《常微分方程》答案习题(5).pdf

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1、习题 3.3 1Proof 若（1）成立则0 及00 xx，0(,)x，使当 000|(,)|yy x x y 时，初值问题 0000(,)()(,)dyf x ydxy xyy x x y 的解00(,)yy x x y满足对一切0 xx有00|(,)|y x x y,由解关于初值的对称性，（3，1）的两个解00(,)yy x x y及00(,)yy x x y都过点00(,)x y，由解的存在唯一性 0000(,)(,)y x x yy x x y，当0 xx时 故000|(,)|,y x x yxx 若（2）成立，取定00 xx，则0，10(,)()x ，使当 001|(,)|y x x

2、 y 时,对一切0 xx有 00|(,)|y x x y 因初值问题0(,)()0dyf x ydxy x 的解为0y，由解对初值的连续依赖性，对以上0，000(,)(,)x xx ，使当 0|y时 对一切00(,xx x有 001|(,)|min,y x x y 而当0 xx时，因 0011|(,)|min,y x x y 故00|(,)|y x x y 这样证明了对一切0 xx有 00|(,)|y x x y 2Proof：因(,)f x y及fy都在 G 内连续，从而(,)f x y在 G 内关于y满足局部Lipschitz 条件，因此解00(,)yx x y在它的存在范围内关于00,x

3、 x y是连续的。设由初值00(,)x y和000(,)x yy0(|,y 足够小）所确定的方程解分别为 00(,)yx x y，000(,)yx x yy 即00(,)xxyf xdx，000(,)xxyyf xdx 于是 00(,)(,)xxyf xf xdx 00(,()()01xxf xydxy 因fy及、连续，因此 1(,()(,)f xf xryy 这里1r具有性质：当00y时，；10r 且当00y时10r，因此对00y有 0100(,)1()xxf xrdxyyy 即0zy 是初值问题 100(,)()1dzf xr zdyyz xz 的解，在这里00y看成参数 0 显然，当00

4、y时，上述初值问题仍然有解。根据解对初值和参数的连续性定理，知0y是000,x x zy的连续函数，从而存在 0000limyyy 而0fy是初值问题 0(,)()1dzf xzdxyz x 的解，不难求解 0expfy0(,)xxf xdxy 它显然是00,x x y的连续函数。3解：这里(,)()()f x yp x yx满足解对初值的可微性定理条件 故：000(,)expf x yx 0(,)xxf xdxy 0000()()exp()xxp xyQ xp x dx 0y00(,)expexp()xxxxf xdxp x dxy 0000(,(,)()(,)()f xx x yp xx

5、x yQ xx()()dyp x yQ xdx满足00()y xy的解为 000()()0()xxxxp x dxp x dxxxyeQ x edxy 故00exp()xxp x dxy 000000()exp()()(exp()xxxxxxp xp x dxQ xp x dx dxyx 0000exp()()()()xxxxp x dxQ xp xQ x0exp()xxp x dx dx 0000()()exp()xxp xyQ xp x dx 0000()exp()()(exp()xxxxxxp xp x dxQ xp x dx dxyx 00exp()()exp()xxxxp x dx

6、Q xp x dx 00()(,)()p xx x yQ x 4解：这是(,)sin()yf x yx在（1，0）某领域内满足解对初值可微性定理条件，由公式 000(1,0)00(1,0)0(,)(,)(,)exp()0 xxy x x yf x yf x ydxxy 0000(1,0)(1,0)(1,0)0(,)(,)1exp()expcosxxxxy x x yf x yydxdxxyxx 11(,1,0)expcosxy xdxxx 易见0y 是原方程满足初始条件(1)0y的解(,1,0)(,1,0)0coscos01y xy xx 故0001100(,)1exp|xxyy x x ydxxyx