3.1.1不等关系与不等式解析.ppt

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1、3.1.13.1.1不等关系与不等式不等关系与不等式含有这些不等号含有这些不等号 1.1.用数学符号用数学符号“”，“”,“b b,b b c c a a c c;（2 2）a a b b a a+c c b+c b+c;（3 3）a a b b,c c0 0 acac bc bc;（4 4）a ab,b,c c0 b b,c c d d a a+c c b b+d d;（6 6）a a b b0,0,c c d d00 acac bd bd;（7 7）a a b b0,0,n nNN，n n11 a an n b bn n;（8 8）a a b b0,0,n nN,N,n n11 .学点一学

2、点一 不等式的概念不等式的概念铁路旅行常识规定：铁路旅行常识规定：“一、随同成人旅行身高一、随同成人旅行身高1.11.11.41.4米的儿童，享受米的儿童，享受半价客票（以下称儿童票），超过半价客票（以下称儿童票），超过1.41.4米时应买全票，米时应买全票，每一成人旅客可免费带一名身高不足每一成人旅客可免费带一名身高不足1.11.1米的儿童，超米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票过一名时，超过的人数应买儿童票.十、旅客每人免费携带物品的体积和重量是每件物十、旅客每人免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部尺寸长、宽、高之和不超过品的外部尺寸长、宽、高之和不超过160160厘米，杆状物厘

3、米，杆状物品不超过品不超过200200厘米，重量不得超过厘米，重量不得超过2020千克千克”设儿童身高为设儿童身高为h h m m，物品外部尺寸长、宽、高之和，物品外部尺寸长、宽、高之和为为p p cm cm，请在下表空格内填上对应的数学符号（，请在下表空格内填上对应的数学符号（,）,并与同学交流并与同学交流.【解析】【解析】符号表示符号表示1.11.1h h1.4,1.4,h h1.4,1.4,h h1.1,0，因此因此x2xx2.例例3.比较比较与与的大小的大小.解：解：x3(x2x+1)=x3x2+x1 =x2(x1)+(x1)=(x1)(x2+1),x2+10，当当x1时，时，x3x2

4、x+1；当当x=1时，时，x3=x2x+1，当当x1时，时，x3 n n0,0,a a0,0,比较比较a am m+a a-m m与与a an n+a a-n n的大小的大小.【解析】【解析】【评析】【评析】作差法比较大小，关键是判断差的符号，应作差法比较大小，关键是判断差的符号，应注意应用函数性质注意应用函数性质.学点二学点二 不等式的性质不等式的性质【分析】【分析】若要判断上述命题的真假，依据就是实数集若要判断上述命题的真假，依据就是实数集的基本性质和实数运算的符号法则及不等式的基本性质，的基本性质和实数运算的符号法则及不等式的基本性质，经过合理的逻辑推理即可判断经过合理的逻辑推理即可判断

5、.例例5.5.对于实数对于实数a a，b b，c c，判断下列命题的真假，判断下列命题的真假.(1)(1)若若a a b b,则则acac bcbc2 2,则则a a b b；(3)(3)若若a a b b0,abab b b2 2；(4)(4)若若a a b b0,|b b|；(5)(5)若若c c a a b b0,0,则则.(6)(6)若若a a b b,则则a a0,0,b b0.bcbc2 2，知，知c c0,0,c c2 20,0,0.0.故该命题为真命题故该命题为真命题.（3 3）由）由 a a2 2abab.由由 abbabb2.2.a a2 2 abab b b2 2.故该命

6、题为真命题故该命题为真命题.a a b ba a00a a b bb b0 b b00 -a a-a a b b00 0 0c ca a b b,a a0,0,b b0.b b 2 2-x xa a22-x xb b;（2 2）a a b b,c c d d a a-c c b b-d d;（3 3）a a b b,c c|b b0 0 a an n b bn n(n nN,N,n n1).1).解解:以不等式的性质为起点以不等式的性质为起点,逐一验证每一个命题的逐一验证每一个命题的真伪真伪.（1 1）成立）成立.2.2-x x0,0,由性质知由性质知2 2-x xa a22-x xb b;（

7、2 2）不成立）不成立.令令a a=5,=5,b b=4,=4,c c=3,=3,d d=1=1时，有时，有a a-c c b b0,0,c c0,00时显然有时显然有 ;（4 4）不成立）不成立.|.|a a|b b00|a a|n n b bn n,但但|a a|n n与与a an n可能相可能相等，也可能互为相反数等，也可能互为相反数.学点三利用不等式的性质证明不等式学点三利用不等式的性质证明不等式【分析】【分析】恰当使用不等式性质进行变形是关键恰当使用不等式性质进行变形是关键.（1 1）已知）已知a a b b,，求证：，求证：a a0,0,且且b b0;b b0,0,c c d d0

8、,0,求证：求证：acac b b0,0,c c d d0 b b0,0,c c d d0,0,求证：求证：.例例7.【解析】【解析】【评析】只有同向时不等式才能相加，两边同乘（除）【评析】只有同向时不等式才能相加，两边同乘（除）某一数（式）时，一定要注意其正负，必要时要分类讨论某一数（式）时，一定要注意其正负，必要时要分类讨论.例例8.（1）如果）如果30 x36，2y6，求，求x2y及及 的取值范围。的取值范围。18x2y32，（2）若若3ab1，2c1，求求(ab)c2的取值范围。的取值范围。因为因为4ab0，1c24，所以所以16(ab)c20学点四应用不等式的性质讨论范围学点四应用不

9、等式的性质讨论范围已知已知 ,求求 ,的范围的范围.【分析】【分析】已知的不等式相当于已知的不等式相当于 所以本题其实就是已知单角范围求和角、差角范围，所以本题其实就是已知单角范围求和角、差角范围，所以要进行不等式的加减所以要进行不等式的加减.但我们只有这样的性质：同向但我们只有这样的性质：同向不等式可相加，那么要进行不等式相减怎么办？那只有将不等式可相加，那么要进行不等式相减怎么办？那只有将其转化为同向不等式再相加其转化为同向不等式再相加.例例9.【解析】【解析】【评析】两个不等式要相减时，不能直接相减，而要【评析】两个不等式要相减时，不能直接相减，而要转化为同向相加：转化为同向相加：-=+

10、(-).-=+(-).同时要注意，本题中同时要注意，本题中的的 取不到等号，而取不到等号，而 左边可以取左边可以取到等号，这一点极易出错到等号，这一点极易出错.例例1010求求:的取值范围的取值范围.已知已知:函数函数解：因为解：因为f(x)=ax2c,所以所以解之得解之得所以所以f(3)=9ac=因为因为所以所以两式相加得两式相加得1f(3)20.练习：练习：已知已知4ab1，14ab5，求，求9ab的取值范围。的取值范围。解：设解：设9ab=m(ab)+n(4ab)=(m+4n)a(m+n)b，令令m+4n=9，(m+n)=1，解得，解得，所以所以9ab=(ab)+(4ab)由由4ab1，

11、得，得 由由14ab5，得，得 以上两式相加得以上两式相加得19ab20.例例11.11.甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食（同一品种），两次粮食的价格不同，两位采购员的粮食（同一品种），两次粮食的价格不同，两位采购员的购粮方式也不同购粮方式也不同.其中，甲每次购买其中，甲每次购买1 000 kg,1 000 kg,乙每次购粮乙每次购粮用去用去1 0001 000元钱，谁的购粮方式更合算？元钱，谁的购粮方式更合算？解：解：设两次价格分别为设两次价格分别为a a元，元，b b元，则甲的平均价格为元，则甲的平均价格为 元，乙的平均价格为元，

12、乙的平均价格为 .乙合算乙合算.1.1.不等关系不等关系a ab b或或a ab b的含义是什么？的含义是什么？不等式不等式a ab b应读作应读作“a a小于或者等于小于或者等于b b”，其含义是，其含义是指指“或者或者a a b b，或者，或者a a=b b”等价于等价于“a a不大于不大于b b”，即若，即若a a b b或或a a=b b之中有一个正确，则之中有一个正确，则a ab b正确正确.如如2323正确，则正确，则2323没有逻辑错误，因为没有逻辑错误，因为2,32,3是具体是具体数值，数值，“232 b b(a a,b b)|)|a a=b b，同理，同理，(a a,b b)

13、|)|a ab b=(=(a a,b b)|)|a a b b，或者，或者a a=b b”,等价于等价于“a a不小于不小于b b”,即若即若a a b b或或a a=b b之中有一个正确，则之中有一个正确，则a ab b正确正确.2.2.如何理解不等式的性质如何理解不等式的性质?(1)(1)性质性质1 1说明把不等式的左边与右边交换，所得的说明把不等式的左边与右边交换，所得的不等式与原不等式异向不等式与原不等式异向.（2 2）性质）性质2 2说明不等式的传递性提供了两个实数说明不等式的传递性提供了两个实数a,ca,c在比较在比较大小时的一种间接方法大小时的一种间接方法媒介法（即通过中间值作媒

14、介媒介法（即通过中间值作媒介来比较大小），同时它也是对不等关系作适当放缩的依据来比较大小），同时它也是对不等关系作适当放缩的依据.（3 3）性质）性质3 3说明说明有了不等式的加法单调性，不等式的有了不等式的加法单调性，不等式的移项法则也就有了理论依据，因而不等式就可以像方程移项法则也就有了理论依据，因而不等式就可以像方程一样地变形、化简；一样地变形、化简；这里的推论还可以推广到任意有这里的推论还可以推广到任意有限个同向不等式两边可以分别相加，也就是说，多个同限个同向不等式两边可以分别相加，也就是说，多个同向不等式两边分别相加，所得的不等式与原不等式同向向不等式两边分别相加，所得的不等式与原不

15、等式同向.（4 4）性质）性质4 4说明说明在一个不等式的两边同乘一个非在一个不等式的两边同乘一个非零实数时，不等号是否改向取决于所乘的这个数的正负零实数时，不等号是否改向取决于所乘的这个数的正负性；性；在性质在性质4 4的推论中，要注意所有的字母都是正数，的推论中，要注意所有的字母都是正数，例如，如果仅有例如，如果仅有a a b b,且且c c d d，就不能推出，就不能推出acac bdbd；同时有；同时有两个异号不等式，如两个异号不等式，如a a b b0,00,0c c bdbd.不等式的性质刻画了在一定条件下两个量的不等关不等式的性质刻画了在一定条件下两个量的不等关系，值得注意的是其

16、中有一类具有充要性的特征，条件系，值得注意的是其中有一类具有充要性的特征，条件和结论可互相推出，解不等式的每一变形只能依据这一和结论可互相推出，解不等式的每一变形只能依据这一类性质，才能保证变形的同解性；另一类性质只具有充类性质，才能保证变形的同解性；另一类性质只具有充分性的特征，它可以作为证明不等式的依据，但不能作分性的特征，它可以作为证明不等式的依据，但不能作为解不等式的依据为解不等式的依据.3.3.应用不等式的性质应注意什么？应用不等式的性质应注意什么？另外注意不要强化或弱化不等式性质成立的条件另外注意不要强化或弱化不等式性质成立的条件.例如，例如，在应用在应用“ab,ab0ab,ab0

17、 ”这一性质时，有些同学可能是弱这一性质时，有些同学可能是弱化了条件，得到化了条件，得到ab ab ，也可能是强化了条件，而，也可能是强化了条件，而 ，得到得到ab0 .ab0 .1.1.不等关系是这一章的理论基础，是比较两个实数或不等关系是这一章的理论基础，是比较两个实数或代数式的大小的理论基础代数式的大小的理论基础.比较法中的比较法中的作差法作差法，实际上是，实际上是比较这两个实数（或代数式）的值的大小，而这又归纳为比较这两个实数（或代数式）的值的大小，而这又归纳为判断它们差的符号，这又必然归纳到实数运算的符号法则判断它们差的符号，这又必然归纳到实数运算的符号法则.2.2.不等式的性质是不

18、等式的基础，包括四个性质定理不等式的性质是不等式的基础，包括四个性质定理及五个推论及五个推论.不等式的性质是解不等式和证明不等式的主不等式的性质是解不等式和证明不等式的主要依据，只有正确地理解每条性质的条件和结论，注意条要依据，只有正确地理解每条性质的条件和结论，注意条件的变化，才能正确地加以运用件的变化，才能正确地加以运用.利用不等式的性质，寻利用不等式的性质，寻求命题成立的条件是不等式性质的灵活运用求命题成立的条件是不等式性质的灵活运用.3.3.对于假命题只需举一反例即可，当然亦可从条件入对于假命题只需举一反例即可，当然亦可从条件入手推出与结论相反的结论手推出与结论相反的结论.4.4.解决此类问题一定要在理解的基础上记准、记熟不解决此类问题一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的七条性质等式的七条性质.