隐函数的微分法ppt课件.ppt

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1、0 0? ?) ) )( (, ,( () )使使得得( (可可确确定定函函数数满满足足什什么么条条件件0 0, ,) )( (，方方程程地地一一般般 xfxFxfyyxF,; ;或或者者，, ,可可得得函函数数0 0, ,满满足足方方程程设设yxxyyxx,y 22? ?的的函函数数关关系系之之间间能能否否得得到到, ,满满足足若若)(,xfyyxeyxyxxy 0),(. 1 yxF隐函数的求导公式隐函数的求导公式.FFdxdyyx 求求导导数数，得得：两两边边对对方方程程xxfxF0)(,( .FFdxdyyx, 0 dxdyFFyx定理证明从略，仅就求导公式推导如下：0yF在在),(0

2、0yx的某邻域内的某邻域内例例 验验证证方方程程0122 yx在在点点)1 , 0(的的某某邻邻域域内内能能唯唯一一确确定定一一个个可可导导、且且0 x时时1 y的的隐隐函函数数)(xfy ，并并求求这这函函数数的的一一阶阶和和二二阶阶导导 数数在在0 x的的值值. . 解解 令令1),(22 yxyxF则则依依定定理理知知方方程程0122 yx在在点点)1 , 0(的的某某邻邻域域内内能能唯唯一一确确定定一一个个可可导导、且且0 x时时1 y的的函函数数)(xfy ,2yFy ,2xFx 连续 , 0)1 , 0( F, 02)1 , 0( yF函函数数的的一一阶阶和和二二阶阶导导数数为为y

3、xFFdxdy ,yx , 00 xdxdy222yyxydxyd 2yyxxy ,13y . 1022 xdxyd)11( ,12 xxy事事实实上上，这这个个函函数数就就是是例例 2 2 已已知知xyyxarctanln22 ，求求dxdy. . 解解令令则则,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx ,),(时当022yxxyyxFy.,xyxyyxdd)sin(求例设 ,)sin()(:则则令令解解xyyxx,yF .)cos()cos(xyxyxy xyxyyx )cos()cos(yxFFdx

4、dy ,0)cos(时时当当 xyxFy.)cos(xyxFy ,)cos(yyxFx 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例4. 已知方程已知方程01sinyxeyx解解: 令0dd,0dd22xxyxxy，求, 1sin),(yxeyyxFx, yeFxxxyFy cos0ddxxy0 xFFyx 1xy cosyex0, 0yx0dd22xxy)cos(ddxyyexx2)cos( xy3100yyx)(yex)(cosxy)(yex) 1sin(yy100yyx法一：公式法法一：公式法

5、我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物0 xy30dd22xxy)(, 01sinxyyyxeyxyycos两边对 x 求导1两边再对 x 求导yyyy cos)(sin2令 x = 0 , 注意此时1,0yy0 yxyyexxey0 yx)0 , 0(cosxyyex法二：直接求导法我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物法三：微分法01yxeyxsin两边同时求微分ydycosdxexydx0 dy

6、x0 xdxdy1)0 , 0(cosxyyex则0dd22xxy)cos(ddxyyexx2)cos( xy3100yyx100yyx)(yex)(cosxy)(yex) 1sin(yy. .及及, ,或或者者，, ,或或者者，, , 可可得得二二元元函函数数0 0, ,设设有有方方程程 xzyxzyyzxyxzzyx 222 ) )? ?, , ,( ( 或或者者, ,) ), , ,( (可可确确定定隐隐函函数数什什么么条条件件下下，这这些些方方程程在在0 0, ,) ), , , ,( (或或者者，0 0, ,) ), , ,( (，设设有有方方程程地地一一般般2 21 12 21 1

7、nnxxxfuyxfzuxxxFzyxF, 0),(. 2 zyxF隐函数的求导公式隐函数的求导公式zxFFxz zyFFyz 求求导导公公式式推推导导：求求导导，得得和和两两边边分分别别对对0 0, ,) ) ), ,( (, , ,( ( 由由yxyxfyxF ,FFxzzx ,FFyzzy ,xzFFzx0 ,yzFFzy0 解解令令则则,4),(222zzyxzyxF ,2xFx , 42 zFz,2zxFFxzzx 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz .),(,),(,),(,1111111114322222yxzyzxzzyx

8、求例设.92)1 , 1 , 1(2 yxz.9232331332222zxyzzyxzzxzxzxyxzyyy .32)1 , 1 , 1(,3264 yzzyzyFFyzzy.31)1 , 1 , 1(,362,0 xzzxzxFFxzzzx时时当当,6 ,4 ,2 zFyFxFzyx 则则令令解解, 432),(:222 zyxzyxF思路：思路：解法一（解法一（直接求导法直接求导法）把把z看成看成yx,的函数对的函数对x求偏导数得求偏导数得xz )(xzf 11),(xzxyyzf 2整理得整理得xz ,21211fxyffyzf 把把x看看成成yz,的的函函数数对对y求求偏偏导导数数

9、得得)(101 yxf),(yxyzxzf 2),(xyzzyxfz 整理得整理得,2121fyzffxzfyx 把把y看成看成zx,的函数对的函数对z求偏导数得求偏导数得)(111 zyf),(zyxzxyf 2整理得整理得zy .21211fxzffxyf),(xyzzyxfz 解法二解法二 (公式法）公式法）),(),(xyzzyxfzzyxF 令令yzffFx 211则则xzffFy 211xyffFz 2111 zxFFxz于于是是21211fxyffyzf xyFFyx21211fxzffxyf yzFFzy2121fyzffxzf 01012zyxzyx; ; )xx(y)x(x

10、z2222121 0202vuyxvuyx; ; y)(xuy)x(v321321例如例如又如又如.程程组组解解用用行行列列式式表表示示补补充充知知识识：二二元元一一次次方方 ）（）（二二元元一一次次方方程程组组2 ,1 ;2222111211byaxabyaxa）（，得得）（）（，得得4 23 )1(12222121221122212212221122abyaaxaaaabyaaxaaa ，得得消消去去21212221122211 babaxaaaay 12212211212122aaaababax 22211211221111aaaababay 同理：同理：22211211222121aa

11、aaababx 表示为：表示为：方程组解方程组解.,DDyDDxbabaDababDaaaaaaaaDbyaxabyaxa212211112222121121122211222112112222111211则系数行列式式解法：二元一次方程组的行列的的雅雅可可比比行行列列式式对对变变量量，）函函数数（）（数数；某某邻邻域域具具有有连连续续的的偏偏导导在在点点，）（满满足足条条件件：，设设两两个个函函数数定定理理zyGFzyxGzyxFzyxGFGF,3; 0),(, 0),(2),(1 3000000000 .),()(),();(0),(0),(000续续这两个函数的导函数连这两个函数的导函数

12、连，并且满足并且满足唯一确定一组单值函数唯一确定一组单值函数方程组方程组xzzxyyxzzxyyzyxGzyxF 的某邻域，在此邻域内则存在点),(0000zyxGGFFzyzy 求导公式推导如下：求导公式推导如下：求求导导，得得两两边边对对中中, ,在在方方程程组组xx,zxx,yGx,zxx,yF , 0) )()(;0) )()( 0101dxdzGdxdyGGdxdzFdxdyFFzyxzyx xzyxzyGdxdzGdxdyGFdxdzFdxdyF时，时，当当0 yyzyGGFF,zyzyxyxyzyzyzxzxGGFFGGFFdxdzGGFFGGFFdxdy .,)(),(,;dx

13、dzdxdyxzxyzyxzyx的导数确定的函数例求由方程组010222 , 0 1;0222dxdzdxdydxdzzdxdyyxx求求导导数数，得得解解：方方程程组组两两边边对对 , 1 ;222dxdzdxdyxdxdzzdxdyyzyyxzyxyzyxydxdz 2222221122zyzxzyzxzyzxdxdy 2222221122时，时，当当0221122 zyzy隐函数存在定理隐函数存在定理 3 3 (1)(1) 设设),(vuyxF、),(vuyxG在在),(0000vuyxP 的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数， (2)(2) 0),

14、(0000 vuyxF, ,),(0000vuyxG0 ， (3)(3) 偏导数所组成的函数行列式（或称偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式雅可比式） vGuGvFuFvuGFJ ),(),( 0),(0),(vuyxGvuyxF一般地，方程组一般地，方程组满足什么满足什么条件，可以确定函数条件，可以确定函数?),(),(yxvvyxuu 在在点点),(0000vuyxP的的某某一一邻邻域域内内恒恒能能唯唯一一确确定定一一组组具具有有连连续续偏偏导导数数的的函函数数),(yxuu , ,),(yxvv ，它它们们满满足足条条件件),(000yxuu , ,vv 0),(00yx，并并有有 ,

15、),(),(1vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu 在点在点 不等于零，则方程组不等于零，则方程组 ),(0000vuyxP 0),(vuyxF0),( vuyxGvuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv ),(),(1,),(),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu .),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv 求导公式推导如下求导公式推导如下:求求导导，得得两两边边对对中中, ,0 0) ) ), ,( () ), , ,( (, , ,( (0 0) ) ), ,( () ), ,( ( (在在方方程程组组xyxvyxuyxGyxvx,yu

16、yxF , 00 xvGxuGGxvFxuFFvuxvux xvuxvuGxvGxuGFxvFxuF公公式式. .vuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv),(),(1,),(),(vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu1解法一解法一直接代入公式；直接代入公式；解法二解法二运用推导公式的方法，运用推导公式的方法，将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导并移项求导并移项x, vxvxxuyuxvyxuxxyyxJ ,22yx 在在0 J的的条条件件下下，xyyxxvyuxu ,22yxyvxu xyyxvyuxxv ,22yxxvyu 将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导，

17、用同样方法得求导，用同样方法得y,22yxyuxvyu .22yxyvxuyv .dxdyx,yxtyxeyty的的函函数数，求求确确定定的的而而t t是是由由方方程程, ,已已知知例例13222) ). .( (, ,) )，, ,( () ), ,( (xyyxeyyxttyxyt 解法一：解法一：求求导导，得得两两边边关关于于对对方方程程xxeyx,yyt )(1 1, , ) ) ( ( dxdytydxdyytxtedxdyty,tyyt,txxtxtyyxtt 确确定定由由方方程程1222) ), ,( (; ;) )( (，tytyetytxyetdxdy22 解解得得1 1,

18、, ) ) ( ( dxdytydxdytytxedxdyty代代入入上上式式得得 02221)(xdxdttdxdyydxdytdxdtyedxdyty;)(22tytyetytxyetdxdy 方程组两边对方程组两边对x x求导，得求导，得 ,xtyxeytyxty1222满满足足方方程程组组, , ,问问题题中中的的三三个个变变量量解法二：解法二：) ), ,( () ), ,( (xttxyy 确确定定两两个个一一元元隐隐函函数数解法三：解法三：,0222)( xdxtdtydydxtdyydtedyty， 由由第第二二式式tydyxdxdt dxdydxtdytydyxdxyedyt

19、y)(代入第一式，得代入第一式，得;)(22tytyetytxyet 得得对方程组求微分,对方程组求微分,例例4 4 设有方程设有方程),(yxfu , 0),(0),( zxhzyxg及及.,.具有连续的偏导数具有连续的偏导数其中其中求求hgfdxdu解解 由由),(yxfu 两边对两边对x求导，得求导，得,dxdyyfxfdxdu 由由, 0),(0),( zxhzyxg及及两边对两边对x x求导，得求导，得 00dxdzzhxhdxdzzgdxdyygxg(*)所确定的所确定的 的函数，的函数，x而而 是由方程是由方程y整理得整理得 xhdxdzzhxgdxdzzgdxdyyg,0zhy

20、gxhzgzhxgzhzgygzhxhzgxgdxdy 代入代入(*)式得式得.zhygxhzgzhxgyfxfdxdu 解得解得平面区域间的变换：平面区域间的变换：则则方方程程连连续续的的偏偏导导数数，又又有有）的的某某个个邻邻域域内内有有在在点点（设设0),(),(,),(),( vyuyvxuxvuyxJvuvuyyvuxx的的偏偏导导数数。有有连连续续，且且反反函函数数一一组组的的某某个个邻邻域域内内唯唯一一确确定定在在),(),(),(),(,),(),(),(yxvyxuyxvvyxuuvuyxvuyyvuxx 。之之间间的的变变换换上上某某个个区区域域平平面面与与平平面面上上某某

21、个个区区域域即即该该方方程程组组确确定定了了TDxyDuvxyuv.,),(),(),(),(:),(),(),(),(:,),(),(),(),(111uvxyITTITTyxvyxuvuyxTvuyvuxyxvuTyxvyxuyyyxvyxuxx 则则即即 ),(),(),(),(yxvyxuyyyxvyxuxx xvvyxuuyxvvxxuux01.11 uyJxvvyJxu同同理理可可得得，.11 uxJyvvxJyu,11111),(),(JuxJvxJuyJvyJyxvu 。得得1),(),(),(),( vuyxyxvu）则则（回回忆忆：设设dxdydydxxffxyfxxfy

22、1)(),(),(11在在0 J的的条条件件下下，（分以下几种情况）（分以下几种情况）隐函数的求导法则隐函数的求导法则0),()1( yxF0),()2( zyxF 0),(0),()3(vuyxGvuyxF小小 结结已已知知)(zyzx ，其其中中 为为可可微微函函数数，求求? yzyxzx思考题思考题思考题解答思考题解答记记)(),(zyzxzyxF ,1)(zzyFy ,)()(22zyzyzxFz ,)(zyyxzFFxzzx ,)()(zyyxzyzFFyzzy 于于是是zyzyxzx . 练练 习习 题题一、一、 填空题填空题: :1 1、 设设xyyxarctanln22 , ,

23、则则 dxdy_._. 2 2、设、设zxyz , ,则则 xz_,_, yz_._.二、二、 设设,32)32sin(2zyxzyx 证明：证明：. 1 yzxz三三、 如如 果果 函函 数数),(zyxf对对 任任 何何t恒恒 满满 足足 关关 系系 式式),(),(zyxfttztytxfk , ,则则称称函函数数),(zyxf为为 k次次齐齐次次函函数数, ,试试证证: :k次次齐齐次次函函数数满满足足方方程程 ),(zyxkfzfzyfyxfx . .四四、设设.,3233yxzaxyzz 求求五五、求求由由下下列列方方程程组组所所确确定定的的函函数数的的导导数数或或偏偏导导数数:

24、:1 1、 设设 203222222zyxyxz , ,求求.,dxdzdxdy2 2、 设设 ),(),(2yvxugvyvuxfu，求求.,xvxu （其其中中gf ,具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数）六、六、 设函数设函数)(xu由方程组由方程组 0),(0),(),(zxhzyxgyxfu所确定所确定, , 且且., 0, 0dxduzhyg求求 ( (hgf,均可微均可微) )七、七、 设设),(txfy 而而t是由方程是由方程0),( tyxF所确定的所确定的yx,的函数的函数, ,求求.dxdy八、八、 设设),(yxzz 由方程由方程),(xzyyxxF =0=0 所确定所

25、确定, , 证明证明: :xyzyzyxzx . .一、一、1 1、yxyx ； 2 2、yyxzzzzxxlnln1 ； 3 3、yyxzzyzxzln11 . .四、四、3222242)()2(xyzyxxyzzzyxz . .五、五、1 1、13,)13(2)16( zxdxdzzyzxdxdy； 2 2、12211221)12)(1()12(gfgyvfxgfgyvfuxu , , 1221111)12)(1()1(gfgyvfxfufxgxv . .练习题答案练习题答案六六、zyxzyyxxxhghgfggffdxdu zyxzyzxxzyxhghgfhgfhgf . . 七七、tyttxxtfFFfFfFdxdy . .