高一数学函数、函数与方程知识点总结.doc

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1、高一数学函数、函数与方程知识点总结高一数学函数、函数与方程知识点总结学优教育朋友式相处快乐式学习知识梳理映射定义：设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合到集合的一个映射定义传统定义：如果在某变化中有两个变量x，y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应关系f，y都有唯一确定的值和它对应。那么y就是x的函数。记作y=fx函数及其表示函数三要素函数的表示方法近代定义：函数是从一个数集到另一个数集的映射值域定义域对应法则解析法图象法传统定义：在区间a，b上，若ax1x2b

2、，如果fx1fx2，则fx在a，b上递增，a，b是递增区间；如果fx1fx2，则fx在a，b上递减，a，b是递减区间。列表法单调性导数定义：在区间a，b上，若fx0，则fx在a，b上递增，a，b是递增区间；若f减区间。x0，则fx在a，b上递减，a，b是递函数函数的基本性质最值最小值：设函数y=fx的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有fxM；存在x0I，使得fx0=M，则称M是函数y=fx的最大值。f-x=-fx，x定义域D，则fx叫做奇函数，其图像关于原点对称。奇偶f-x=fx，x定义域D，则fx叫做偶函数，其图像关于y轴对称。性周期性：在函数fx的定义域上恒有fxT=fx

3、（T0的常数）则fx叫做周期函数，T为周期；T的最小正值叫做fx的最小正周期，简称最大值：设函数y=fx的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有fxM；存在x0I，使得fx0=M，则称M是函数y=fx的最大值。周期。描点连线法：列表、描点、连线平移变换向左平移a个单位：y1=y，x1-a=xy=fxa向右平移a个单位：y1=y，x1+a=xy=fx-a向上平移b个单位：x1=x，y1-a=yy-b=fx向下平移b个单位：x1=x，y1-b=yy+b=fx函数图像的画法变换法伸缩变换横坐标变换：把各点的横坐标x1缩短（当w1时）或伸长（当0w1时）到原来的1/w倍（纵坐标不变），即

4、x1=wxy=fwx横坐标变换：把各点的纵坐标y1伸长（当A1时）或缩短（当0A1时）到原来的A倍（横坐标不变），即y1=y/Ay=fx关于点（x0，y0）对称：=2y2y0y1=2y0-yy+y10x+x1=2x00-xx1=2x-yf2x0-xx=x1x1=xy+y1=2y0y1=2y0-y2y0-y=fxx=x1-1第1页共6页关于直线y=x对称y=yy=fx1对称变关于直线x=x0对称换0-xx+x1=2x0x1=2x关于直线x=x0对称y=yy1=yy=f2x0-x学优教育朋友式相处快乐式学习例题精讲例1.(1)设A=a,b,c,B=-1,0,1,映射f：AB若映射f满足f(a)f(

5、b)f(c),则映射f的个数为。（4）解：列表法：f(a)f(b)f(c)f(a)只能取0或1,f(c)只能取-1或0.根据映射的定义,以f(a)取值从大到小的次序列表考察:f(a)1110f(b)00-1-1f(c)0-1-1-1由此可知符合条件的映射是4个.例2.(1)已知f(x)=x+2x-1(x2),求f(2x+1)的解析式;2(2)已知2,求f(x1)的解析式.解:(1)f(x)=x+2x-1(x2)以2x+1替代上式中的x得f(2x+1)=(2x+1)+2(2x+1)-1(2x+12)f(2x+1)=4x+8x+2(x1/2)(2)由已知得以x替代上式中的2222得f(x)=x-1

6、(x1)2f(x+1)=(x1)-1(x+11)即f(x+1)=x+2x(x0)例3.(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f()=-f(x)，又f(2)=1，f(1)=a，则a=_。(2)已知函数f(x)的最小正周期为2T，且f(T+x)=f(T-x)对一切实数x都成立，则对f(x)的奇偶性的判定是?解:(1)由f(f(-x)=f(x)(x)=-f(x)知f(x)是周期函数，且3是f(x)的一个周期，又f(x)为偶函数R)，在此基础上，寻觅已知条件中的f(2)与f(1)的联系:f(2)=f(-2)=f(-2)+3=f(1)而f(1)=a，f(2)=1，a=1(2)由f(x)的最小

7、正周期为2T得f(x+2T)=f(x)又这里f(x+T)=f(T-x)为了靠拢，在中以(x+T)替代x的位置得f(x+2T)=fT-(x+T)=f(-x)由，得f(-x)=f(x)f(x)为偶函数.易错题例4.已知函数f(x)=1-2x1x，y=g(x)的图象与y=的图象关于直线y=x对称，求g1的值.2第2页共6页学优教育朋友式相处快乐式学习互为反函数典型错解:由题设知g(x)与=g(x)=f(x+1)由此得g()=f()=-错因分析:上面正确，由导出出现错误.在这里的反函数是g(x)，但的反函数却不是f(x+1).认知:由求反函数的“三部曲”易知y=f(x+1)的反函数不是y=，而是y=-

8、1；y=的反函数不是y=f(x+1)，而是y=f(x)-1.的解析式):由已知得=正确解法:(着力于寻求=-1-x2x(x-2)x(x-3)x3，=又由题设知g(x)的反函数为xx31令g()=b，则21g()=-1.2=-=12由得-b1=b32，解得b=-1，当堂检测1.设函数x3,(x10)，则f(5)f(x)f(x5),(x10)22.已知f(x)的定义域为2，2，求f(x3.已知f(x)+2f(1)的定义域_1)=3x,求f(x)的解析式_.x4.设f(x)是在(,+)上以4为周期的函数，且f(x)是偶函数，在区间2，3上时，f(x)=2(x3)2+4，求当x1,2时f(x)的解析式

9、_.5.已知函数（1）若（2）求f(x)2ax1,x(0,1,2xf(x)在x(0,1是增函数，求a的取值范围;f(x)在区间(0,1上的最大值.第3页共6页学优教育朋友式相处快乐式学习直击高考1.函数y=(x0)的反函数是(B)A.y=(x-1)B.y=(x-1)C.y=(x0)D.y=(x0)2.(2022北京卷)函数f(x)=-2ax-3在区间1，2上存在反函数的充分必要条件是(D)A.a(-，1B.a2，+)C.a1，2D.a(-，12，+3.设函数f(x)的图象关于点(1，2)对称，且存在反函数f5.已知函数y=f(x)是奇函数，当x0时，f(x)=，f(4)=0，则f=_-2_-1

10、.设f(x)的反函数是y=g(x)，则g(-8)=_-2_6.若存在常数p0，使得函数f(x)满足f(px)=f(pxp2)(xR)，则f(x)的一个正周期为_p/2_知识梳理零点：对于函数y=f定理：如果函数y=fx，我们把使fx=0的实数x叫做函数y=fx的零点x在区间a，b上的图像是连续不断的一条曲线，并且有fafbx在区间a，b内有零点。即存在c（a，b），使得fc=0.零点与根的关系0，那么，函数y=f这个c也是方程f关系：方程f交点x=0的根。函数与方程x=0有实数根函数y=fx有零点函数y=fx的图像与x轴有二分法求方程的近似解确定区间a，b，验证fafb0，给定精确度；计算f求

11、区间a，b的中点c；c；c=0，则c就是函数的零点；若fafb0，则令b=c（此时零点x0（a，b）；若fcfb0，则令a=c（此时零点x0（c，b）；否则重复以上a-b，则得到零点的近似值a（或b）若f判断是否达到精确度，即若步骤。第4页共6页学优教育朋友式相处快乐式学习例题精讲1.已知函数一个零点比1小，求实数a的取值范围。f(x)x2(a21)xa2的一个零点比1大，2解：设方程x(a21)xa20的两根分别为x1,x2(x1x2)，1)0，所以x1x2(x1x2)102则(x11)(x2由韦达定理得a2(a即a21)10，a20，所以2a1f(x)4xx223x在区间1,1上零点的个数

12、，并说明理由。327213f1410，f141033332.判断函数解：因为所以fx在区间1,1上有零点2又91fx42x2x22x22x1时，0fx当192所以在1,1上单调递增函数，所以fx在1,1上有且只有一个零点。易错题3.设fx3x3x8,用二分法求方程3x3x80在x1,2内近似解的过程中得f10,f1.50,f1.250,则方程的根落在区间（B）A(1,1.25)B(1.25,1.5)C(1.5,2)D不能确定当堂检测1.如果二次函数yxmx(m3)有两个不同的零点，则m的取值范围是（）A2,6B2,6C2,6D,26,2.已知函数f(x)x21，则函数f(x1)的零点是_3.若

13、方程axa0有两个实数解，则a的取值范围是（）A(1,)B(0,1)C(0,2)D(0,)x2第5页共6页学优教育朋友式相处快乐式学习4.函数f(x)x5x3的实数解落在的区间是()A0,1B1,2C2,3D3,45.求函数f(x)2x33x1零点的个数为（）A1B2C3D4直击高考1.设二次函数f(x)x2axa，方程f(x)x0的两根x1和x2满足0x1x21；（1）求实数a的取值范围；（2）试比较f0f1f0与1的大小，并说明理由。16解：令g(x)则由题意可得：f(x)xx2(a1)xa01aa01021a1g(1)0a322,或a322g(0)0故所求实数a的取值范围是(0,322.

14、函数f0a扩展阅读：高一数学函数、函数与方程知识点总结函数学优教育朋友式相处快乐式学习传定义函近代定义：函数是从一个数集到另一个数集的映射数三定义域要值域素函对应法则数的解析法表列表法示方图象法法传统定义：在区间a，b上，若ax1x2b，如果fx1fxx2，则f在单a，b上递增，a，b是递增区间；如果fx在a，b上递减，a，b是递减区间。1fx2，则fx调性导数定义：在区间a，b上，若fx0，则fx在a，b上递增，a，b是递增区间；若fx0，则fx在a，b上递减，a，b是递减区间。最大值：设函数y=fx的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有fxM；存在x函最y=fx的最大值。0

15、I，使得fx0=M，则称M是函数数值的最小值：设函数y=fx的定义域为基I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有fxM；存在x0I，使得fx0=M，则称本M是函数y=fx的最大值。性质f-x=-fx，x定义域D，则fx叫做奇函数，其图像关于原点对称。奇偶性f轴对称。-x=fx，x定义域D，则fx叫做偶函数，其图像关于y周期性：在函数fx的定义域上恒有fxT=fx（T0的常数）则fx叫做周期函数，T为周期；T的最小正值叫做fx的最小正周期，简称周期。描点连线法：列表、描点、连线向左平移a个单位：y1=y，x1-a=xy=fxa平向右平移a个单位：y移1=y，x1+a=xy=fx-变a向上平移

16、b个单位：x1=x，y1-a=yy-b=fx换向下平移b个单位：x1=x，y1-b=yy+b=fx函横坐标变换：把各点的横坐标x1缩短（当w1时）或伸长（当0w数伸1时）到原来的1/w倍（纵坐标不变），即x缩1=wxy=fwx图变横坐标变换：把各点的纵坐标y像的换A1伸长（当A1时）或缩短（当0A1时）到原来的倍（横坐标不变），即y1=y/Ay=fx画变法换x+x1=2x0x=2x0-x法关于点（x12y0，y0）对称：y+y=2yy0-yf2x101=2y0-y0-x关于直线x=xx+x=2xx101=2x0-x0对称y=y对1y1=yy=f2x0-x称x=x1变关于直线x=x0对称换y+y

17、1x=x1=2y0y1例题精讲=2y0-y2y0-y=fxx=x1关于直线y=x对称y=y1y=f-1x第1页共6页学优教育朋友式相处快乐式学习例1.(1)设A=a,b,c,B=-1,0,1,映射f：AB若映射f满足f(a)f(b)f(c),则映射f的个数为。（4）解：列表法：f(a)f(b)f(c)f(a)只能取0或1,f(c)只能取-1或0.根据映射的定义,以f(a)取值从大到小的次序列表考察:f(a)1110f(b)00-1-1f(c)0-1-1-1由此可知符合条件的映射是4个.例2.(1)已知f(x)=x+2x-1(x2),求f(2x+1)的解析式;2(2)已知,求f(x1)的解析式.

18、解:(1)f(x)=x2+2x-1(x2)以2x+1替代上式中的x得f(2x+1)=(2x+1)2+2(2x+1)-1(2x+12)f(2x+1)=4x2+8x+2(x1/2)(2)由已知得以x替代上式中的2得f(x)=x-1(x1)f(x+1)=(x1)2-1(x+11)即f(x+1)=x2+2x(x0)例3.(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f()=-f(x)，又f(2)=1，f(1)=a，则a=_。(2)已知函数f(x)的最小正周期为2T，且f(T+x)=f(T-x)对一切实数x都成立，则对f(x)的奇偶性的判定是?解:(1)由f(f(-x)=f(x)(x)=-f(x)知

19、f(x)是周期函数，且3是f(x)的一个周期，又f(x)为偶函数R)，在此基础上，寻觅已知条件中的f(2)与f(1)的联系:f(2)=f(-2)=f(-2)+3=f(1)而f(1)=a，f(2)=1，a=1(2)由f(x)的最小正周期为2T得f(x+2T)=f(x)又这里f(x+T)=f(T-x)为了靠拢，在中以(x+T)替代x的位置得f(x+2T)=fT-(x+T)=f(-x)由，得f(-x)=f(x)f(x)为偶函数.易错题例4.已知函数f(x)=1-2x1x，y=g(x)的图象与y=的图象关于直线y=x对称，求g1的值.2互为反函数典型错解:由题设知g(x)与第2页共6页=学优教育朋友式

20、相处快乐式学习g(x)=f(x+1)由此得g()=f()=-错因分析:上面正确，由导出出现错误.在这里的反函数是g(x)，但的反函数却不是f(x+1).认知:由求反函数的“三部曲”易知y=f(x+1)的反函数不是y=，而是y=-1；y=的反函数不是y=f(x+1)，而是y=f(x)-1.的解析式):由已知得=正确解法:(着力于寻求=-1-x2x(x-2)xx3(x-3)又由题设知g(x)的反函数为=-，=xx3令g(12)=b，则=12由得-bb3=12，解得b=-1，g(12)=-1.当堂检测1.设函数f(x)x3,(x10)f(x5),(x10)，则f(5)2.已知f(x)的定义域为2，2

21、，求f(x3.已知f(x)+2f(21)的定义域_1x)=3x,求f(x)的解析式_.4.设f(x)是在(,+)上以4为周期的函数，且f(x)是偶函数，在区间2，3上时，f(x)=2(x3)2+4，求当x1,2时f(x)的解析式_.5.已知函数f(x)2ax1x2,x(0,1,（1）若f(x)在x(0,1是增函数，求a的取值范围;（2）求f(x)在区间(0,1上的最大值.直击高考第3页共6页1.函数y=学优教育朋友式相处快乐式学习(x0)的反函数是(B)A.y=(x-1)B.y=(x-1)C.y=(x0)D.y=(x0)2.(2022北京卷)函数f(x)=-2ax-3在区间1，2上存在反函数的

22、充分必要条件是(D)A.a(-，1B.a2，+)C.a1，2D.a(-，12，+3.设函数f(x)的图象关于点(1，2)对称，且存在反函数f5.已知函数y=f(x)是奇函数，当x0时，f(x)=，f(4)=0，则f=_-2_-1.设f(x)的反函数是y=g(x)，则g(-8)=_-2_6.若存在常数p0，使得函数f(x)满足f(px)=f(pxp2)(xR)，则f(x)的一个正周期为_p/2_知识梳理零点：对于函数y=fx，我们把使fx=0的实数x叫做函数y=fx的零点定理：如果函数y=fx在区间a，b上的图像是连续不断的一条曲线，并且有fafb零点与根的关系0，那么，函数y=fx在区间a，b

23、内有零点。即存在c（a，b），使得fc=0.这个c也是方程fx=0的根。关系：方程fx=0有实数根函数y=fx有零点函数y=fx的图像与x轴有交点确定区间a，b，验证fafb0，给定精确度；求区间a，b的中点c；计算fc；若fc=0，则c就是函数的零点；若fafb0，则令b=c（此时零点x0（a，b）；若fcfb0，则令a=c（此时零点x0（c，b）；判断是否达到精确度，即若a-b，则得到零点的近似值a（或b）；否则重复以上步骤。函数与方程二分法求方程的近似解例题精讲第4页共6页学优教育22朋友式相处快乐式学习1.已知函数f(x)x(a1)xa2的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值

24、范围。解：设方程x(a1)xa20的两根分别为x1,x2(x1x2)，则(x11)(x21)0，所以x1x2(x1x2)10由韦达定理得a2(a1)10，即aa20，所以2a12.判断函数f(x)4xx解：因为f所以f2222223233x在区间1,1上零点的个数，并说明理由。141730，f141231330x在区间1,1上有零点21又fx42x2x2x2292当1x1时，0fx92所以在1,1上单调递增函数，所以fx在1,1上有且只有一个零点。易错题3.设fx33x8,用二分法求方程33x80在x1,2内近似解的过程中得xxf10,f1.50,f1.250,则方程的根落在区间（B）A(1,

25、1.25)B(1.25,1.5)C(1.5,2)D不能确定当堂检测1.如果二次函数yxmx(m3)有两个不同的零点，则m的取值范围是（）A2,6B2,6C2,6D,26,2.已知函数f(x)x21，则函数f(x1)的零点是_x3.若方程axa0有两个实数解，则a的取值范围是（）A(1,)B(0,1)C(0,2)D(0,)4.函数f(x)xx3的实数解落在的区间是()52第5页共6页学优教育朋友式相处快乐式学习A0,1B1,2C2,3D3,45.求函数f(x)2x33x1零点的个数为（）A1B2C3D4直击高考1.设二次函数f(x)xaxa，方程f(x)x0的两根x1和x2满足0x1x21；（1）求实数a的取值范围；（2）试比较f20f1f0与2116的大小，并说明理由。解：令g(x)f(x)xx(a1)xa则由题意可得：0a01a1021a1g(1)0a322,或a322g(0)0故所求实数a的取值范围是(0,32x0a第 13 页 共 13 页