电磁场与电磁波 (4)优秀课件.ppt

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1、电磁场与电磁波电磁场与电磁波(4)第1页，本讲稿共87页 郭辉萍 刘学观 编电磁场与电磁波第二版 谢处方 饶克谨 编电磁场与电磁波 焦其详 王道东 编电磁场理论 毕德显 编电磁场理论 杨儒贵 编电磁场与波参考教材参考教材应用教材应用教材王家礼 朱满座 路宏敏 编电磁场与电磁波第三版 教 材参考网站参考网站 http:/ http:/ 600年左右2.1745年，荷兰莱顿大学教授马森布罗克制成了莱顿瓶，可以将电荷储存起来，供电学实验使用，为电学研究打下了基础。3.1752年7月，美国著名的科学家、文学家、政治家富兰克林的风筝试验，证实了闪电式放电现象，发明了避雷针，从此拉开了人们研究电学的序幕。

2、第6页，本讲稿共87页电磁学发展史4.1638年，在我国的某些建筑学的书籍中就有关于避雷的记载：屋顶的四角都被雕饰成龙头的形状，仰头、张口，在它们的舌头上有一根金属芯子，其末端伸到地下，如有雷电击中房顶，会顺着龙舌引入地下，不会对房屋造成危险。5.1753年，俄国著名的电学家利赫曼在验证富兰克林的实验时，被雷电击中，为科学探索献出了宝贵的生命。6.17711773年间，英国科学家卡文迪什进行了大量的静电试验，证明在静电情况下，导体上的电荷只分布在导体表面上。第7页，本讲稿共87页电磁学发展史7.1785年，法国科学家库仑在实验规律的基础上，提出了第一个电学定律：库仑定律。使电学研究走上了理论研

3、究的道路。8.1820年，由丹麦的科学家奥斯特在课堂上的一次试验中，发现了电的磁效应，从此将电和磁联系在一起。9.1822年，法国科学家安培提出了安培环路定律，将奥斯特的发现上升为理论。10.1825年，德国科学家欧姆得出了第一个电路定律：欧姆定律。11.1831年，英国实验物理学家法拉第发现了电磁感应定律。并设计了世界上第一台感应发电机。第8页，本讲稿共87页电磁学发展史12、1840年，英国科学家焦耳提出了焦耳定律，揭示了电磁现象的能量特性。13、1848年，德国科学家基尔霍夫提出了基尔霍夫电路理论，使电路理论趋于完善。奥斯特的电生磁和法拉第的磁生电奠定了电磁学的基础。14、电磁学理论的完

4、成者英国的物理学家麦克斯韦（18311879）。麦克斯韦方程组用最完美的数学形式表达了宏观电磁学的全部内容。麦克斯韦从理论上预言了电磁波的存在。第9页，本讲稿共87页15.1866年，德国的西门子发明了使用电磁铁的发电机，为电力工业开辟了道路。16.1876年，美国贝尔发明了电话，实现了电声通信。17.1879年，美国发明家爱迪生发明了电灯，使电进入了人们的日常生活。18.1887年，德国的物理学家赫兹首次用人工的方法产生了电磁波。19.随之，俄国的波波夫和意大利的马可尼，利用电磁波通信获得成功，开创了人类无线通信的新时代。第10页，本讲稿共87页本课程的应用本课程的应用静电场：利用静电场对带

5、电粒子具有力的作用。静电场：利用静电场对带电粒子具有力的作用。如：静如：静电复印、静电除尘以及静电喷漆电复印、静电除尘以及静电喷漆静磁场：利用磁场力的作用。静磁场：利用磁场力的作用。如：电磁铁、磁悬浮轴承如：电磁铁、磁悬浮轴承以及磁悬浮列车等以及磁悬浮列车等时变电磁场：利用电磁波作为媒介传输信息。时变电磁场：利用电磁波作为媒介传输信息。如：无如：无线通信、广播、雷达、遥控遥测、微波遥感、无线因线通信、广播、雷达、遥控遥测、微波遥感、无线因特网、无线局域网、卫星定位以及光纤通信等信息技特网、无线局域网、卫星定位以及光纤通信等信息技术术应用的三个主要方面第11页，本讲稿共87页应用的各个领域电磁理

6、论电子对抗无线通信广播、电视雷达、导航、遥感工业无损探伤射电天文强电（变压器、电机）等电磁兼容等电磁医疗仪器、电磁医疗探地雷达磁悬浮技术微波烘干、杀菌第12页，本讲稿共87页静态场应用静态场应用时变场应用时变场应用阴极射线示波器喷墨打印机磁分离器磁悬浮列车矿物的分选.变压器蓝牙技术卫星通信微波炉/电磁炉隐形飞机.应用实例第13页，本讲稿共87页带电粒子偏转：静电场最常见的应用带电粒子偏转：静电场最常见的应用所有带电粒子偏转都是通过两平行板间的电位差实现原理应用：阴极射线示波器回旋加速器喷墨打印机速度选择器等原理：通过控制带电粒子（电子或是质子）的轨迹。第14页，本讲稿共87页阴极射线示波器阴极

7、射线示波器http:/ 中国上海磁悬浮列车 第18页，本讲稿共87页 卫星通信卫星通信基本原理：基本原理：卫星通信就是地球上（包括地球、水面和低层大卫星通信就是地球上（包括地球、水面和低层大气中）的无线电通信站之间利用人造卫星做中继站而进行的通气中）的无线电通信站之间利用人造卫星做中继站而进行的通信。信。通信地球站：通信地球站：可以是地面站、车载站、机载站可以是地面站、车载站、机载站地球站的天线地球站的天线要始终对准卫星才能利用卫星进行通信，所以要始终对准卫星才能利用卫星进行通信，所以我们通常使用静止卫星，也即同步卫星。我们通常使用静止卫星，也即同步卫星。同步卫星：同步卫星：卫星处在距地面卫星

8、处在距地面35600公里左右时，周期公里左右时，周期T=24小小时，时间与地球自转时间一致。时，时间与地球自转时间一致。卫星通信是二战之后发展起来的一种先进的无线通信技术。第19页，本讲稿共87页我国卫星发展状况我国卫星发展状况1、1970年年4月月24日成功发射日成功发射“东方红一号东方红一号”第一颗卫第一颗卫星。星。2、1984年年4月月 成功发射第一颗同步卫星成功发射第一颗同步卫星“东方红二号东方红二号”。3、1990年年4月月27日成功发射日成功发射“亚州一号亚州一号”通信卫星。通信卫星。第20页，本讲稿共87页电磁炉电磁炉加热原理：加热原理：采用磁场感应电流采用磁场感应电流(涡流涡流

9、)加热，利用电流通过线圈加热，利用电流通过线圈产生磁场，当磁场内的磁力线通过金属器皿的底部时即会产生产生磁场，当磁场内的磁力线通过金属器皿的底部时即会产生无数小涡流，使器皿本身自行高速发热，然后再加热于器皿内无数小涡流，使器皿本身自行高速发热，然后再加热于器皿内的食物。的食物。特点：特点：锅具自行发热，并煮食锅内食物。锅具自行发热，并煮食锅内食物。炉面不发热，当磁场内的磁力线通过非金属物休，不会产炉面不发热，当磁场内的磁力线通过非金属物休，不会产生涡流，故不会产生热力。炉面和人都是非金属物体，本生涡流，故不会产生热力。炉面和人都是非金属物体，本身不会发热，因此没有被电磁炉烧伤的危险，安全可靠。

10、身不会发热，因此没有被电磁炉烧伤的危险，安全可靠。电磁炉的热效率极高，煮食时安全、洁净、无火、无烟、无废电磁炉的热效率极高，煮食时安全、洁净、无火、无烟、无废气、不怕风吹、不会爆炸或引致气体中毒。气、不怕风吹、不会爆炸或引致气体中毒。第21页，本讲稿共87页微波炉微波炉内加热：内加热：微波炉中极性分子接受微波辐射的能量后，通微波炉中极性分子接受微波辐射的能量后，通过分子偶极的每秒数十亿次的高速旋转产生热效应，这过分子偶极的每秒数十亿次的高速旋转产生热效应，这种加热方式称为内加热种加热方式称为内加热外加热：外加热：把普通热传导和热对流的加热过程称为外加热。把普通热传导和热对流的加热过程称为外加热

11、。内加热特点：内加热特点：加热速度快、受热体系温度均匀等特点。加热速度快、受热体系温度均匀等特点。第22页，本讲稿共87页隐形飞机隐形飞机雷达工作原理：雷达工作原理：雷达发出高频电磁波射到物体上。物雷达发出高频电磁波射到物体上。物体把这个电磁波向各个方向反射，当然也有一部分反体把这个电磁波向各个方向反射，当然也有一部分反射回发射点（雷达），在雷达处再设一个接收装置就射回发射点（雷达），在雷达处再设一个接收装置就可接收到回波。根据回波可发现物体。可接收到回波。根据回波可发现物体。隐形飞机原理：隐形飞机原理：使雷达无法探测到。飞机达到隐形效果使雷达无法探测到。飞机达到隐形效果的关键，在于采用隐形材

12、料和隐形设计，尽量把雷达波的关键，在于采用隐形材料和隐形设计，尽量把雷达波束吸收掉，或者向偏离原雷达的方向反射。这样飞机就束吸收掉，或者向偏离原雷达的方向反射。这样飞机就不容易被雷达探测到。不容易被雷达探测到。隐形飞机决不是指飞机将自己隐形飞机决不是指飞机将自己的形体隐藏起来，让我们看不的形体隐藏起来，让我们看不见它，而是说它可以使雷达见它，而是说它可以使雷达“看不到看不到”它。它。F-117A(第1种可正式作战的隐形飞机)第23页，本讲稿共87页第一章第一章 矢量分析矢量分析1.1 1.1 场的概念场的概念1.2 1.2 标量场的方向导数和梯度标量场的方向导数和梯度1.3 1.3 矢量场的通

13、量和散度矢量场的通量和散度1.4 1.4 矢量场的环量和旋度矢量场的环量和旋度1.5 1.5 圆柱坐标系与球坐标系圆柱坐标系与球坐标系1.6 1.6 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理第24页，本讲稿共87页本章要点本章要点标量场的方向导数和梯度标量场的方向导数和梯度 矢量场的通量和散度矢量场的通量和散度 矢量场的环量和旋度矢量场的环量和旋度 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理第25页，本讲稿共87页1.1 1.1 场的概念场的概念本节要点本节要点标量和矢量的概念标量和矢量的概念 标量场和矢量场的概念标量场和矢量场的概念 矢量代数运算矢量代数运算 等值面和矢量线等值面和矢量线第26页，本讲稿共87页1.1 1.1

14、 场的概念场的概念标量：标量：只有大小而没有方向的量。如电压只有大小而没有方向的量。如电压U U、电荷量、电荷量Q Q 等。等。矢量：矢量：具有大小和方向特征的量。如具有大小和方向特征的量。如电场强度矢量、磁场强度矢量电场强度矢量、磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量等。作用力矢量、速度矢量等。常矢：常矢：若某一矢量的模和方向都保持不变，如重力若某一矢量的模和方向都保持不变，如重力 变矢：变矢：若模和方向二者至少一个发生变化，如速度若模和方向二者至少一个发生变化，如速度矢量描述：矢量描述：矢量可采用有向线段、文字、矢量可采用有向线段、文字、单位矢量、分量单位矢量、分量表示等多表示等多种方式来描述

15、。种方式来描述。矢性函数：设t是数性变量，为变矢，对于某区间Ga,b内的每一个数值t，都有一确定的矢量 与之对应，则称 为数性变量t的矢性函数，记为：第27页，本讲稿共87页物理量：物理量：被赋予物理单位并具有一定物理意义的矢量被赋予物理单位并具有一定物理意义的矢量和标量。如电压和标量。如电压U、电荷量、电荷量Q等。等。场：场：在某一空间区域中，物理量数值的无穷集合，如温度在某一空间区域中，物理量数值的无穷集合，如温度场，电位场等。场，电位场等。标量场：标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量唯一地描述，则该标量函数定义一个标量场。如温度、唯一地描述

16、，则该标量函数定义一个标量场。如温度、密度等。密度等。矢量场：矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量唯一地描述，则该矢量函数定义一个矢量场。如电场、唯一地描述，则该矢量函数定义一个矢量场。如电场、磁场、流速场等。磁场、流速场等。1.1 1.1 场的概念场的概念场的概念场的概念第28页，本讲稿共87页场的属性：场的属性：占有一定空间，且在该空间区域内，除有限个占有一定空间，且在该空间区域内，除有限个点和表面外，其物理量处处连续点和表面外，其物理量处处连续场的分类场的分类按与时间的关系分：按与时间的关系分：静态场静态场/时变场，各处物理量是否随时变场，

17、各处物理量是否随时间变化时间变化按与方向关系分：按与方向关系分：标量场标量场/矢量场，各处物理量是标量矢量场，各处物理量是标量还是矢量还是矢量1.1 1.1 场的概念场的概念场的概念场的概念第29页，本讲稿共87页矢量代数矢量代数空矢或零矢：空矢或零矢：一个大小为零的矢量一个大小为零的矢量 单位矢量：单位矢量：一个大小为一个大小为1的矢量，在直角坐标系中，用单位的矢量，在直角坐标系中，用单位矢量表征矢量分别沿矢量表征矢量分别沿 x，y，z轴分量的方向。轴分量的方向。如：如：矢量的表示方法矢量一般表示：，A为矢量 的大小，为方向 1.1 1.1 场的概念场的概念场的概念场的概念第30页，本讲稿共

18、87页任一矢量可以表示为：任一矢量可以表示为：位置矢量：从原点指向空间任一点P的矢量 位置矢量能够由它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定。直角坐标系中点直角坐标系中点P(x,y,z)的位置矢量表达式为：的位置矢量表达式为：1.1 1.1 场的概念场的概念场的概念场的概念P(x,y,z)第31页，本讲稿共87页结论：结论：若两不为零矢量的点积为零，则两矢量互相垂直若两不为零矢量的点积为零，则两矢量互相垂直数学知识补充数学知识补充矢量的代数运算矢量的代数运算求和差求和差作图法：作图法：平行四边形法则平行四边形法则分量法：分量法：求点积求点积（标量积、内积）（标量积、内积）公式：公式：特点：特

19、点：直角坐标系中：直角坐标系中：1.1 1.1 场的概念场的概念场的概念场的概念第32页，本讲稿共87页求叉积求叉积（矢量积、外积）（矢量积、外积）结论：结论：若两不为零矢量的叉积为零，则两矢量互相平行若两不为零矢量的叉积为零，则两矢量互相平行公式：公式：其中：右手螺旋法则特点：特点：直角坐标系中：直角坐标系中：右手螺旋法则1.1 1.1 场的概念场的概念场的概念场的概念第33页，本讲稿共87页数学知识补充数学知识补充矩阵和行列式的计算矩阵和行列式的计算代数余子式：的余子式前添加符号 ，称 的代数余子式，记为 ，例：求 中元素 的余子式和代数余子式余子式：在 n 阶行列式 中去掉元素 所在的行

20、和列，剩下的 n-1 阶行列式称为元素 的余子式。记为1.1 1.1 场的概念场的概念场的概念场的概念第34页，本讲稿共87页n阶行列式的计算：等于它的任意一行（列）的各元素与其对应代数余子式乘积的和，即例：求1.1 1.1 场的概念场的概念场的概念场的概念第35页，本讲稿共87页矩阵的乘法：矩阵的乘法：设设A=(aij)是是ms矩阵，矩阵，B=(bij)是是sn矩矩阵，作阵，作A的第的第i行与行与B的第的第j列的对应元素的乘积之和列的对应元素的乘积之和 ,则矩阵为矩阵则矩阵为矩阵A与与B的乘积的乘积例：已知：求AB解：解：1.1 1.1 场的概念场的概念场的概念场的概念第36页，本讲稿共87

21、页方程组的矩阵表示方程组的矩阵表示设矩阵设矩阵可记为可记为Y=AX 则则 X=A-1Y，A-1为为A的逆矩阵，的逆矩阵，要求要求X，只需求只需求A-1，即求，即求A的逆矩阵的逆矩阵1.1 1.1 场的概念场的概念场的概念场的概念第37页，本讲稿共87页逆矩阵的求法逆矩阵的求法其中其中为为A的的伴随矩阵伴随矩阵n阶方阵阶方阵A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是|A|0,且当且当A可逆时，可逆时，有有Aij是是|A|的元素的元素aij的代数余子式的代数余子式注意此矩阵行和列的排列，转置矩阵1.1 1.1 场的概念场的概念场的概念场的概念第38页，本讲稿共87页例：已知：求A-1解：解：1.1

22、 1.1 场的概念场的概念场的概念场的概念第39页，本讲稿共87页1、计算 2、已知 求：作业1.1 1.1 场的概念场的概念场的概念场的概念第40页，本讲稿共87页标量场的等值面和矢量场的矢量线标量场的等值面和矢量场的矢量线场的场的 场图场图 表示表示 研究标量场和矢量场时，用研究标量场和矢量场时，用“场图场图”表示场变量在表示场变量在空间逐点演变的情况具有很大的意义。空间逐点演变的情况具有很大的意义。对标量场对标量场 等值面图表示：等值面图表示：空间内标量值相等的点集合形成的空间内标量值相等的点集合形成的曲面称等值面，如等温面等。等值面方程：曲面称等值面，如等温面等。等值面方程：等值线图表

23、示：等值线图表示：等值面在二维空间称为等值线。如等值面在二维空间称为等值线。如等高线等。等值线方程：等高线等。等值线方程：1.1 1.1 场的概念场的概念场的概念场的概念第41页，本讲稿共87页等值面和等值线作用：等值面和等值线作用：帮助了解标量场在空间中的分帮助了解标量场在空间中的分布情况。布情况。等高线作用等高线作用1 1根据等高线及其所标出的高度，了解该地区高度根据等高线及其所标出的高度，了解该地区高度2 2根据等高线的疏密程度可以判断该地区各个方向上根据等高线的疏密程度可以判断该地区各个方向上地势的陡度地势的陡度A点高300B点高300A点比B点陡越密就越陡1.1 1.1 场的概念场的

24、概念场的概念场的概念第42页，本讲稿共87页对矢量场对矢量场矢量线表示：矢量线表示：用一些有向矢量线来形象表示矢量在空间的用一些有向矢量线来形象表示矢量在空间的分布，称为矢量线。如静电场的电力线等。分布，称为矢量线。如静电场的电力线等。特点：特点：矢量线上任意点的切线方向必定与该点的矢量方向矢量线上任意点的切线方向必定与该点的矢量方向相同相同矢量线方程（直角坐标系）：矢量线方程（直角坐标系）：1.1 1.1 场的概念场的概念场的概念场的概念第43页，本讲稿共87页矢量线的作用矢量线的作用1 1根据矢量线确定矢量场中各点矢量的根据矢量线确定矢量场中各点矢量的方向方向2 2根据各处矢量线的疏密程度

25、，判别出各处矢量的根据各处矢量线的疏密程度，判别出各处矢量的大小及变大小及变化趋势化趋势。A点受到向下电场力B点受到向下电场力A点比B点受到的力大越密矢量越大1.1 1.1 场的概念场的概念场的概念场的概念第44页，本讲稿共87页例例1-1 求数量场求数量场=(x+y)2-z 通过点通过点 M(1,0,1)的等值面方程。的等值面方程。解解：点点M的的坐坐标标是是x0=1,y0=0,z0=1，则则该该点点的的数数量量场场值值为为=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程为。其等值面方程为 或或：1.1 1.1 场的概念场的概念场的概念场的概念第45页，本讲稿共87页例例1-2 求矢量场求矢量场

26、的矢量线方程的矢量线方程解：解：矢量线应满足的微分方程为矢量线应满足的微分方程为 从而有从而有 c1和和c2是积分常数。是积分常数。1.1 1.1 场的概念场的概念场的概念场的概念第46页，本讲稿共87页1.2 1.2 标量场的方向导数和梯度标量场的方向导数和梯度1.2.1 标量场方向导数标量场方向导数(标量标量)Directional Derivative 设设M0是是标标量量场场=(M)中中的的一一个个已已知知点点，从从M0出出发发沿沿某某一一方方向向引引一一条条射射线线l,在在l上上M0的的邻邻近近取取一一点点M，MM0=，若当，若当M趋于趋于M0时时(即即趋于零时趋于零时)的极限存在，

27、称此极限为函数的极限存在，称此极限为函数(M)在点在点M0处沿处沿l方向的方向导数，记为方向的方向导数，记为 第47页，本讲稿共87页结论：结论：方向导数 是函数 在点 处沿方向 对距离的变化率表明M0处函数 沿l方向增加，反之减小若函数若函数=(x,y,z)在点在点M0(x0,y0,z0)处可微，处可微，cos、cos、cos为为l方向的方向余弦，则函数方向的方向余弦，则函数在点在点M0处沿处沿l方向的方向方向的方向导数必定存在，且为导数必定存在，且为1.2.1 标量场方向导数标量场方向导数第48页，本讲稿共87页证明：证明：M点的坐标为点的坐标为M(x0+x,y0+y,z0+z)，由于函，

28、由于函数数在在M0处可微，故处可微，故 两边除以两边除以，可得，可得 当当趋于零时对上式取极限，可得趋于零时对上式取极限，可得 1.2.1 标量场方向导数标量场方向导数第49页，本讲稿共87页解：l方向的方向余弦为而而 数量场在数量场在 l 方向的方向导数为方向的方向导数为 点点M处沿处沿l方向的方向导数方向的方向导数 例1-3 求数量场 在点M(1,1,2)处沿 方向的方向导数1.2.1 标量场方向导数标量场方向导数第50页，本讲稿共87页1.2.2 1.2.2 标量场的梯度标量场的梯度(矢量矢量)gradient)gradient在直角坐标系中在直角坐标系中梯度的定义：在标量场 中的一点M

29、处，其方向为函数 在M点处变化率最大的方向，其模又恰好等于最大变化率的矢量 ，称为标量场 在M点处的梯度，用 表示。方向：函数 在M点处变化率最大的方向大小：最大变化率的矢量的模第51页，本讲稿共87页在直角坐标系中，令在直角坐标系中，令 已知：证明：标量场 在任意方向l上的方向导数为 证明沿 方向的方向导数 最大，且已知：已知：与 方向一致，且1.2.2 标量场的梯度标量场的梯度第52页，本讲稿共87页梯度的性质：标量场 中每一点M处的梯度垂直于过该点的等值面，且指向函数 的增大方向。即梯度为该等值面的法向矢量。在某点在某点M处处沿任意方向的方向沿任意方向的方向导导数等于数等于该该点点处处的

30、梯度在的梯度在此方向上的投影。此方向上的投影。任一点梯度的模等于任一点梯度的模等于该该点各方向上方向点各方向上方向导导数最大数最大值值1.2.2 标量场的梯度标量场的梯度第53页，本讲稿共87页梯度运算法则1.2.2 标量场的梯度标量场的梯度第54页，本讲稿共87页点点M处的坐标为处的坐标为 x=1,y=0,z=1,且且r在在M点沿点沿l方向的方向导数为方向的方向导数为 解：解：r的梯度为的梯度为例1-5 求r在M(1,0,1)处沿 的方向导数而而 所以所以 所以所以r在在M点的梯度为点的梯度为1.2.2 标量场的梯度标量场的梯度证明见例1-4矢量单位化方法第55页，本讲稿共87页1.3 矢量

31、场的通量和散度矢量场的通量和散度1.3.1 1.3.1 矢量场的通量（矢量场的通量（fluxflux）一、面元矢量：一、面元矢量：面积很小的有向曲面面积很小的有向曲面方向：方向：1 1、开曲面上的面元、开曲面上的面元 2 2、闭合面上的面元、闭合面上的面元确定绕行l的方向后，沿绕行方向按右手螺旋拇指方向闭合曲面的外法线方向第56页，本讲稿共87页二、通量（标量）1、穿过面元的通量 2、穿过整个曲面S的通量3、穿过闭合曲面S的通量通量特性：通量特性：反映某一空间内场源总的特性反映某一空间内场源总的特性净流量净流量通过闭合面通过闭合面S S的通量的物理意义的通量的物理意义（流出正，流入负）（流出正

32、，流入负）0，穿出多于穿入，穿出多于穿入，S S内有发出矢量线的内有发出矢量线的正源正源0 0，穿出穿出少于穿入，少于穿入，S S内有内有汇集矢量线的汇集矢量线的负源负源=0 0，穿出穿出等于穿入，等于穿入，S S内内无源无源，或，或正源负源代数和为正源负源代数和为0 01.3.1 矢量场的通量矢量场的通量第57页，本讲稿共87页1.3.2 1.3.2 1.3.2 1.3.2 矢量场的散度矢量场的散度(标量标量)(divergence)(divergence)(divergence)(divergence)散度的定义：极限存在，此极限为矢量场在某点的散度散度的定散度的定义义式：式：散度的物理意

33、散度的物理意义义：散度表征矢量散度表征矢量场场的通量源的分布特性。的通量源的分布特性。散度值表征空间中通量源的密度散度值表征空间中通量源的密度通量密度通量密度有源点汇点无源点若矢量场为无散场第58页，本讲稿共87页散度的计算：在直角坐在直角坐标标系下：系下：哈密尔顿算子哈密尔顿算子散度符合散度符合规则规则：1.3.2 1.3.2 矢量场的散度矢量场的散度矢量场的散度矢量场的散度矢量恒等式第59页，本讲稿共87页例1-9 原点处点电荷q产生电位移矢量试求电位移矢量 的散度。解：解：静电场的性质：r=0以外空间均为无源场1.3.2 1.3.2 矢量场的散度矢量场的散度矢量场的散度矢量场的散度思考：

34、思考：r=0=0的空间呢？的空间呢？有散度源有散度源第60页，本讲稿共87页1.3.3 1.3.3 散度定理（高斯散度定理）散度定理（高斯散度定理）散度定理：矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭曲面的总通量。应用：应用：将一个封闭面积分变成等价的体积分将一个封闭面积分变成等价的体积分将一个体积分变成等价的封闭面积分将一个体积分变成等价的封闭面积分第61页，本讲稿共87页证明：散度定理证证：将将闭闭合曲面合曲面S包包围围的体的体积积V分成分成许许多小体多小体积积元元dVi(i=1n)，计算每个体积元的小封闭曲面，计算每个体积元的小封闭曲面Si上的通量，再叠加。上的通量，再叠加。由散度

35、定义有：由散度定义有：可得：可得：由于相由于相邻邻体体积积元有一个公共表面，两体元有一个公共表面，两体积积元在公共元在公共表面上的通量表面上的通量等等值值异号异号，求和，求和时时互相抵消。有部分表面在互相抵消。有部分表面在S面面上，上，这这部分表面的通量没有被抵消，其部分表面的通量没有被抵消，其总总和和刚刚好等于从封好等于从封闭闭面面S穿出的通量。因此有：穿出的通量。因此有：1.3.3 1.3.3 散度定理散度定理散度定理散度定理第62页，本讲稿共87页例 1-10 球面S上任意点的位置矢量为求 解：解：根据散度定理知根据散度定理知 而散度为而散度为 所以所以 R为球面半径为球面半径1.3.3

36、 1.3.3 散度定理散度定理散度定理散度定理第63页，本讲稿共87页1.4 1.4 矢量场的环量和旋度矢量场的环量和旋度1.4.1 1.4.1 矢量矢量场场的的环环量（量（标标量）量）(circulation)(circulation)环环量的定量的定义义：结论结论：矢量的矢量的环环量也是一个量也是一个标标量量矢量的矢量的环环量不等于零，量不等于零，则闭则闭合曲合曲线线内必有旋内必有旋涡涡源源矢量的矢量的环环量等于零，量等于零，则闭则闭合曲合曲线线内没有旋内没有旋涡涡源源例如：例如：在磁场中，在环绕电流的闭合曲线上的环量不在磁场中，在环绕电流的闭合曲线上的环量不等于零，其电流就是产生磁场的旋

37、涡源等于零，其电流就是产生磁场的旋涡源环量的性质：环量的性质：积分量，反映旋涡源总的分布特性积分量，反映旋涡源总的分布特性第64页，本讲稿共87页解：解：由于在曲线由于在曲线l上上z=0，所以，所以dz=0。例1-11 求矢量 (c是常数)沿曲线(x-2)2+y2=R2,z=0的环量 1.4.1 矢量场的环量矢量场的环量第65页，本讲稿共87页1.4.2 1.4.2 矢量场的旋度（矢量）矢量场的旋度（矢量）(rotation)(rotation)一、环量面密度的定义（标量）若极限存在此极限即为该点的环量面密度。此极限即为该点的环量面密度。面元的方向：面元的方向：面元的方向与面元的方向与闭闭合曲

38、合曲线线c的的绕绕行方向成右手螺旋关系。行方向成右手螺旋关系。说说明：明：由于面元是有方向的，它与闭合曲线l的绕行方向成右手螺旋关系，因此在给定点上，上述极限对于不同的面元是不同的。第66页，本讲稿共87页二、旋度的定义（矢量）旋度大小：旋度大小：最大最大环环量面密度的数量面密度的数值值旋度方向：旋度方向：环环量面密度最大量面密度最大时时的面元的方向的面元的方向引入哈密引入哈密尔尔顿顿算子算子在直角坐标系中在直角坐标系中1.4.2 矢量场的旋度矢量场的旋度第67页，本讲稿共87页结论：旋度描述矢量 在该点的旋涡源强度。矢量场在P点处沿任一方向 的环量面密度为旋度在 方向上的投影。若 ，则为无旋

39、场，反之为有旋场1.4.2 矢量场的旋度矢量场的旋度第68页，本讲稿共87页旋度的运算规则直角坐直角坐标标系中系中2为拉普拉斯算子1.4.2 矢量场的旋度矢量场的旋度第69页，本讲稿共87页解：解：矢量场的旋度矢量场的旋度 例1-12 求矢量场 在点M(1，0，1)处的旋度以及沿 方向的环量面密度。在点在点M(1，0，1)处的处的旋度旋度 环量面密度环量面密度 方向的单位矢量 1.4.2 矢量场的旋度矢量场的旋度第70页，本讲稿共87页例1-13 在坐标原点处放置一点电荷q，在自由空间产生的电场强度为 求自由空间任意点求自由空间任意点(r0)电场强度的旋度电场强度的旋度解：解：静电场的性质：说

40、明点电荷产生的场为无旋场（包括r=0的点）1.4.2 矢量场的旋度矢量场的旋度第71页，本讲稿共87页1.4.3 1.4.3 斯托克斯定理斯托克斯定理 旋度代表单位面积的环量，因此矢量场在闭合曲线c上的环量等于闭合曲线c所包围曲面S上旋度的总和，即 式中：S是闭合路径l所围成的面积。的方向与 的方向成右手螺旋关系。应用：应用：将矢量旋度的面积分转换成该矢量的线积分；将矢量旋度的面积分转换成该矢量的线积分；将矢量的线积分转换为该矢量旋度的面积分。将矢量的线积分转换为该矢量旋度的面积分。例例1-111-11的另一种解法的另一种解法第72页，本讲稿共87页1.5 1.5 圆柱坐标系与球坐标系圆柱坐标

41、系与球坐标系1.5.1 1.5.1 圆柱坐标系圆柱坐标系理解理解第73页，本讲稿共87页直角坐标系与圆柱坐标系的转换关系直角坐标系圆柱坐标系 圆柱坐标系圆柱坐标系直角坐标系直角坐标系1.5.1 圆柱坐标系圆柱坐标系了解了解第74页，本讲稿共87页对任意增量对任意增量d、d、d dz，P点位点位置沿置沿、z方向的方向的长度增量长度增量为：为：拉梅系数拉梅系数（各方向的长度增量（各方向的长度增量与各自坐标增量之比）为：与各自坐标增量之比）为：面积元与体积元为：面积元与体积元为：1.5.1 圆柱坐标系圆柱坐标系第75页，本讲稿共87页1.5.2 1.5.2 球面坐标系球面坐标系第76页，本讲稿共87

42、页1.5.2 1.5.2 球面坐标系球面坐标系了解了解第77页，本讲稿共87页直角坐标系与球坐标系的转换关系直角坐标系球坐标系球坐标系球坐标系直角坐标系直角坐标系1.5.2 1.5.2 球面坐标系球面坐标系了解了解第78页，本讲稿共87页P点沿点沿r、方向的方向的长度增量长度增量为：为：拉梅系数为：拉梅系数为：面积元与体积元为：面积元与体积元为：1.5.2 1.5.2 球面坐标系球面坐标系第79页，本讲稿共87页1.6 1.6 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理一、亥姆霍兹定理：若矢量场F在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，而源分布在有限空间区域中，则矢量场由其散度和旋度唯一确定，并且可以表示为一个

43、标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和，即 二、亥姆霍兹定理的意义：总结了矢量场的共同性质二、亥姆霍兹定理的意义：总结了矢量场的共同性质n矢量场的散度和旋度各对应矢量场中的一种源矢量场的散度和旋度各对应矢量场中的一种源n矢量场可由它的散度和旋度唯一确定；矢量场可由它的散度和旋度唯一确定；n因因此此研研究究矢矢量量场场都都应应该该从从散散度度和和旋旋度度两两个个方方面面进进行行，或或者从矢量场的通量和环量两个方面去研究。者从矢量场的通量和环量两个方面去研究。第80页，本讲稿共87页1.6 1.6 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理三、矢量场的基本方程：三、矢量场的基本方程：1 1、基本微分方程：散度方程和

44、旋度方程、基本微分方程：散度方程和旋度方程2 2、基本积分方程：通量方程和环量方程、基本积分方程：通量方程和环量方程第81页，本讲稿共87页第一章总结主要公式一、直角坐标系中 散度：散度：梯度：梯度：旋度：旋度：拉普拉斯：拉普拉斯：第82页，本讲稿共87页二、圆柱坐标系中散度：散度：梯度：梯度：旋度：旋度：拉普拉斯：拉普拉斯：第83页，本讲稿共87页三、球坐标系中散度：散度：梯度：梯度：旋度：旋度：拉普拉斯：拉普拉斯：第84页，本讲稿共87页公式归纳直角坐标系：直角坐标系：圆柱坐标系：圆柱坐标系：球坐标系：球坐标系：P点用u1，u2，u3坐标表示，沿坐标增量方向的单位矢量为 ，拉梅系数为h1，h2，h3第85页，本讲稿共87页曲线正交坐标系中，统一公式：散度：散度：梯度：梯度：旋度：旋度：拉普拉斯：拉普拉斯：第86页，本讲稿共87页作业习题一习题一 1-6 1-7 1-11第87页，本讲稿共87页