电磁场与电磁波经典课件优秀课件.ppt

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1、电磁场与电磁波经典课件第1页，本讲稿共36页第一章第一章 矢量分析矢量分析1.1 矢量分析基础矢量分析基础一、矢量与矢量场一、矢量与矢量场1 1、标量：、标量：2 2、矢量、矢量:矢量的几何表示矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示一个矢量可用一条有方向的线段来表示 矢量的代数表示矢量的代数表示：矢量的大小或模矢量的大小或模：矢量的单位矢量矢量的单位矢量：常矢量常矢量：大小和方向均不变的矢量。大小和方向均不变的矢量。注意注意：单位矢量不一定是常矢量。单位矢量不一定是常矢量。第2页，本讲稿共36页矢量用坐标分量表示矢量用坐标分量表示zxy第3页，本讲稿共36页3.矢量的代数运算矢量的

2、代数运算（1）矢量的加减法）矢量的加减法第4页，本讲稿共36页（3）矢量的标积（点积）矢量的标积（点积）定义：定义：矢量的标积符合交换律矢量的标积符合交换律q矢量矢量 与与 的夹角的夹角（2 2）标量乘矢量）标量乘矢量第5页，本讲稿共36页（4）矢量的矢积（叉积）矢量的矢积（叉积）qsinABq矢量矢量 与与 的叉积的叉积用坐标分量表示为用坐标分量表示为写成行列式形式为写成行列式形式为不满足交换律不满足交换律不满足结合律不满足结合律第6页，本讲稿共36页若若 ，则，则若若 ，则，则第7页，本讲稿共36页1 1、直角坐标系、直角坐标系单位方向矢量单位方向矢量：矢量函数矢量函数：其位置矢量其位置矢

3、量：空间任一点空间任一点P P（x x0 0,y,y0 0,z,z0 0):):坐标变量坐标变量:变量取值范围：变量取值范围：微分元：微分元：1.2 三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系第8页，本讲稿共36页2 2、圆柱坐标系、圆柱坐标系单位方向矢量单位方向矢量：矢量函数矢量函数：其位置矢量：其位置矢量：空间任一点空间任一点P(rP(r0 0,0 0,z,z0 0)变量取值范围变量取值范围微分元微分元第9页，本讲稿共36页柱面坐标与直角坐标的柱面坐标与直角坐标的关系为关系为如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆柱面；圆柱面；半平面；半平面；平平 面面第10页，本讲稿共36页单位

4、矢量变换单位矢量变换理解：理解：联系力的分解与合成联系力的分解与合成第11页，本讲稿共36页写成矩阵形式转换矩阵都是正交矩阵，正交矩阵定义：（*表示共轭转置，实数矩阵只需要转置）上式两边同时右乘转换矩阵的转置矩阵，转换矩阵第12页，本讲稿共36页矢量的变换矢量的变换若矢量是用柱坐标表示的，将它投影到直角坐标系下若矢量是用柱坐标表示的，将它投影到直角坐标系下x、y、z轴上，则可得该矢量在直角坐标系下的表达式轴上，则可得该矢量在直角坐标系下的表达式第13页，本讲稿共36页写成矩阵形式柱坐标系下的两个矢量当柱坐标系下的两个矢量当值不相等时不能直接相加，要转换到直值不相等时不能直接相加，要转换到直角坐

5、标系后再相加，为什么？角坐标系后再相加，为什么？第14页，本讲稿共36页3 3、球面坐标系、球面坐标系单位方向矢量单位方向矢量：矢量函数矢量函数：位置矢量：位置矢量：变量取值范围变量取值范围:微分元：微分元：第15页，本讲稿共36页如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆锥面；圆锥面；球球 面；面；半平面半平面球面坐标与直角坐标的关系为球面坐标与直角坐标的关系为第16页，本讲稿共36页单位矢量变换单位矢量变换第17页，本讲稿共36页矢量的变换矢量的变换第18页，本讲稿共36页1.3 标量场的梯度标量场的梯度q如果物理量是标量，称该场为如果物理量是标量，称该场为标量场标量场。例如例如：温度场、

6、电位场、高度场等。：温度场、电位场、高度场等。q如果物理量是矢量，称该场为如果物理量是矢量，称该场为矢量场矢量场。例如例如：流速场、重力场、电场、磁场等。：流速场、重力场、电场、磁场等。q如果场与时间无关，称为如果场与时间无关，称为静态场静态场，反之为，反之为时变场时变场。时变标量场和矢量场可分别表示为：时变标量场和矢量场可分别表示为：确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个域上定义了一个场场。场是物理量数值的无穷集合场是物理量数值的无穷集合从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：从数学上看，场是定义在空间区域上

7、的函数：标量场和矢量场标量场和矢量场静态标量场和矢量场可分别表示为：静态标量场和矢量场可分别表示为：第19页，本讲稿共36页方向导数的定义方向导数的定义讨论函数讨论函数 z=f(x,y)在一点在一点 P沿某一方向的变化率问题沿某一方向的变化率问题定义定义记为记为的的沿方向沿方向限为函数在点限为函数在点的极限存在，则称这极的极限存在，则称这极时，如果此比值时，如果此比值趋于趋于沿着沿着比值，当比值，当之之两点间的距离两点间的距离与与函数的增量函数的增量lPPlPyxPPyxfyyxxf D D+D D=-D D+D D+22)()(),(),(第20页，本讲稿共36页对于三元函数对于三元函数意义

8、意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。特点特点：方向导数既与点：方向导数既与点M0有关，也与有关，也与 方向有关方向有关。第21页，本讲稿共36页3.标量场的梯度标量场的梯度（或或 ）概念概念：标量场标量场u在点在点M处的梯度是一个矢量，它的方向沿场量处的梯度是一个矢量，它的方向沿场量u变化率最大的变化率最大的方向，大小等于其最大变化率，并记作方向，大小等于其最大变化率，并记作gradu，其中其中 取得最大值的方向取得最大值的方向梯度的计算式梯度的计算式：引入哈密顿算子，即可缩写为第22页，本讲稿共36页梯度的表达式梯度的表达式：圆柱坐标系圆柱坐标系 球

9、坐标系球坐标系直角坐标系直角坐标系 第23页，本讲稿共36页梯度与方向导数的关系梯度与方向导数的关系标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。第24页，本讲稿共36页1.4 1.4 矢量场的通量矢量场的通量 散度散度一、矢量线（力线）一、矢量线（力线）矢量场的通量 二、矢量场的通量二、矢量场的通量v矢量线的疏密表征矢量场的大小；矢量线的疏密表征矢量场的大小；v矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向；矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向；若若S 为闭合曲面为闭合曲面 若矢量场若矢量场 分布于空间中，在空间中存分布于空间中，在空间

10、中存在任意曲面在任意曲面S S，则定义：，则定义：为为矢量矢量 沿有向曲面沿有向曲面S S 的通量。的通量。3 3）物理含义：以流速场为例）物理含义：以流速场为例 讨论：讨论：1 1）面元矢量面元矢量 定义；定义；2 2）第25页，本讲稿共36页三、矢量场的散度三、矢量场的散度1、散度的定义、散度的定义2、散度的物理意义、散度的物理意义 1)1)矢量场的散度是一个标量；矢量场的散度是一个标量；通过闭合面通过闭合面S的通量的物理意义：的通量的物理意义：a)若若 ，闭合面内有产生矢量线的正源；，闭合面内有产生矢量线的正源；b)若若 ，闭合面内有吸收矢量线的负源；，闭合面内有吸收矢量线的负源；c)若

11、若 ，闭合面内无源。，闭合面内无源。在场空间在场空间 中任意点中任意点M M 处作一个闭合曲面，所围的体积处作一个闭合曲面，所围的体积为为 ，则定义场矢量，则定义场矢量 在在M M 点处的散度为：点处的散度为：2)2)矢量场的散度是空间坐标的函数；矢量场的散度是空间坐标的函数；通量：是一个积分量，范围比较大，无法反映每一点的性质。通量：是一个积分量，范围比较大，无法反映每一点的性质。散度：是一个微分值，比较小，能够反映每一点的性质。散度：是一个微分值，比较小，能够反映每一点的性质。第26页，本讲稿共36页3、散度的计算、散度的计算1)在直角坐标系下：在直角坐标系下：(无源无源）(正源正源)负负

12、源源)3)3)表征该点单位体积内源的强度。表征该点单位体积内源的强度。讨论：在矢量场中，讨论：在矢量场中，1 1）若）若 ，则该矢量场称为有源场，则该矢量场称为有源场，为源密度为源密度；2 2）若）若 处处成立，则该矢量场称为无源场。处处成立，则该矢量场称为无源场。哈密顿算符哈密顿算符第27页，本讲稿共36页2)在圆柱坐标系下：在圆柱坐标系下：3)在球面坐标系下：在球面坐标系下：四、散度定理（矢量场的高斯定理）四、散度定理（矢量场的高斯定理）该公式表明了区域该公式表明了区域V V 中场中场 与边界与边界S S上的场上的场 之间的关系。之间的关系。第28页，本讲稿共36页1.5 1.5 矢量场的

13、环流矢量场的环流 旋度旋度一、矢量的环流一、矢量的环流 环流的计算环流的定义：环流的定义：设有矢量场设有矢量场 ，沿场中任一闭合的，沿场中任一闭合的有向路径有向路径l l的积分，叫作的积分，叫作 沿曲线沿曲线l l的的环流。即：环流。即：讨论：讨论：1 1）线元矢量）线元矢量 的定义；的定义；3 3）环流意义：若矢量场环流为零，矢量场无涡漩流动；）环流意义：若矢量场环流为零，矢量场无涡漩流动；反之，则矢量场存在涡漩运动。反之，则矢量场存在涡漩运动。2)2)反映矢量场漩涡源分反映矢量场漩涡源分布情况。布情况。第29页，本讲稿共36页二、矢量的旋度二、矢量的旋度1.1.环流面密度环流面密度在场矢量

14、在场矢量 空间中，围绕空间某点空间中，围绕空间某点M M取一面元取一面元S S，其边，其边界曲线为界曲线为C C，面元法线方向为，面元法线方向为 ，当面元面积无限缩小时，当面元面积无限缩小时，可定义可定义 在点在点M M处的环量面密度处的环量面密度M环流面密度的计算公式：环流面密度的计算公式：其中其中 为为点点M M处处 的方向余弦的方向余弦第30页，本讲稿共36页2.2.矢量场的矢量场的旋度旋度 在直角坐标中，若定义在直角坐标中，若定义F F为：为：式中：式中：表示面元单位法线方向；表示面元单位法线方向；则称：矢量则称：矢量F F为矢量为矢量A A的旋度，记作：的旋度，记作：旋度是一个矢量，

15、模值等于环量密度的最大值；方向为最大旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。用环量密度的方向。用 表示表示物理意义物理意义：旋涡源密度矢量。旋涡源密度矢量。第31页，本讲稿共36页3.3.旋度的物理意义旋度的物理意义4.4.旋度的计算旋度的计算1 1）矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数；）矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数；2 2）矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度；）矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度；1)在直角坐标系下：在直角坐标系下：第32页，本讲稿共36页三、斯托克斯定理三、斯托克斯定理四、矢量场旋度的重要性质四、矢量场旋

16、度的重要性质 意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的于该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的线积分线积分。第33页，本讲稿共36页1.6 1.6 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理一一.亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 在有限区域内，任意矢量场由矢量场的在有限区域内，任意矢量场由矢量场的散度散度、旋度旋度和和边界边界条件条件（即矢量场在有限区域边界上的分布）唯一确定。这就是（即矢量场在有限区域边界上的分布）唯一确定。这就是亥姆霍兹定理的内容。亥姆霍兹定理的内容。二二.矢量场的分类矢量场的分类根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类：根据矢量场的散度和

17、旋度值是否为零进行分类：1)1)调和场调和场 若矢量场若矢量场 在某区域在某区域V V内，处处有：内，处处有：或或 则在该区域则在该区域V V内，场内，场 为调和场。为调和场。注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。第34页，本讲稿共36页2)2)有源无旋场有源无旋场 若矢量场若矢量场 在某区域在某区域V V内，处处内，处处 ，但在某，但在某些位置或整个空间内，有些位置或整个空间内，有 ，则称在该区域，则称在该区域V V内，场内，场 为有源无旋场。为有源无旋场。2)2)有源无旋场为有源无旋场为保守场保守场，其重要性质为：，其重

18、要性质为：1)1)为矢量场通量源密度；为矢量场通量源密度；保守场场矢量沿任何闭合路径积分结果等于零。保守场场矢量沿任何闭合路径积分结果等于零。讨论：讨论：3)3)无源有旋场无源有旋场 若矢量场若矢量场 在某区域在某区域V V内，处处内，处处 ，但在某，但在某些位置或整个空间内，有些位置或整个空间内，有 ，则称在该区域，则称在该区域V V内，场内，场 为无源有旋场。为无源有旋场。说明：式中说明：式中 为矢量场漩涡源密度。为矢量场漩涡源密度。第35页，本讲稿共36页已知已知矢量矢量A A的通量源密度的通量源密度矢量矢量A A的旋度源密度的旋度源密度场域边界条件场域边界条件在电磁场中在电磁场中电荷密度电荷密度 电流密度电流密度J场域边界条件场域边界条件（矢量（矢量A唯一地确定）唯一地确定）亥姆霍兹定理在电磁场理论中的意义：研究电磁场的一条主线。亥姆霍兹定理在电磁场理论中的意义：研究电磁场的一条主线。4)4)有源有旋场有源有旋场 若矢量场若矢量场 在某区域在某区域V V内，在某些位置或整个空间内，内，在某些位置或整个空间内，有有 和和 ，则称在该区域，则称在该区域V V内，内，场场 为有源有旋场。为有源有旋场。有源有旋场可分解一个有源无旋场和无源有旋场之和，即：有源有旋场可分解一个有源无旋场和无源有旋场之和，即：第36页，本讲稿共36页