中考九年级数学一轮复习：二次函数的综合题.docx

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1、 中考九年级数学一轮复习：二次函数的综合题一、综合题1已知二次函数y=（a+b）x22cx+ab中，a、b、c是ABC的三边 （1）当抛物线与x轴只有一个交点时，判断ABC是什么形状； （2）当x= 12 时，该函数有最大值 a2 ，判断ABC是什么形状 2 （1）解方程： 2x24x30 ； （2）求抛物线 y=2x2+4x6 的顶点坐标. 3在同一个直角坐标系中作出y 12 x2，y 12 x21的图象（1）分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；（2）抛物线y 12 x21与抛物线y 12 x2有什么关系？4已知二次函数yax22ax+k（a、k为常数，a0），线段AB的两个端点坐标

2、分别为A(1，2)，B(2，2)（1）该二次函数的图象的对称轴是直线 ； （2）当a1时，若点B(2，2)恰好在此函数图象上，求此二次函数的关系式； （3）当a1时，当此二次函数的图象与线段AB只有一个公共点时，求k的取值范围； （4）若ka+3，过点A作x轴的垂线交x轴于点P，过点B作x轴的垂线交x轴于点Q，当1x2，此二次函数图象与四边形APQB的边交点个数是大于0的偶数时，直接写出k的取值范围 5某化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，物价部门规定其销售单价不低于进价，不高于60元/千克，经市场调查发现：销售单价定为60元/千克时，每日销售20千克；如调整价格，每降价1元/千克，每日

3、可多销售2千克 （1）已知某天售出该化工原料40千克，则当天的销售单价为50元/千克； （2）该公司现有员工2名，每天支付员工的工资为每人每天90元，每天应支付其他费用108元，当某天的销售价为46元/千克时，收支恰好平衡 求这种化工原料的进价；若公司每天的纯利润（收入支出）全部用来偿还一笔10000元的借款，则至少需多少天才能还清借款？6滑雪是冬季运动爱好者的喜爱项目之一，滑雪者从山坡滑下，其滑行距离s（单位：m）是滑行时间t（单位：s）的二次函数滑雪爱好者小聪从山坡滑下，同学小敏帮他测得一些数据，记录于下表滑行时间t/s01234滑行距离s/m04.51438.548（1）在上表t，s的数

4、据中，发现有一对数据记录不符合题意在图2中，通过描点、连线的方法，画出函数的大致图象，并观察判断哪一对是错误的？（2）根据（1）中结果，求出s关于t的函数表达式；并求出当滑行时间为6s时，小聪在山坡上滑行的距离是多少？7如图，抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），C（0，3）两点，它的对称轴与x轴交于点F，过点C作CEx轴交抛物线于另一点E，连结EF，AC（1）求该抛物线的表达式及点E的坐标；（2）在线段EF上任取点P，连结OP，作点F关于直线OP的对称点G，连结EG和PG，当点G恰好落到y轴上时，求EGP的面积8如图，直线y=kx+b（b0）与抛物线 y=18x2 相交于点A（x1，y1

5、），B（x2，y2）两点，与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，设OCD的面积为S，且kS+32=0（1）求b的值；（2）求证：点（y1，y2）在反比例函数 y=64x 的图象上；（3）求证：x1OB+y2OA=09某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y2x+100.（利润售价制造成本）（1）求出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价在35x40元，那么当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？ 1

6、0小何按市场价格 10 元/千克收购了 5000 千克蘑菇存放入冷库中，请根据小何提供的预测信息（如图）帮小何解决以下问题：（1）若小何想将这批蘑菇存放 x 天后一次性出售，则 x 天后这批蘑菇的销售单价为 元，这批蘑菇的销售量是 千克（2）小何将这批蘑菇存放多少天后，一次性出售所得的销售总金额为 80000 元？（3）将这批蘑菇存放多少天后一次性出售可获得最大利润？最大利润是多少？11为增加农民收入，助力乡村振兴.某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售，已知草莓的种植成本为8元/千克，经市场调查发现，今年五一期间草莓的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（8x40）满足的函数图象如图所示.

7、（1）根据图象信息，求y与x的函数关系式；（2）求五一期间销售草莓获得的最大利润.12某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件，第二个月如果单价不变，预计仍可以售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二月结束后批发商核对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元（1）填表（不需化简）时间第一个月第二个月清仓时单价（元）80 40销售量200 （2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利8000元，那么第二个月的单价应该是多少？（3）如果批发商希望通

8、过销售这批T恤获利最大，那么第二个月的单价应是多少元？最大利润为多少？13如图，已知二次函数的图象经过点 A(3，3) 、 B(4，0) 和原点O P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为 D(m，0) ，并与直线OA交于点C （1）求出二次函数的解析式； （2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值； （3）当点P在直线OA的上方时，求 APO 的最大面积 14如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，0），经过点A点B抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（1）求抛物线的关系式；（2）ABC的外接圆与轴交于点D，在抛物线上是否存在点M使SMB

9、C=SDBC，若存在，请求出点M的坐标（3）点P是直线y=x上一个动点，连接PB，PC，当PB+PC+PO最小时，求点P的坐标及其最小值15小军准备进行如下操作实验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形，设其中一个正方形的边长为x cm，这两个正方形的面积之和为ycm2请解答下列问题：（1）另一个正方形的边长为 cm（用含x的代数式表示）；（2）要使这两个正方形的面积之和等于68cm2，小军应怎么剪？（3）小华对小军说：“这两个正方形的面积之和的最小值为50cm2”他的说法符合题意吗？请说明理由16大润发超市购进一批成本价为20元 / 箱的陶山甘蔗，由往年销售经验可知，

10、当销售单价为x元/箱（ x25 ），每天销售量为 (80020x) 箱，设超市销售该甘蔗每天获得的利润为W元（1）求W关于x的函数关系式 （2）当销售单价x为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ （3）从今年11月份开始，物价部门建议甘蔗的利润不得高于成本的 60% ，求该超市每天获得的利润W的范围是多少？ 答案解析部分1【答案】（1）解：当抛物线与x轴只有一个交点时，ABC是直角三角形；理由如下：当抛物线与x轴只有一个交点时，=0，即（2c）24（a+b（ab）=0，整理得c2+a2=b2，ABC是直角三角形（2）解：ABC是等边三角形；理由如下：根据题意得： = 12 ，即c=

11、时，有 = a2 ，整理，得2b2a22c2+ab=0，将c= 代入，得a2=b2，a0，b0，a=b=c，即ABC是等边三角形2【答案】（1）解： a=2，b=4，c=3，b24ac=(4)242(3)=40 ，x=bb24ac2a=44022=2102 ，x1=2+102，x2=2102 ；（2） b2a=42(2)=1 ， 4acb24a=4(2)(6)424(2)=4 ， 该抛物线的顶点为 (1，4) .3【答案】（1）解：如图所示：抛物线y 12 x2开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，0)；抛物线y 12 x21开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，1)（2）解：抛物线y 12

12、x21可由抛物线y 12 x2向下平移1个单位长度得到4【答案】（1）x1（2）解：当a1时，yx2+2x+k 把B（2，2）代入，得 k2，yx2+2x+2（3）解：当a1时， yx2+2x+k（x1）2+k+1此二次函数的图象与线段AB只有一个公共点，当抛物线顶点落在AB上时，k+12，k1当抛物线经过点B时，k2当抛物线经过点A时，12+k2，k5综上所述：2k5或k1；（4）解：当ka+3时， yax22ax+a+3a（x1）2+3所以顶点坐标为（1，3）a+33a0如图，过点A作x轴的垂线交x轴于点P，过点B作x轴的垂线交x轴于点Q，P（1，0），Q（2，0）当1x2，此二次函数图象

13、与四边形APQB的边交点个数是大于0的偶数，当抛物线过点P时，a+2a+a+30，解得a 34ka+3 94 ，当抛物线经过点B时，4a4a+a+32，解得a1，k2，当抛物线经过点Q时，4a4a+a+30，解得a3，k0综上所述：2k 94 或k05【答案】（1）解：设某天售出该化工原料40千克时的销售单价为x元/千克， （60x）2+20=40，解得，x=50，故答案为：50；（2）解：设这种化工原料的进价为a元/千克， 当销售价为46元/千克时，当天的销量为：20+（6046）2=48（千克），则（46a）48=108+902，解得，a=40，即这种化工原料的进价为40元/千克；设公司某

14、天的销售单价为x元/千克，每天的收入为y元，则y=（x40）20+2（60x）=2（x55）2+450，当x=55时，公司每天的收入最多，最多收入450元，设公司需要t天还清借款，则（450108902）t10000，解得，t 615981 ，t为整数，t=62即公司至少需62天才能还清借款6【答案】（1）解：描点，连线，如图所示 根据图象可知，数据（3，38.5）是错误的；（2）解：设s关于t的函数表达式为s=at2+bt+c显然当t=0时，s=0c=0将(1，4.5)、(2，14)两点坐标代入 s=at2+bt+c，有4.5=a+b14=4a+2b解得 a=2.5b=2s关于t的函数表达式

15、为s=2.5t2+2t当t=6s时，s=2.562+26=102m即小聪在山坡上滑行的距离是102米7【答案】（1）解：把A（1，0），C（0，3）两点代入抛物线y=x2+bx+c中得： 1b+c=0c=3 ，解得： b=2c=3 ，该抛物线的表达式为：y=x2+2x+3=（x1）2+4，对称轴是：x=1，CEx轴，点C与点E是对称点，E（2，3）（2）解：连接FG，过P作PMx轴于M，过E作ENx轴于N，则PMEN， F与G关于OP对称，且G在y轴上，OF=OG=1，FG= 2 ，OGF=45，OC=3，CG=31=2=CE，ECG是等腰直角三角形，EG=2 2 ，CGE=45，EGF=90

16、，E（2，3），F（1，0），易得EF的解析式为：y=3x3，设P（x，3x3），POM=45，POM是等腰直角三角形，PM=OM，即x=3x3，解得：x= 32 ，P（ 32 ， 32 ），FM=MN= 12 ，PMEN，FP=EP，SEGP= 12 SEGF= 1212222 =1.8【答案】（1）解：直线y=kx+b（b0）与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，令x=0，得y=b；令y=0，x= bk ，OCD的面积S= 12 （ bk ）b= b22k kS+32=0，k（ b22k ）+32=0，解得b=8，b0，b=8；（2）证明：由（1）知，直线的解析式为y=kx+8，即x=

17、 y8k ，将x= y8k 代入y= 18 x2，得y= 18 （ y8k ）2，整理，得y2（16+8k2）y+64=0直线y=kx+8与抛物线 y=18x2 相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，y1，y2是方程y2（16+8k2）y+64=0的两个根，y1y2=64，点（y1，y2）在反比例函数 y=64x 的图象上（3）方法一：证明：由勾股定理，得OA2= x12 + y12 ，OB2= x22 + y22 ，AB2=（x1x2）2+（y1y2）2，由（2）得y1y2=64，同理，将y=kx+8代入y= 18 x2，得kx+8= 18 x2，即x28kx64=0，x1x2=6

18、4，AB2= x12 + x22 + y12 + y22 2x1x22y1y2= x12 + x22 + y12 + y22 ，又OA2+OB2= x12 + y12 + x22 + y22 ，OA2+OB2=AB2，OAB是直角三角形，AOB=90如图，过点A作AEx轴于点E，过点B作BFx轴于点FAOB=90，AOE=90BOF=OBF，又AEO=OFB=90，AEOOFB，OABO = OEBF ，OE=x1，BF=y2，OABO = x1y2 ，x1OB+y2OA=0方法二：分别过A，B两点作x轴垂线，垂足分别为E、F，y=kx+8y=18x2 x28kx64=0，x1=4k4 k2+

19、4 ，x2=4k+ k2+4 ，y1=4k2+84k k2+4 ，y2=4k2+8+ k2+4 ，A（4k4 k2+4 ，4k2+84k k2+4 ），B（4k+ k2+4 ，4k2+8+ k2+4 ），KOAKOB= 4k2+84kk2+44k4k2+44k2+8+4kk2+44k+4k2+4 = 44 =1OAOB，AOE+BOF=90，AEx轴，AOE+OAE=90，BOF=OAE，BFx轴，AEO=BFO=90，AEOBFO，OABO=OEBF ，OE=x1，BF=y2，x1OB+y2OA=09【答案】（1）解：根据题意，得：z（x18）（2x+100）2x2+136x1800； （2

20、）解：z2x2+136x1800 2（x34）2+512，a20，当x34时，z随x的增大而减小，又35x40，当x35时，z取得最大值，最大值为510，答：当销售单价为35元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为510万元.10【答案】（1）10+0.1x；500010x（2）解：由题意得 (10+0.1x)(500010x)=80000 ，整理得 x2+400x3000=0 ，解方程 x1=100 ， x1=300 （舍去）小何将这批蘑菇存放 100 天后一次性售出所得销售总金额为 80000 元（3）解：设利润为 w ，存放 x 天，w=(10+0.1x)(500010x)240x500

21、010 ，w=x2+160x ，w=(x80)2+6400 .将这批蘑菇存放 80 天一次性出售可获得最大利润，最大利润为 6400 11【答案】（1）解：当8x32时，设ykxb（k0）， 则 22k+b=15032k+b=120 ，解得： k=3b=216 ，当8x32时，y3x216，当32x40时，y120，y=3x+216(8x32)120(32x40)（2）解：设利润为W，则： 当8x32时，W（x8）y（x8）（3x216）3（x40）23072，开口向下，对称轴为直线x40，当8x32时，W随x的增大而增大，x32时，W最大2880，当32x40时，W（x8）y120（x8）1

22、20x960，W随x的增大而增大，x40时，W最大3840，38402880，最大利润为3840元.12【答案】（1）80x；200+10x；800200（200+10x）（2）解：根据题意，得 （8050）200+（8050x）（200+10x）（5040）（80020020010x）8000整理，得x220x0，解这个方程得x120，x20x20不合题意舍弃答：第二个月的单价应是60元（3）解：获得的利润y（8050）200+（80x50）（200+10x）（5040）（80020020010x）10（x10）2+9000， 当第二个月单价降低10元，即单价是801070元时，获得的最大利

23、润是9000元13【答案】（1）设 y=ax(x4) ， 把A点坐标 (3，3) 代入得：a=1 ，二次函数的解析式是 y=x2+4x（2）D(m，0) ， PDx 轴，P在 y=x2+4x 上， P(m，m2+4m) ，点 A(3，3) ，直线OA的解析式为y=x，又点C在直线OA上，点C（m，m）当点P在直线OA的上方时， 0m3 ，PC=PDCD=m2+4mm=m2+3m ，=(m32)2+94 ，10 ，开口向下， 当m= 32 时，PC有最大值 94 ，即当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是 94 （3）A点坐标 (3，3) ，且PC有最大值 94 ， SAPO最大=1294

24、3=278 14【答案】（1）解：设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x4）由题意得可知：a=1所以抛物线的解析式为y=x23x4（2）解：如图所示：过点D作直线DMBC，交抛物线与点M和点MDMBC，SMBC=SDBCODOC=OBOA，4OD=41，解得DO=1D（0，1）设直线BC的解析式为y=kx+b，将点B和点C的坐标代入得 b=44k+b=0 ，解得k=1，b=4DMBC，直线DM的解析式为y=x+1将y=x+1代入y=x23x4得：x23x4=x+1，整理得：x24x5=0，解得x=1或x=5当x=1时，y=0，M的坐标为（1，0）当x=5时，y=6M的坐标为（5，6）综上所述，

25、点M的坐标为（1，0）或（5，6）（3）解：如图2所示：OPC顺时针旋转60得到OCP，连结CP、PP、PB，过点C作CEx轴，垂足为E由旋转的性质可知：CP=CP，OP=OP，POP=60OPP为等边三角形OP=PPCP+PB+OP=CP+PB+PP当点CP、PP、PB在一条直线上时，CP+PB+OP有最小值，最小值=CBOP的解析式为y=x，POC=45，POC=45EOC=30EC= 12 OC=2，EO=2 3 C（2 3 ，2）设直线CB的解析式为y=kx+b，则 4k+b=023k+b=2 ，解得k=2 3 ，b=4 3 8直线CB的戒形式为y=（2 3 ）x+4 3 8将y=x代

26、入得：x=（2 3 ）x+4 3 8，解得x= 6233 y= 2363 点P的坐标为（ 6233 ， 2363 ）C（2 3 ，2）BE=4+2 3 依据勾股定理得：BC= CE2+BE2 = 22+(4+23)2 = 32+163 =2 8+43 =2 (6+2)2 =2 6 +2 2 所以PB+PC+PO的最小值为2 6 +2 2 15【答案】（1）(10x)（2）解：由题意得，x2+(10x)2=682x220x+100=68x210x+16=0(x2)(x8)=0解得x=2或x=8故这两个正方形的周长分别为：42=8cm或48=32cm；（3）解：这两个正方形的面积之和为ycm2，即

27、y=x2+(10x)2=2x220x+100=2(x210x)+100=2(x210x+5252)+100=2(x5)2+50当x=5时，两个正方形的面积和最小为50cm2，故小华的说法是正确的16【答案】（1）解： W=(x20)(80020x)=20x2+1200x16000（2）解：W=20x2+1200x16000=20(x30)2+2000 ； 当 x=30 时， Wmax=2000答：当销售单价x为30元时，每天可获得利润最大，最大利润为2000元（3）解：由题意 x20(1+60%) ， 即 x32 ，又 x25 ，25x32 ，又 W=20(x30)2+2000 ，x=25 时， Wmin=1500 ，当 x=30 时， Wmax=2000 ，1500元W2000元 学科网（北京）股份有限公司