复合函数与隐函数的微分.ppt

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1、复合函数与隐函数的微分 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望定理定理 若函数若函数和和在点在点的偏导数存在的偏导数存在,而函数而函数在在对应于对应于的点的点处可微处可微,则复合则复合函数函数在点在点存在偏导数存在偏导数,且且证证 因为因为可微可微所以所以令令则有则有故故附证附证:证证建议按关系图记公式建议按关系图记公式:(1)从因变量到自变量有几条路从因变量到自变量有几条路,公式中公式中就就有几项相加有几项相加;(2)每一条路上有几段每一条路上有几段,对

2、应项中就有几对应项中就有几个个因子相乘因子相乘;(3)每个因子都是相应段上的偏导每个因子都是相应段上的偏导.注注 遇一元函数时写一元函数导数符号遇一元函数时写一元函数导数符号.例例1 已知已知求求解法一解法一1.具体复合函数求偏导具体复合函数求偏导例例1 已知已知求求解法一解法一例例1 已知已知求求解法二解法二例例1 已知已知求求解法二解法二例例2设设而而求求解解例例3设设其中其中求求解解令令例例4求求的偏导数的偏导数.解解 令令则则2.抽象复合函数求偏导抽象复合函数求偏导例例4求求的偏导数的偏导数.解解新新的的书书写写形形式式补充补充(2007年考研真题年考研真题4分分)设设是二元可微函数是

3、二元可微函数,则则解解例例5 设设可导可导,求求解解 令令1.具体复合函数求偏导具体复合函数求偏导2.抽象复合函数求偏导抽象复合函数求偏导原始法则或多元复合法则都行原始法则或多元复合法则都行.建议建议:如果没令按原始法则求如果没令按原始法则求;如果已经令好如果已经令好(包括没令完整的包括没令完整的,没令没令只能按多元复合法则求只能按多元复合法则求.用逗号隔开的每一部分令一个变量用逗号隔开的每一部分令一个变量,完整要补充完整完整要补充完整)按多元复合法则求按多元复合法则求.也可用数字也可用数字1、2来来代替代替变量变量.总总结结二二.隐函数的微分法隐函数的微分法1.一元隐函数求导数一元隐函数求导

4、数已知已知求求方程两边作为方程两边作为的函数同时求导的函数同时求导故故例例6 已知已知求求解解 令令则则故故解解 方程两边作为方程两边作为的函数同时求导的函数同时求导故故例例7 设设解解故故有连续偏导数有连续偏导数,分别由方程分别由方程所确定所确定,求求令令则则和和令令则则故故代入即可代入即可.Review定理定理 若函数若函数和和在点在点的偏导数存在的偏导数存在,而函数而函数在在对应于对应于的点的点处可微处可微,则复合则复合函数函数在点在点存在偏导数存在偏导数,且且课堂练习课堂练习:已知已知求求解解2.复合函数微分复合函数微分设设均可微均可微,例例3解：解：求求例例4求求的偏导数的偏导数.解

5、解 记记则则例例4求求的偏导数的偏导数.解解一、一个方程所确定的隐函数及其导数一、一个方程所确定的隐函数及其导数定理定理1.1.设函数则方程单值连续函数 y=f(x),并有连续(隐函数求导公式)具有连续的偏导数;的某邻域内某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足满足条件导数两边对 x 求导在的某邻域内则若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,二阶导数:则还有2.二元隐函数求偏导二元隐函数求偏导已知已知求求方程两边作为方程两边作为的函数同时求偏导的函数同时求偏导故故例例8 求求确定的隐函数的确定的隐函数的偏导数偏导数令令则则故故解解例例9 设函数设函数的函数的函数,其中其中解解故故方程方程确定确定

6、是是可微可微;连续连续,且且求求令令则则例例10确定的隐函数的确定的隐函数的偏导数偏导数故故求求令令解解例例.设F(x,y)具有连续偏导数,解法解法1 利用偏导数公式.确定的隐函数,则已知方程故对方程两边求微分:解法解法2 微分法.设设确定确定求求解例例记记故故例例4 证明由方程证明由方程确定的隐函数确定的隐函数满足满足证明证明:(方法一方法一)记记则则(方法二方法二)方程方程两端分别对两端分别对求偏导求偏导:得得例例:设设由关系式由关系式确定确定,证明证明:证明证明:记记则则上式两端分别对上式两端分别对求偏导求偏导:故故 设设由关系式由关系式确定确定,其中其中 可微可微,求求课堂练习课堂练习:解解关系式两端对关系式两端对 求导可得求导可得:所以所以同理可得同理可得:(补充补充:2008年考研真题年考研真题10分分)所确定的函数所确定的函数,其中其中解解是由方程是由方程具有具有2阶导数且阶导数且求求设设求求所以所以从而从而有连续的一阶偏导数,及分别由下两式确定求又函数答案答案:(2001考研）3.设作业题作业题习题八习题八(A)11、12、20.