隐函数的微分.ppt

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1、多元微积分高等院校非数学类本科数学课程高等院校非数学类本科数学课程隐函数的微分法隐函数的微分法 第六节第六节 与一元函数的情形类似,多元函数也有隐函数.如果在方程式中,时,相应地总有满足该方程的唯一的 z 值存在,则称该方程在 内确定隐函数 注意,隐函数不一定都能显化.隐函数隐函数(二元二元)的概念的概念如果在方程式中,时,相应地总有满足该在 内确定隐函数方程的唯一的 u 值存在,则称该方程 将概念推广到一般情形一一.一元函数的一元函数的隐函数的求导法隐函数的求导法 利用多元函数的偏导数求 一元函数的隐函数导数的公式设确定隐函数两边关于 x 求导,得若则对方程从而得到一元隐函数求导公式例1设求

2、解令则故,多元隐函数 的导数一个方程确定 的隐函数 方程组确定 的隐函数 二二.由一个方程确定由一个方程确定 的隐函数的求导法的隐函数的求导法 定理定理(隐函数存在定理隐函数存在定理)设 1.2.3.则方程在内唯一确定一个函数且隐函数存在的条件 隐函数存在定理只是告诉我们在一定的条件下隐函数存在、唯一、可导,但没有告诉我们求隐函数偏导数的方法.怎么求隐函数的导数呢?由隐函数存在定理的条件及多元函数求导方法,因为由连续函数性质在其中,故,.对方程 F(x,y,z)=0 两边关于 x,y 求偏导,得 公式例2函数的偏导数.求方程所确定的解令则故例2函数的偏导数.求方程所确定的解令则故例3设确定求其

3、中,解故 请同学们运用点函数,将上面的隐函数 存在定理推广至一般的 n 元函数情形.定理(隐函数存在定理)设1.2.3.则方程在内唯一确定函数且 求导公式？定理(隐函数存在定理)设1.2.3.则方程在内唯一确定函数且求导公式三三.由方程组确定的由方程组确定的 隐函数的求导法隐函数的求导法 为了将一个方程确定的隐函数的求 导方法推广至由方程组确定的隐函数的 情形,我们首先要介绍雅可比行列式.雅可比行列式雅可比行列式记号 当所出现的函数均有一阶连续偏导时,雅可比行列式有以下两个常用的性质：1.2.复合函数情形问 题 1 设确定函数求 想想,怎么做？想想,怎么做？方程组方程组中每个方程两边关于 x

4、求导：移项,得 运用克莱满法则解此二元一次方程组当时,方程组有唯一解：,.其中,我们实际上已找到了求方程组确定的隐函数的偏导数的公式(之一).问 题 2 设确定函数求方程组 想想,怎么做？想想,怎么做？想想,怎么做？利用问题 1 的结论,你可能已经知道应该怎么做了.分别将分别将 x x 或或 y y 看成常数看成常数 依葫芦画瓢哦依葫芦画瓢哦 ！问 题 2 想想,怎么做？请自己动手做请自己动手做问 题 2 问 题 2 对方程组中的每个方程关于变量 x 求导,然后解关于 的二元一次方程组.将 y 看成常数问 题 2 将 y 看成常数问 题 2 将 y 看成常数问 题 2 将 x 看成常数 对方程组中的每个方程关于变量 y 求导,然后解关于 的二元一次方程组.问 题 2 将 x 看成常数问 题 2 将 x 看成常数例4设确定函数求解令则同理可得 在实际求解时,我们往往按照前面分析的过程,对方程组中的每一个方程两边关于某一个变量求导,然后解关于相应的偏导数的代数方程组.更一般的情形更一般的情形.问题问题 1 1 和问题和问题 2 2的方法可以推广到的方法可以推广到定理设1.2.3.其中,则方程组在内唯一确定一组函数且(隐函数存在定理)注 意!关于隐函数求导,关键在于理解建立公式的过程,而不是死记求导公式.