2022年高一数学函数函数与方程知识点总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 传定 义函 数函 数 的 基 本 性 质函 数 三 要 素近代定义：函数是从一个数集到另一个数集的映射定义域值域对应法就函 数 的 表 示 方 法解析法列表法图象法传统定义：在区间 a, b上,如 a x 1 x 2 b,假如 f x 1f x 在 a,b上递增, a,b 是递增区间； 假如 f就 f x 在 a, b上递减, a,b是递减区间； f x 1x2,就 x 2, f单 调 性导数定义：在区间 a, b上,如是递增区间；如 f xf x 0,就 f x 在a,b 上递增, a, b 0,就 f x 在a,b 上递减, a, b是递最

2、 值减区间；最大值：设函数 y=f x 的定义域为 I,假如存在实数 M 满意：对于任意的x I,都有 f x M ；存在 x 0 I,使得 f x 0 =M ,就称 M 是函数 y=f x 的最大值；最小值：设函数 y=f x 的定义域为 I,假如存在实数 M 满意：对于任意的 x I,都有 f xM ；存在 x 0 I,使得 f x 0 =M,就称M 是函数 y=f x 的最大值；奇 偶 性 f-x= -f x,x定义域 D,就 f x叫做奇函数, 其图像关于原点对称； f-x= f x,x定义域 D,就 f x叫做偶函数, 其图像关于y 轴对称；周期性 ：在函数 f x 的定义域上恒有

3、f x T = f x叫做周期函数, T 为周期； T 的最小正值叫做周期；描点连线法：列表、描点、连线（T 0 的常数）就 f xf x 的最小正周期,简称名师归纳总结 函 数 图 像 的 画 法 变 换 法平 移 变 换向左平移 a 个单位： y 1=y,x 1-a=x 向右平移 a 个单位： y 1=y,x 1+a=x 向上平移 b 个单位： x 1=x,y 1-a=y 向下平移 b 个单位： x 1=x,y 1-b=yy=f xy=f x-y-b=f xy+b=f xa a第 1 页,共 6 页伸 缩 变 换横坐标变换： 把各点的横坐标 x 1缩短（当 w 1 时）或伸长（当 0 w

4、1 时）到原先的 1/w 倍（纵坐标不变） ,即 x 1 =wx y=f wx横坐标变换： 把各点的纵坐标 y 1伸长（当 A 1 时）或缩短 （当 0 A 1 时）到原先的 A 倍（横坐标不变） ,即 y 1=y/A y=f x关于点（ x 0 ,y 0 ）对称 ：x+x 1 =2x 0 y+y 1 =2y 0x 1=2x 0 -x y 1=2y 0 -y 2 y 0x 1 =2x0-x y1=y -yf2x0-x关于直线 x=x 0 对称x+x 1 =2x0 y=y 1对 称 变 换 y=f2x0-x关于直线 x=x 0 对称x=x 1 y+y 1 =2y0x1=x y 1 =2y0-y

5、例题精讲 2y 0 -y=f x关于直线 y=x 对称x=x 1 y=y 1y=f-1x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 1. 1 设 A=a,b,c,B=-1,0,1, 映射 f ：AB如映射 f 满意 fafbfc, 就映射 f 的个数为；（ 4）解：列表法： fafbfc fa 只能取 0 或 1,fc 只能取 -1 或 0. 依据映射的定义 , 以 fa 取值从大到小的次序列表考察 :fa fb fc 1 0 0 1 0 -1 1 -1 -1 0 -1 -1 由此可知符合条件的映射是 4 个 . 例 2. 1 已知 fx=x 2+2x-1x

6、2, 求 f2x+1 的解析式 ; 2 已知 , 求 fx 1 的解析式 . 解 : 1 fx=x 2+2x-1 x2 以 2x+1 替代上式中的 x 得f2x+1=2x+1 2+22x+1-1 2x+12 f2x+1=4x 2+8x+2 x1/2 2 由已知得以 x 替代上式中的 得 fx=x 2- 1 x 1fx+1=x1 2- 1 x+1 1 即 fx+1=x 2+2x x 0例 3.1 已知函数 fx 是定义在 R上的偶函数,且满意 f =-fx,又 f2=1 ,f1=a ,就 a=_；2 已知函数 fx 的最小正周期为 2T,且 fT+x=fT-x 对一切实数 x 都成立,就对 fx

7、 的奇偶性的判定是 . 解 : 1 由 f=-fx知 fx 是周期函数,且3 是 fx的一个周期,又fx为偶函数f-x=fxxR , 在 此 基 础 上 , 寻 觅 已 知 条 件 中 的f2与f1的 联 系 : f2=f-2=f-2+3=f1 而 f1=a ,f2=1 ,a=1 2 由 fx 的最小正周期为2T得 fx+2T=fx 又这里 fx+T=fT-x 为了靠拢,在中以x+T 替代 x 的位置得fx+2T=fT-x+T=f-x 由,得 f-x=fx fx 为偶函数 .易错题名师归纳总结 例 4.已知函数fx=1-2x, y=gx 的图象与y=的图象关于直线y=x 对称,求第 2 页,共

8、 6 页1xg1 2的值 . 由 题 设 知gx 与互 为 反 函 数典 型 错 解 :- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - = y= gx=fx+1 由此得 g=f=-的反函数是gx ,但错因分析 :上面正确,由导出显现错误. 在这里的反函数却不是fx+1.认知 : 由求反函数的“ 三部曲” 易知y=fx+1的反函数不是,而是 y= -1 ；y=的反函数不是y=fx+1 ,而是 y=fx-1. =-正确解法 : 着力于寻求的解析式 : 由已知得 =1-xx -2 2x =-xx3x -3 又由题设知gx 的反函数为, =xx3g令 g1 =b ,就 2

9、=1由得 -bb3 =1,解得b=-1 ,221 =-1. 2当堂检测x 3, x 101.设函数 f x ,就 f 5f x 5, x 1022.已知 f x 的定义域为 2,2,求 f x 1 的定义域 _ 3. 已知 fx+2f 1 =3x,求 fx的解析式 _. x4. 设 fx是在 ,+上以 4 为周期的函数,且 fx是偶函数,在区间2,3上时,fx= 2x 3 2+4,求当 x 1,2时 fx的解析式 _.15. 已知函数 f x 2 ax 2x 0 1, ,x（1）如 f x 在 x 0 1, 是增函数,求 a的取值范畴 ; （2）求 f x 在区间 0 1, 上的最大值 . 直

10、击高考名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1. 函数 y= x 0的反函数是B A. y=x -1 B. y= x -1 C. y=x 0 D. y=x 02.2004 北京卷 函数 fx= -2ax-3 在区间 1 ,2 上存在反函数的充分必要条件是 D A. a - , 1 B. a 2 ,+ C. a 1 , 2 D. a - , 1 2 ,+3. 设函数 fx 的图象关于点 1 , 2 对称,且存在反函数 f, f4=0 ,就 f =_-2_ 5. 已知函数 y=fx 是奇函数, 当 x0 时,fx= -1.

11、设 fx 的反函数是 y=gx ,就 g-8=_-2_ 6. 如存在常数 p0,使得函数 fx 满意 fpx=fpxp xR,就 fx 的一个正周期为 _p/2_ 2学问梳理函 数 与 方 程零 点 与 根 的 关 系零点：对于函数y=f x,我们把使f x=0 的实数 x 叫做函数 y=f x的零点定理： 假如函数 y=f x在区间 a,b上的图像是连续不断的一条曲线,并且有 f a f b 0,那么, 函数 y=f x在区间 a,b内有零点； 即存在 c（a,b）,使得 f c =0.这个 c 也是方程 f x=0 的根；二 分 法关系：方程f x=0 有实数根函数 y=f x有零点函数

12、y=f x的图像与 x 轴有交点确定区间 a,b,验证 f a f b 0,给定精确度；求区间 a, b的中点 c；求 方 程 的 近 似 解运算 f c ；如 f c =0,就 c 就是函数的零点；如 f a f b 0,就令 b=c（此时零点x 0（ a,b）；如 f c f b 0,就令 a=c（此时零点（c, b）；x 0判定是否达到精确度,即如a-b,就得到零点的近似值a（或 b）；否就重复以上步骤；例题精讲名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1. 已知函数f x x2a21 xa2的一个零点比1 大,一个零

13、点比1 小,求实数 a 的取值范畴；解：设方程 x 2 a 21 x a 2 0 的两根分别为 x x 2 x 1 x 2 ,就 x 1 1 x 2 1 0,所以 x 1 x 2 x 1 x 2 1 02由韦达定理得 a 2 a 1 1 0,即 a 2a 2 0,所以 2 a 12 2 32.判定函数 f x 4 x x x 在区间 1,1上零点的个数,并说明理由；3解 ：由于 f 1 4 1 2 70,f 1 4 1 2 1303 3 3 3所以 f x在区间 1,1上有零点2又 f x 4 2 x 2 x 2 9 2 x 12 2当 1 x 1 时,0 f x 92所以在 1,1 上单调递

14、增函数,所以 f x在 1,1上有且只有一个零点；易错题3. 设fx3x3x8, 用 二 分 法 求 方 程3x3x80 在x,12内 近 似 解 的 过 程 中 得f10,f15.0 ,f1. 250,就方程的根落在区间（B ）A 1,1.25B 1.25,1.5C 1.5,2D不能确定当堂检测名师归纳总结 1.假如二次函数yx2mxm3有两个不同的零点,就m 的取值范畴是（）第 5 页,共 6 页A2 ,6B2,6C,26D, 26,2.已知函数f x21,就函数f x1的零点是 _ 3.如方程axxa0有两个实数解,就a 的取值范畴是（）A 1,B 0,1C 0, 2D 0,4.函数f

15、x x5x3的实数解落在的区间是 A 0,1B 1,2C 2,3D 3,4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5.求函数fx2x33x1零点的个数为（）A1B 2C 3D 4直击高考1.设二次函数f x2axa ,方程f x x0的两根1x 和2x 满意0x 1x21；（1）求实数 a 的取值范畴；（2）试比较f0f1f20与1 16的大小,并说明理由；解： 令g x f xxa1xa就由题意可得：0012a1a101a32 20a 32 2ag10a32 2,或g00故所求实数 a 的取值范畴是 0,32 2 ；2.函数 f x=2x +3x 的零点所在的一个区间是（B）A（ -2,-1 ） B （ -1 , 0） C （ 0, 1） D （ 1, 2）3. 设函数 f x=4sin （2x+1）-x ,就在以下区间中函数f x不存在零点的是（A） A -4,-2 B.-2,0 C.0,2 D.2,4 名师归纳总结 4. 函数 f x=x -COSx在 0 , 内（ B） D有无穷多个零点第 6 页,共 6 页 A没有零点 B有且仅有一个零点 C 有且仅有两个零点- - - - - - -