【教学课件】第三章导数与微分.ppt

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1、高职数学welcome第三章第三章 导数与微分导数与微分 32函数的求导法则 33微分 31 导数的概念 本章小结与提高 在专业课许多的问题中，需要研究各种变量的变在专业课许多的问题中，需要研究各种变量的变化速度。如物体的运动速度，电流变化，密度变化，化速度。如物体的运动速度，电流变化，密度变化，热量变化，化学反应速度及生物繁殖率等，这些都在热量变化，化学反应速度及生物繁殖率等，这些都在数学上都可以归结为函数的导数或微分问题。数学上都可以归结为函数的导数或微分问题。本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中两个最重要的基本概念两个最重要的基本概念导数与微分

2、，然后再建导数与微分，然后再建立求导数和微分的运算公式和法则，从而解决有关立求导数和微分的运算公式和法则，从而解决有关变化率的数学模型计算问题。变化率的数学模型计算问题。重点重点导数与微分的定义，几何解释，导数与微分的定义，几何解释，基本公式，运算，复合函数求导基本公式，运算，复合函数求导难点难点导数、微分与实际结合，用导数、微分与实际结合，用定义求导，复合函数求导定义求导，复合函数求导xa 时函数的极限设函数yf(x)在点a的邻域内(即a的左右,a可除外)有定义，且当x从a的左右两侧同时无限趋近于a时，函数值f(x)都趋近于常数A，则称A是当x趋近于a 时，函数yf(x)的极限，并记作 极限

3、：x时函数的极限对于函数yf(x)，如果x可正可负，且|x|无限增大时，f(x)无限趋于某常数A，则称A是当x趋于无穷时函数yf(x)的极限,复习巩固 在实际问题中，需要研究某个变量相对于另一在实际问题中，需要研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度，这类问题通常叫做变化率个变量变化的快慢程度，这类问题通常叫做变化率问题，下面将通过对实际问题的分析，建立导数的问题，下面将通过对实际问题的分析，建立导数的概念，从而用导数的数学模型解决有关变化率的许概念，从而用导数的数学模型解决有关变化率的许多的问题多的问题一 导数的物理与几何模型 二 导数的定义 31 导数的概念三 导数的经济意义1.瞬时速度

4、问题瞬时速度问题如图如图,取极限得：取极限得：一 导数的物理与几何模型 自由落体运动：自由落体运动：s=s(t)上述求瞬时速度的方法对一般变速直线运动也上述求瞬时速度的方法对一般变速直线运动也同样适用。设物体作变速直线运动，其运动路程同样适用。设物体作变速直线运动，其运动路程为为s=s(t)，则物体在时刻，则物体在时刻 t 0 的瞬时速度定义为的瞬时速度定义为速度反映了路程对时间变化的快慢程度速度反映了路程对时间变化的快慢程度 运动物体的瞬时速度是路程函数的增量和运动物体的瞬时速度是路程函数的增量和时间增量之比在当时间增量趋于零时的极限时间增量之比在当时间增量趋于零时的极限 在曲线上另取一点N

5、(x0+x y0+y)作割线MN 设其倾角为j 观察切线的形成 求曲线y=f(x)在点M(x0 y0)处的切线的斜率 2.切线斜率问题切线斜率问题 当x0时 动点N将沿曲线趋向于定点M 从而割线MN也将随之变动而趋向于切线MT 此时割线MN的斜率趋向于切线MT的斜率 上述曲上述曲线线在点在点M处处的的纵纵坐坐标标y的增量的增量 与横坐与横坐标标 的增量的增量之比之比,当当时时的极限即的极限即为为曲曲线线在在M点点处处的切的切线线斜率斜率.导数是变化率问题的导数是变化率问题的数学抽象数学抽象二、导数的定义定义：定义：即即如果当时，的极限不存在，则称函数在点处不可不可导导如果不可导的原因是当时，所

6、引起的，则称函数在点处的导数为无穷大导数反映了函数在点的变化速度，故也称导数为函数在点的变化率其它形式其它形式导数的其它符号 导数概念是概括了各种各样的变化率而得出的一个导数概念是概括了各种各样的变化率而得出的一个更一般、更抽象的概念，它撇开了变量所代表的特殊意更一般、更抽象的概念，它撇开了变量所代表的特殊意义，而纯粹从数量方面来刻画变化率的本质义，而纯粹从数量方面来刻画变化率的本质 可以证明，如果函数y=f(x)在点x0处可导 则它在点x0处连续相反函数y=f(x)在点x0处连续 但在点x0处不一定可导 导函数的定义导函数的定义思考:函数y=x2在任意处的导数 例题2：解：即 (C)=0 求

7、函数f(x)=C 的导数(C为常数)例题3：解：即：导数应用分析 例2：已知水管中安装的流量计的指针为0.5 ,可解释为某函数的导数。因为此问题与水流速无关，这是以 为单位测量出来的水量的变化率，可想象水管中流出的水都储藏在一个水容器中，设V(t)为t时刻水容器中水所占的容积，则V(t)的变化率就是0.5 ，即例例3：非恒定电流的强度（或交流电）：非恒定电流的强度（或交流电）恒定电流强度公式复习：恒定电流强度公式复习：（单位时间内通过导线横截面的电量）（单位时间内通过导线横截面的电量）设非恒定电流从设非恒定电流从0到到t这段时间内通过导线横这段时间内通过导线横截面的电量为截面的电量为Q=Q(t)。则在。则在 上的平均上的平均电流强度为：电流强度为：t0时刻的电流强度为：时刻的电流强度为：任意任意t时刻的电流强度为：时刻的电流强度为：本课小结:关于导数的概念与意义现已作了初步认识 下一节课还将作进一步的分析与计算学习书上学习书上:(例例5:写出下列问题的数学模型)习题3-11物体的直线运动方程为，计算从到之间的平均速度，并计算当时的平均速度，再计算时的瞬时速度4求曲线在点处的切线方程课堂练习课后练习