不影响的。，其中为安全附加系数，为赔款总额的期望值。举例来说明的求法。例：某保险公司承保了份同质保单，每份保单的保险金额为元，其发生索赔的概率为.如果保险公司在签单时，希望有的把握应付赔付，那么在初始保险费中应57设为所以保单总的赔偿量，有个人投保，且这个人是互不影响且独立同分布的随机序列60则份同质保单的总赔款期望和总方差：61由上可知总的保险费=纯保险费+安全附加量，由于保险公司希望以把握应付，由,则,利用7021.00 18.00 0.00 61.00 215.0

11、0 0.017223.00 18.00 0.00 63.00 257.00 0.020表3-2 徐州某人寿保险中21-25岁（年轻人）与61-65岁（老年人）不同年龄的总保费、赔付额与赔付率对比表下面我们就将建立定期寿险保险金给付模型。首先，根据国际精算协会的惯例，采用下列符号：92：活到岁的个体恰好在此年龄死亡的可能性，称为死亡力。且当为常数时有：是衡量在某个确切时点上利率水平的指标，称为利息力，简称息力；：称为贴现因子，表示1年后得到1元在年初时刻的现值；97再记年定期寿险的保险人给付额的现值为，则的精算现值为现知死亡力为常数=0.05，死亡后的理赔金是由投资利息力为=0.04的投资基金给

12、付的。现在假设需要支付的保险金概率不低于0.95，求出投资基金所需资金最低额度是多少？设W为满足要求所需的最低资金额度，利用中心极限定理，我们可以得到： 保险公司是一个从事对损失理赔的行业，它最关心的是一个公司的盈亏状况，也就是实际损失与预期损失的偏差。在计算保险公司的盈亏时 ，我们先来看看保险公司的预期利润如何计算。112我们来以2013年的全国机动车辆的车险为例，在研究此例之前，我们来看个保险名词-第三责任险。第三责任险是指保险车辆因意外事故致使第三者遭受人身伤亡或财产的直接损失，保险人依照保险合同的规定强制性给予赔偿的商业第三者责任保险。113第三责任险的保费按投保时事故最高赔偿限额选择

13、对应的固定保费进行收取。固定保费根据车辆种类和使用性质确定，对应每一档次有相应的标准的固定保费。如表1所示。以上表为例，假定有个车主购买同档次限额的人保家庭自用车第三责任险，设表示一年内该公司上述投保人因车祸造成第三者死亡的人数，则人保公司在该业务的预期利润（暂且不考虑免赔率）可由下式计算：预期利润=.改146由此得到下面人保家庭自用车第三责任险预期利润表3和预亏表4由表3-5可知,当死亡人数，随着限额(不超过万元)的逐渐增大，预期利润也逐渐增大；当限额为万元时，保险公司的预期利润达到最大;然后随着限额(超过万元)的逐渐增大，预期利润会逐渐减少。由表3-6可知，随着死亡人数的增加，保险限额越大

14、，保险公司就越容易亏本。当死亡人数为个人时，限额为万元对应的保险公司的预期利润达到最大（万元），而限额为万时对应的保险公司的预期利润为万元（亏本）。也就是说，加保太多（超过万元）会减少保险公司的预期利润，不利于保险公司的稳定运行。例 1某出租车有辆的士参加保险，在一年里的出事概率为.参加保险的的士每年交元的保险费。若出事故，保险公司最多赔偿万元，试利用中心极限定理，计算保险公司一年内赚钱不少于万元且不多于万元的概率。解设为一年里出事故的总次数，由于一年内出事故的总次数是独立同分布的，因此可用德莫弗-拉普拉斯定理中的正态分布中的二项近似来计算这个问题。则 且，.由于很大 ，于是可利用中心极限定理

15、来计算且由上可知，保险公司的预期利润=保费投保车数-相应的限额一年内事故总数=从上可知，一个保险公司的经营是为了盈利,寿险公司也是如此,我们也可以利用中心极限定理的只是做到估算和预测。例如设某寿险公司在一段时间内有个同一年龄的人投保一年定期寿额，他们是相互独立彼此互不影响的，且在一年内没有新的投保人加入该项保险业务，也没有人退保。下面我们就利用中心极限定理估算该寿险公司接下这些保单的盈亏概率。设每份保单的保费为,保额为,该年龄的死亡率为，令284,285该保险公司的预期利润=保费同一年龄的投保人数保额同一年龄的死亡总人数=.由上式可以看出当寿险公司的预期利润，即时，该寿险公司亏本，因此我们利用

16、中心极限定理来计算寿险公司的亏本率为若计算出的较小，则该寿险公司的亏本率低；若较大，则该寿险公司的亏本率增大，但是为了公司的盈利着想，公司可以通过增加保费来降低亏本率。例 2 某保险公司的老年人寿保险有人参加，每人每年交元。若老人在该年内死亡，公司付给其家属万元。设老年人的死亡率为，问：291解设表示一年内参保人的死亡数，由于参保人的死亡数是相互独立彼此互不影响的，因此根据德莫弗-拉普拉斯定理的正态分布的二项近似有，则，其中，(1)由寿险公司的例子可知,要使保险公司亏本,则有293,。最终，尝试分析保险公司的盈亏状况。保险实务中对毛保费的计算却采用的另外一种方法：毛保费的精算现值=净保费的精算现值+附加费用的精算现值。