第三章导数与微分内PPT讲稿.ppt

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1、第三章 导数与微分内第1页，共96页，编辑于2022年，星期二3.1 引出导数概念的例题引出导数概念的例题(一一)变速直线运动的瞬时速度变速直线运动的瞬时速度时速度时速度的关系为的关系为设一物体作直线运动设一物体作直线运动,其运动的路程其运动的路程和时间和时间求该物体在某一时刻求该物体在某一时刻的瞬的瞬为此为此,让时间由让时间由 变化到变化到其平均速度为其平均速度为:此此平均速度可以作为物体在平均速度可以作为物体在t t0 0时刻的速度的近似时刻的速度的近似值值 t t 越小越小 近似的程度就越好近似的程度就越好 第2页，共96页，编辑于2022年，星期二(二二)曲线的切线的斜率曲线的切线的斜

2、率因此因此,当当 t t0 0时时 极限极限就是物体在就是物体在t t0 0时刻时刻的瞬时速度的瞬时速度 求曲线求曲线y y f f(x x)在点在点P P(x x0 0 y y0 0)处的切线的斜率处的切线的斜率 在曲线上另取一点在曲线上另取一点Q Q(x x0 0 x x y y0 0 y y)作割线作割线PQPQ 设其倾角为设其倾角为观察切线的形成观察切线的形成 第3页，共96页，编辑于2022年，星期二 当当 x x0 0时时 动动点点Q Q将将沿沿曲曲线线趋趋向向于于定定点点P P 从从而而割割线线PQPQ也也将将随随之之变变动动而而趋趋向向于于切切线线PTPT 此此时时割割线线PQ

3、PQ的的斜斜率率趋趋向向于于切切线线PTPT的斜率的斜率 第4页，共96页，编辑于2022年，星期二 上面两个例子的实际意义完全不同，但从抽象的上面两个例子的实际意义完全不同，但从抽象的数学关系来看，其实质是一样的，都是函数的改变量数学关系来看，其实质是一样的，都是函数的改变量与自变量的改变量之比，当自变量的改变量趋于零时与自变量的改变量之比，当自变量的改变量趋于零时的极限，数学上把这种极限叫做函数的导数的极限，数学上把这种极限叫做函数的导数即即如果极限如果极限3.2 导数的定义导数的定义(一一)函数在一点处的导数函数在一点处的导数定义定义3.1 设函数设函数在点在点的某个邻域内的某个邻域内有

4、定义，有定义，第5页，共96页，编辑于2022年，星期二存在，存在，即即如果令如果令如果上述极限不存在如果上述极限不存在,则称该函数在则称该函数在点点不可导不可导.又可以表示为又可以表示为则则在点在点的导数的导数值称为函数值称为函数在点在点处的导数，处的导数，记作记作则称函数则称函数在点在点处可导，处可导，其极限其极限第6页，共96页，编辑于2022年，星期二导数的其它定义式导数的其它定义式:导数的定义式导数的定义式:有了导数的概念后，前面两个问题便可叙述为有了导数的概念后，前面两个问题便可叙述为:第7页，共96页，编辑于2022年，星期二 由导数定义可得求函数在点处导数的步骤由导数定义可得求

5、函数在点处导数的步骤:（3）求极限）求极限:（2）计算比值）计算比值:（1）求函数的改变量）求函数的改变量:就是函数就是函数在点在点处的导数处的导数即即（2）曲线）曲线在点在点处的切线的斜率处的切线的斜率导数导数即即速度速度 就是路程函数就是路程函数在在处的处的（1）作变速直线运动的物体在时刻）作变速直线运动的物体在时刻的瞬时的瞬时第8页，共96页，编辑于2022年，星期二 例例1 1 求函数求函数 y y x x2 2 在点在点x x 2 2处的导数处的导数 解解 导数的定义式导数的定义式:或或第9页，共96页，编辑于2022年，星期二 定义定义3.2 如果函数如果函数y y f f(x x

6、)在区间在区间I I内每一点内每一点x x都对都对应一个导数值应一个导数值 则这一对应关系所确定的函数称为函则这一对应关系所确定的函数称为函数数y y f f(x x)的导函数的导函数 简称导数简称导数 记作记作提问提问:1.1.导函数的定义式如何写导函数的定义式如何写?(二)导函数的定义导函数的定义答答第10页，共96页，编辑于2022年，星期二2 2.f.f (x x0 0)与与f f (x x)是什么关系是什么关系?就是其导函数就是其导函数在点在点处的函数值处的函数值,即即函数函数在点在点处的导数处的导数答答:例例2 设设求求解解:由此可见由此可见第11页，共96页，编辑于2022年，星

7、期二解解:例例3 3 第12页，共96页，编辑于2022年，星期二(三三)导数的几何意义导数的几何意义法线方程为法线方程为:即即 这就是导数的几何意义这就是导数的几何意义程为程为:因此，曲线因此，曲线在点在点处的切线方处的切线方在点在点处的切线斜率处的切线斜率 函数函数在点在点处的导数处的导数就是曲线就是曲线其中其中第13页，共96页，编辑于2022年，星期二 例例4 4 求求曲线曲线 y y x x2 2 在点在点x x 2 2处的处的的切线方程和法线方程的切线方程和法线方程.解解 由例由例1得得切线斜率切线斜率 因此切线方程为因此切线方程为:即即法线方程为法线方程为:即即第14页，共96页

8、，编辑于2022年，星期二(四四)左右导数左右导数导数与左右导数的关系导数与左右导数的关系:函数函数f f(x x)在开区间在开区间(a a b b)内可导是指函数在区间内可导是指函数在区间内每一点可导内每一点可导 函数函数f f(x x)在闭区间在闭区间 a a b b 上可导是指函数上可导是指函数f f(x x)在开在开区间区间(a a b b)内可导内可导 且在且在a a点有右导数、在点有右导数、在b b点有左导数点有左导数 函数在区间上的可导性函数在区间上的可导性:第15页，共96页，编辑于2022年，星期二应注意的问题应注意的问题:这这个个结结论论的的逆逆命命题题不不成成立立 即即函

9、函数数y y f f(x x)在在点点x x0 0处连续处连续 但在点但在点x x0 0处不一定可导处不一定可导 (五五)可导与连续的关系可导与连续的关系 定理定理3.1 如果函数如果函数y y f f(x x)在点在点x x0 0处可导处可导 则它在点则它在点x x0 0处必连续处必连续 这是因为这是因为:第16页，共96页，编辑于2022年，星期二右导数右导数左导数左导数显然两者不相等显然两者不相等,因为因为:如函数如函数连续，但不可导连续，但不可导所以所以不存在不存在(见图见图).第17页，共96页，编辑于2022年，星期二解解:又又例例5 设设所以 在处连续.即在处可导.处的连续性及可

10、导性处的连续性及可导性.第18页，共96页，编辑于2022年，星期二1常函数的导数常函数的导数即即2.幂函数的导数幂函数的导数3.3 导数的基本公式与运算法则导数的基本公式与运算法则第19页，共96页，编辑于2022年，星期二即即注注:对于一般的幂函数对于一般的幂函数 3正弦函数与余弦函数的导数正弦函数与余弦函数的导数类似有类似有(后面再证后面再证).同理可得同理可得即即,第20页，共96页，编辑于2022年，星期二 4对数函数的导数对数函数的导数 即即特别地，当特别地，当时，有时，有第21页，共96页，编辑于2022年，星期二5指数函数的导数指数函数的导数特别地，当特别地，当时，有时，有第2

11、2页，共96页，编辑于2022年，星期二 (二二)导数的四则运算法则导数的四则运算法则 1代数和的导数代数和的导数 注注1 1:该法则可以推广到有限多个函数代数和的该法则可以推广到有限多个函数代数和的情形情形.解解:例例1 设设 求求且且如果如果都是都是的可导函数，的可导函数，则则也是也是的可导函数，的可导函数，第23页，共96页，编辑于2022年，星期二 注注2:该法则可以推广到有限多个函数乘积的情形该法则可以推广到有限多个函数乘积的情形.如如:2乘积的导数乘积的导数如果如果都是都是的可导函数，的可导函数，则则也是也是的可导函数，的可导函数，且且特别地，当特别地，当时，则有时，则有第24页，

12、共96页，编辑于2022年，星期二解解:3商的导数商的导数且且例例3 设设 求求例例2 2 设设求求 如果如果都是都是的可导函数，的可导函数，则则也是也是的可导函数，的可导函数，且且第25页，共96页，编辑于2022年，星期二解解:解解:即即例例4 4 设设 求求第26页，共96页，编辑于2022年，星期二同样方法可以求出同样方法可以求出:解解:例例5 5 设设求求例例6 6 求经过原点且与曲线求经过原点且与曲线相切相切的直线方程的直线方程第27页，共96页，编辑于2022年，星期二 解解:设所求直线方程为设所求直线方程为又切点是曲线和切线的公共点，所以又切点是曲线和切线的公共点，所以或或所以

13、所以,所求直线方程为所求直线方程为切点为切点为由导数的几何意义由导数的几何意义,得得直线与曲线的直线与曲线的所求直线方程为所求直线方程为解得解得或或第28页，共96页，编辑于2022年，星期二(三三)复合函数的导数复合函数的导数或或 注注1:这个公式可以推广到两个以上函数复合的这个公式可以推广到两个以上函数复合的情形情形 么复合函数么复合函数也在点也在点处可导处可导,而函数而函数在对应的点在对应的点处可导，处可导，定理定理3.2 如果函数如果函数在在点处可导点处可导,那那且有且有第29页，共96页，编辑于2022年，星期二例例1 求下列函数的导数求下列函数的导数.显然是由显然是由解解:显然是由

14、显然是由两个函两个函数复合的数复合的,因此因此三个函数复合而成的三个函数复合而成的,因此因此第30页，共96页，编辑于2022年，星期二 注注2:2:对于复合函数的求导，在运用公式熟练之后，对于复合函数的求导，在运用公式熟练之后，计算时就不必写出中间变量了计算时就不必写出中间变量了 解解:把该函数先看作以下两把该函数先看作以下两个函数复合而成的个函数复合而成的:再把再把看作以下看作以下两个函数复合的两个函数复合的:例例2 2 求求的导数的导数第31页，共96页，编辑于2022年，星期二解解:例例3 求求的导数的导数.第32页，共96页，编辑于2022年，星期二解解例例4 4 求求的导数的导数.

15、第33页，共96页，编辑于2022年，星期二v显函数与隐函数显函数与隐函数 形如形如y y f f(x x)的函数称为显函数的函数称为显函数 例如例如 y y sin sin x x y y ln ln x x e ex x 都是显函数都是显函数 由方程由方程F F(x x y y)0 0所确的函数称为隐函数所确的函数称为隐函数 例如例如 方程方程x x y y3 3 1 1 0 0确定的隐函数为确定的隐函数为 (四四)隐函数的导数隐函数的导数有些隐函数不能化成显函数有些隐函数不能化成显函数,例如由例如由直接由方程求出其导数的方法直接由方程求出其导数的方法.现在现在,介绍一种不用将隐函数化为显

16、函数就可以介绍一种不用将隐函数化为显函数就可以确定的隐函数确定的隐函数.第34页，共96页，编辑于2022年，星期二隐函数的求导方法：隐函数的求导方法：解之得解之得 解：解：方程方程求导数，求导数，的两边同时对的两边同时对的导数的导数.例例1 求由方程求由方程所确定的隐函数所确定的隐函数得到隐函数的导数得到隐函数的导数.及及和和的一个方程的一个方程从中解出从中解出即即在求导过程中，把在求导过程中，把看成看成的函数，可得到包含的函数，可得到包含将方程将方程两边逐项对自变量两边逐项对自变量求导数，求导数，即即得得提示提示:(y y2 2)2 2yy yy 第35页，共96页，编辑于2022年，星期

17、二解之得解之得 例例2 求由方程求由方程确定的隐函数的确定的隐函数的导数及导数及 y|x x=0=0 解解:方程两边对方程两边对求导，得求导，得因为当因为当x x 0 0时时 从原方程得从原方程得y y 1 1 所以所以 第36页，共96页，编辑于2022年，星期二解解:例例3 3 把椭圆方程的两边分别对把椭圆方程的两边分别对x x求导求导 得得 所求的切线方程为所求的切线方程为 第37页，共96页，编辑于2022年，星期二(五五)反函数的求导法则反函数的求导法则定理定理3.33.3 如果函数如果函数x x f f(y y)在某区间在某区间I Iy y内单调、可导内单调、可导且且f f (y

18、y)0 0 那么它的反函数那么它的反函数y y f f 1 1(x x)也可导也可导 并且并且 简要证明简要证明 由于由于x x f f(y y)可导可导(从而连续从而连续)所以所以x x f f(y y)的反函数的反函数y y f f 1 1(x x)连续连续 当当 x x0 0时时 y y0 0 所以所以第38页，共96页，编辑于2022年，星期二 例例2 2 证明证明(arctan(arctan x x)证证 因为因为y y arctan arctan x x是是x x tan tan y y的反函数的反函数 所以所以 例例1 1 证明证明(arcsin (arcsin x x)证证 因

19、为因为y y arcsin arcsin x x是是x x sin sin y y的反函数的反函数 所以所以反函数的求导公式反函数的求导公式:第39页，共96页，编辑于2022年，星期二 方程两边先同时取自然对数，然后将取了对数的结方程两边先同时取自然对数，然后将取了对数的结果利用对数的性质进行充分化简果利用对数的性质进行充分化简,最后将化简后的结果最后将化简后的结果看作隐函数看作隐函数,应用隐函数求导法求出其导数应用隐函数求导法求出其导数(六六)取对数求导法取对数求导法 解解:函数两边取对数函数两边取对数,得得构成的比较复杂的函数及幂指函数的求导构成的比较复杂的函数及幂指函数的求导用法用法:

20、常用于几个因式通过乘、除、开方所常用于几个因式通过乘、除、开方所例例1 1 求函数求函数的导数的导数.第40页，共96页，编辑于2022年，星期二化简得化简得即有即有另解另解:两边同时对两边同时对求导求导,得得即即第41页，共96页，编辑于2022年，星期二于是于是 即即上式两边对上式两边对求导，得求导，得例例2 2 求指数函数求指数函数的导数的导数.解解:两边取自然对数并化简，得两边取自然对数并化简，得特别地，当特别地，当时，有时，有同理同理,幂函数幂函数的导数为的导数为:第42页，共96页，编辑于2022年，星期二于是于是 例例3 3 求函数求函数的导数的导数.解解:两边取自然对数并化简，

21、得两边取自然对数并化简，得上式两边对上式两边对求导，得求导，得第43页，共96页，编辑于2022年，星期二(七七)由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数 设设 x x j j(t t)具有反函数具有反函数 t t j j 11(x x)且且 t t j j 11(x x)与与y y y y(t t)构成复合函数构成复合函数y y y y j j 11(x x)若若x x j j(t t)和和y y y y(t t)都可导都可导 则则第44页，共96页，编辑于2022年，星期二 例例7 7 解解:第45页，共96页，编辑于2022年，星期二(七七)基本导数公式基本导数公式(7)

22、(8)(3)(4)(1)(2)1.基本初等函数的导数基本初等函数的导数(为为常数常数)(5)(6)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)第46页，共96页，编辑于2022年，星期二 2导数的四则运算法则导数的四则运算法则第47页，共96页，编辑于2022年，星期二(八八)综合举例综合举例:例例 1设设求求解解:第48页，共96页，编辑于2022年，星期二解解:例例 2设设求求第49页，共96页，编辑于2022年，星期二例例 3由由求求解解:第50页，共96页，编辑于2022年，星期二例例4 设设解解:当当时时,当当时时,当当时时,第51页，共96页，编辑于2022年，星

23、期二不存在不存在.第52页，共96页，编辑于2022年，星期二第53页，共96页，编辑于2022年，星期二第54页，共96页，编辑于2022年，星期二 习题3-32求下列函数的导数求下列函数的导数：(1)(2)(3)3求下列函数的导数求下列函数的导数：1.用导数的定义求下列函数在给定点的导数用导数的定义求下列函数在给定点的导数在在 点处点处在在 点处点处(1)(2)(3)(4)4求下列复合函数的导数求下列复合函数的导数：第55页，共96页，编辑于2022年，星期二(7)(8)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(1)(2)(1)(2)5求下列方程确定的隐函数的导数求下列方程确定的隐函数的导数：

24、求求6求下列函数的导数：求下列函数的导数：7求曲线求曲线 在点在点 处的切线方程和法线方程处的切线方程和法线方程第56页，共96页，编辑于2022年，星期二3.4高阶导数高阶导数或或二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数 函数函数的一阶导数的一阶导数相应地，把相应地，把的导数的导数叫做叫做它的导数它的导数为函数为函数的二阶导数的二阶导数,记作记作如果导函数如果导函数仍是仍是的可导函数，则称的可导函数，则称数，记作数，记作类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三三阶导数的导数叫做四阶导数，一般地函数阶导数的导数叫做四阶导数，一般地函

25、数的的阶导数的导数叫做函数阶导数的导数叫做函数的的阶导阶导第57页，共96页，编辑于2022年，星期二解解:例例1 1 求函数求函数的二阶及三阶导数的二阶及三阶导数第58页，共96页，编辑于2022年，星期二解解:因为因为所以所以例例2 2 求函数求函数的的阶导数阶导数第59页，共96页，编辑于2022年，星期二解之得解之得 解：解：方程方程求导数，求导数，的两边同时对的两边同时对的二阶导数的二阶导数.例例3 求由方程求由方程所确定的隐函数所确定的隐函数得得第60页，共96页，编辑于2022年，星期二3.5函数的微分函数的微分 函数的导数表示函数关于自变量变化的快慢程度函数的导数表示函数关于自

26、变量变化的快慢程度(变化率变化率)但在许多情况下，需要考察或者估算函数但在许多情况下，需要考察或者估算函数改变量的大小，特别是当自变量发生微小变化时函数改变量的大小，特别是当自变量发生微小变化时函数改变量的大小这就需要引进微分的概念改变量的大小这就需要引进微分的概念 一、微分的概念一、微分的概念引例引例 已知正方形的面积已知正方形的面积一、微分的概念一、微分的概念二、微分的几何意义二、微分的几何意义三、微分的基本公式与运算法则三、微分的基本公式与运算法则四、微分的形式不变性四、微分的形式不变性五、微分在近似计算上的应用五、微分在近似计算上的应用其边长由其边长由变化到变化到是边长是边长的函数的函

27、数若若第61页，共96页，编辑于2022年，星期二正方形的面积改变的近似正方形的面积改变的近似面积相应的改变量为面积相应的改变量为:如图中蓝色部分区域即表示如图中蓝色部分区域即表示很微小时很微小时,当当问正方形的面积问正方形的面积改变改变了多少了多少?值是多少值是多少?当边长由当边长由变化到变化到第62页，共96页，编辑于2022年，星期二可以把可以把分成两部分分成两部分:近似地表示近似地表示即即因此因此,当当很少时，很少时，第二部分第二部分:(图中纯图中纯的线性函数的线性函数(图中天蓝部分图中天蓝部分)，第一部分第一部分:是是时，时，当当蓝部分蓝部分)，是比是比较高阶的较高阶的无穷小量无穷小

28、量,可用可用第63页，共96页，编辑于2022年，星期二 设函数设函数y y f f(x x)在某区间内有定义在某区间内有定义 x x0 0及及x x0 0 x x在这区在这区间内间内 如果函数的增量如果函数的增量 y y f f(x x0 0 x x)f f(x x0 0)可表示为可表示为 y y A A x x o o(x x)其中其中A A是不依赖于是不依赖于 x x的常数的常数 o o(x x)是比是比 x x高阶的无穷小高阶的无穷小 那么称函数那么称函数y y f f(x x)在点在点x x0 0是可微的是可微的 而而A A x x叫做函数叫做函数y y f f(x x)在点在点x

29、x0 0相应于自变量增量相应于自变量增量 x x的微分的微分 记作记作dydy 即即dydy A A x x 微分的定义微分的定义第64页，共96页，编辑于2022年，星期二 函数函数f f(x x)在点在点x x0 0可微可微 函数函数f f(x x)在点在点x x0 0可导可导 函数在点函数在点x x0 0的微分一定是的微分一定是 dydy f f (x x0 0)x x 可微与可导的关系可微与可导的关系:y y f f(x x)在点在点x x0 0可微可微 y y A A x x o o(x x)dydy A A x x 这是因为这是因为 一方面一方面 另一方面另一方面其中其中a a0(

30、0(当当 x x0)0)且且A A f f(x x0 0)是常数是常数 a a x x o o(x x)第65页，共96页，编辑于2022年，星期二 函数函数y y f f(x x)在任意点在任意点 x x 的微分的微分 称为函数的微分称为函数的微分 记记作作dydy 或或 dfdf(x x)即即 dy dy f f (x x)x x 例如例如 d d cos cos x x (cos(cos x x)x x sin sin x x x x dedex x (e e x x)x x e ex x x x 自变量的微分自变量的微分 因为当因为当y y x x时时 dy dy dx dx (x x

31、)x x x x 所以通常把自变量所以通常把自变量 x x 的增量的增量 x x称为自变量的微分称为自变量的微分 记作记作dxdx 即即 dx dx x x 因此因此 函数函数y y f f(x x)的微分又可记作的微分又可记作 dy dy f f (x x)dxdx 第66页，共96页，编辑于2022年，星期二例例1 求下列函数的微分求下列函数的微分解解 (1)因为因为所以所以可见可见,函数的导数即是函数的微分与自变量的函数的导数即是函数的微分与自变量的微分的商微分的商,因此常常把导数也称为微商因此常常把导数也称为微商.的关系的关系.它反映了函数的微分与其导数之间它反映了函数的微分与其导数之

32、间到到注注:对对两边同时除以两边同时除以得得第67页，共96页，编辑于2022年，星期二解解:解之得解之得故故例例2 2已知已知求求 及及并把并把看作看作的函数的函数,得得(2)方程方程两边同时对两边同时对求导求导,第68页，共96页，编辑于2022年，星期二二、二、微分的几何意义微分的几何意义当当x x从从x x0 0变到变到x x0 0 x x时时 y y是曲线上点是曲线上点MM的纵坐的纵坐所以所以dydy是过点是过点(x x0 0 f f(x x0 0)的切线上点的纵的切线上点的纵坐标坐标 当当|x x|很小时很小时|y y dydy|比比|x x|小得多小得多 因此因此 在点在点MM的

33、邻近的邻近 我们可以用切线段来近我们可以用切线段来近似代替曲线段似代替曲线段 标的增量标的增量;而而的增量的增量.同时有同时有第69页，共96页，编辑于2022年，星期二 根据定义，函数微分就是函数导数与自变量微分根据定义，函数微分就是函数导数与自变量微分之积，所以由导数的基本公式和运算法则得到相应的之积，所以由导数的基本公式和运算法则得到相应的微分基本公式和运算法则微分基本公式和运算法则（9）三、微分的基本公式与运算法则三、微分的基本公式与运算法则第70页，共96页，编辑于2022年，星期二d(x)x 1dx d(sin x)cos x dx d(cos x)sin x dx d(tan x

34、)sec2xdx d(cot x)csc2xdx d(sec x)sec x tan x dx d(csc x)csc x cot x dx d(a x)ax lna dx d(e x)ex dx(x )x 1(sin x)cos x(cos x)sin x(tan x)sec2 x(cot x)csc2x(sec x)sec x tan x(csc x)csc x cot x(a x)a x lna (ex)ex微分公式微分公式:导数公式导数公式:1.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式 三、微分的基本公式与运算法则三、微分的基本公式与运算法则第71页，共96页，编辑于2022年

35、，星期二微分公式微分公式:导数公式导数公式:第72页，共96页，编辑于2022年，星期二2.2.函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则 公式公式d d(u u v v)vduvdu udvudv 的证明的证明 因为因为 d d(uvuv)(u u v v uvuv)dxdx u u vdxvdx uvuv dxdx 而而 u u dxdx dudu v v dxdx dvdv 所以所以 d d(uvuv)vduvdu udvudv (uv)uv (Cu)Cu (uv)uvuvd(uv)dudvd(Cu)Cdu d(uv)vduudv求导法则求导法则 微分法则微分法则 第73页

36、，共96页，编辑于2022年，星期二 四、微分形式的不变性四、微分形式的不变性 由此可见，无论由此可见，无论 是自变量还是其它变量是自变量还是其它变量 的函数，其微分的形式均保持不变这一性质称的函数，其微分的形式均保持不变这一性质称为微分形式的不变性为微分形式的不变性其微分为其微分为:设函数设函数可导，当可导，当是自变量时，是自变量时，代入上式得代入上式得而函数而函数的微分的微分则则为复合函数为复合函数,且且若若其微分为其微分为第74页，共96页，编辑于2022年，星期二例例3 求求解解:解解:对方程两边求微分对方程两边求微分,得得dxdxy yx xdydyy yx xy y)2 2()2

37、23 3(2 2y dyy dyy dxy dxx dyx dyx dxx dxdydyy y2 22 23 32 2所以所以的微分的微分例例4 求由方程求由方程所确定的隐函数所确定的隐函数第75页，共96页，编辑于2022年，星期二例例5 在下列等式左端的括号中填入适当的在下列等式左端的括号中填入适当的解解:一般有一般有函数，使等式成立函数，使等式成立.一般有一般有第76页，共96页，编辑于2022年，星期二五、微分在近似计算上的应用五、微分在近似计算上的应用可以用该式计算函数增量的近似值可以用该式计算函数增量的近似值.又因为又因为所以近似公式又可写作所以近似公式又可写作 即即由微分的定义知

38、，当由微分的定义知，当很小时，有近似公式很小时，有近似公式:该式可以用来计算函数在该式可以用来计算函数在点附近的近似值点附近的近似值第77页，共96页，编辑于2022年，星期二若分别令若分别令在在中中,取取时时,上式又变为上式又变为:则会得到以下近似计算公式则会得到以下近似计算公式(当当比较小时成立比较小时成立):第78页，共96页，编辑于2022年，星期二解解:令令解解:例例7 求求的近似值的近似值.例例6 求求的近似值的近似值.代入上述公式代入上述公式(5)中中,得得第79页，共96页，编辑于2022年，星期二例例8 求求的近似值的近似值.解解:由于角度较大由于角度较大,所以不能使用公式所

39、以不能使用公式可令可令第80页，共96页，编辑于2022年，星期二习题习题3 35 5 1已知函数已知函数 ,当当 ，求，求 ，2求下列函数的微分：求下列函数的微分：3求下列函数的近似值：求下列函数的近似值：第81页，共96页，编辑于2022年，星期二欲求欲求 时刻的时刻的瞬时速度瞬时速度可见这一小段的路程为可见这一小段的路程为因此因此,这一小段时间内这一小段时间内小球运动的平均速度为小球运动的平均速度为已知路程和时间之间的函数关系已知路程和时间之间的函数关系从而得到小球在从而得到小球在 点的瞬时点的瞬时速度为速度为先让时间先让时间 发生微发生微小的改变小的改变,即从即从 变变化到化到已走过已

40、走过路程为路程为已走过已走过路程为路程为先让时间先让时间 发生微发生微小的改变小的改变,即从即从 变变化到化到运动方向运动方向第82页，共96页，编辑于2022年，星期二解解因此切线方程为因此切线方程为 ，即，即 法线方程为法线方程为 即即五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系定理定理2.1 如果函数如果函数 在在 点处可导，则它在点处可导，则它在 处必连续处必连续 证明证明 因为函数因为函数 在在 点处可导，则点处可导，则存在存在所以有所以有即函数即函数 在在 点处连续点处连续 注意注意:这个定理的逆命题不一定成立即连续是可导的必要条件，不是充分条件这个定理的逆命题不一定成立即连续是可导的

41、必要条件，不是充分条件如函数如函数 连续，但不可导因为连续，但不可导因为 右导数右导数左导数左导数显然两者不相等显然两者不相等,所以所以 不存在不存在(见图见图)在在 点处连续点处连续显然在显然在 点不可导点不可导,因为该点处无切线因为该点处无切线第83页，共96页，编辑于2022年，星期二第84页，共96页，编辑于2022年，星期二有限次的四则运有限次的四则运算和复合运算算和复合运算基本初等函数基本初等函数初等函数导数求法的基本思路初等函数导数求法的基本思路第85页，共96页，编辑于2022年，星期二演演示示目目的的反映当反映当 越来越小时越来越小时,函函数的改变量与函数的微分数的改变量与函

42、数的微分越来越接近越来越接近.即即第86页，共96页，编辑于2022年，星期二习题课一、一、导数和微分的概念及应用导数和微分的概念及应用二、二、导数和微分的求法导数和微分的求法 导数与微分 第三章第三章 第87页，共96页，编辑于2022年，星期二一、一、导数和微分的概念及应用导数和微分的概念及应用 导数导数:当时,为右导数当时,为左导数 微分微分:关系关系 :可导可微第88页，共96页，编辑于2022年，星期二例例1.1.设存在,求解解:原式=第89页，共96页，编辑于2022年，星期二例例2.2.设试确定常数试确定常数 a a,b b 使使 f f(x x)处处可导处处可导,并求并求解解:

43、得即第90页，共96页，编辑于2022年，星期二是否为连续函数?判别判别:第91页，共96页，编辑于2022年，星期二二、二、导数和微分的求法导数和微分的求法1.正确使用导数及微分公式和法则 2.熟练掌握求导方法和技巧(1)求分段函数的导数注意讨论界点界点处左右导数是否存在和相等(2)隐函数求导法对数微分法(3)复合函数求导法(可利用微分形式不变性)(4)高阶导数的求法逐次求导归纳;间接求导法;第92页，共96页，编辑于2022年，星期二基本导数公式基本导数公式 基本初等函数的导数公式 (1)(C)0(2)(xm)m xm1(3)(sin x)cos x(4)(cos x)sin x(5)(tan x)sec2x(6)(cot x)csc2x(7)(sec x)sec xtan x(8)(csc x)csc xcot x(9)(a x)a x ln a(10)(e x)ex第93页，共96页，编辑于2022年，星期二 解 复合函数的求导法则:例例 解解 例例 函数 可看作是由ye u ux3复合而成的 因此 因此因此第94页，共96页，编辑于2022年，星期二 例复合函数的求导法则:例 解 解 第95页，共96页，编辑于2022年，星期二方程两边求微分方程两边求微分,得得例例 已知已知求求解解：第96页，共96页，编辑于2022年，星期二