第一章 导数及其应用综合检测.doc

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1、第一章 导数及其应用综合检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2010全国文，7)若曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则()Aa1，b1Ba1，b1Ca1，b1 Da1，b1答案A解析y2xa，y|x0(2xa)|x0a1，将(0，b)代入切线方程得b1.2一物体的运动方程为s2tsintt，则它的速度方程为()Av2sint2tcost1 Bv2sint2tcostCv2sint Dv2sint2cost1答案A解析因为变速运动在t0的瞬时速度就是路程函数ys(t)在t

2、0的导数，S2sint2tcost1，故选A.3曲线yx23x在点A(2,10)处的切线的斜率是()A4 B5C6 D7答案D解析由导数的几何意义知，曲线yx23x在点A(2,10)处的切线的斜率就是函数yx23x在x2时的导数，y|x27，故选D.4函数yx|x(x3)|1()A极大值为f(2)5，极小值为f(0)1B极大值为f(2)5，极小值为f(3)1C极大值为f(2)5，极小值为f(0)f(3)1D极大值为f(2)5，极小值为f(3)1，f(1)3答案B解析yx|x(x3)|1yx变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：x(，0)0(0,2)2(2,3)3(3，)f(x)000f(x

3、)无极值极大值5极小值1f(x)极大f(2)5，f(x)极小f(3)1故应选B.5(2009安徽理，9)已知函数f(x)在R上满足f(x)2f(2x)x28x8，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程是()Ay2x1 ByxCy3x2 Dy2x3答案A解析本题考查函数解析式的求法、导数的几何意义及直线方程的点斜式f(x)2f(2x)x28x8，f(2x)2f(x)x24x4，f(x)x2，f(x)2x，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为2，切线方程为y12(x1)，y2x1.6函数f(x)x3ax23x9，已知f(x)在x3时取得极值，则a等于()A2 B3C4 D5答案D

4、解析f(x)3x22ax3，f(x)在x3时取得极值，x3是方程3x22ax30的根，a5，故选D.7设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数当x0，且g(3)0，则不等式f(x)g(x)0的解集是()A(3,0)(3，)B(3,0)(0,3)C(，3)(3，)D(，3)(0,3)答案D解析令F(x)f(x)g(x)，易知F(x)为奇函数，又当x0，即F(x)0，知F(x)在(，0)内单调递增，又F(x)为奇函数，所以F(x)在(0，)内也单调递增，且由奇函数知f(0)0，F(0)0.又由g(3)0，知g(3)0F(3)0，进而F(3)0于是F(x)f(x)g(x)的大致图象如图所

5、示F(x)f(x)g(x)0的解集为(，3)(0,3)，故应选D.8下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是()A BC D答案B解析不正确；导函数过原点，但三次函数在x0不存在极值；不正确；三次函数先增后减再增，而导函数先负后正再负故应选B.9(2010湖南理，5)dx等于()A2ln2 B2ln2Cln2 Dln2答案D解析因为(lnx)，所以 dxlnx|ln4ln2ln2.10已知三次函数f(x)x3(4m1)x2(15m22m7)x2在x(，)是增函数，则m的取值范围是()Am4 B4m2C2m4 D以上皆不正确答案D解析f(x)x22(4m1)x1

6、5m22m7，由题意得x22(4m1)x15m22m70恒成立，4(4m1)24(15m22m7)64m232m460m28m284(m26m8)0，2m4，故选D.11已知f(x)x3bx2cxd在区间1,2上是减函数，那么bc()A有最大值 B有最大值C有最小值 D有最小值答案B 解析由题意f(x)3x22bxc在1,2上，f(x)0恒成立所以即令bcz，bcz，如图过A得z最大，最大值为bc6.故应选B.12设f(x)、g(x)是定义域为R的恒大于0的可导函数，且f(x)g(x)f(x)g(x)0，则当axf(b)g(b)Bf(x)g(a)f(a)g(x)Cf(x)g(b)f(b)g(x

7、)Df(x)g(x)f(a)g(x)答案C解析令F(x)则F(x)f(x)g(b)f(b)g(x)故应选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分将正确答案填在题中横线上)13._.答案解析取F(x)，从而F(x)则F(1)F(2).14若函数f(x)的单调增区间为(0，)，则实数a的取值范围是_答案a0解析f(x)a，由题意得，a0，对x(0，)恒成立，a，x(0，)恒成立，a0.15(2009陕西理，16)设曲线yxn1(nN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令anlgxn，则a1a2a99的值为_答案2解析本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有关性质k

8、y|x1n1，切线l：y1(n1)(x1)，令y0，x，anlg，原式lglglglglg2.16如图阴影部分是由曲线y，y2x与直线x2，y0围成，则其面积为_答案ln2解析由，得交点A(1,1)由得交点B.故所求面积Sdxdxxlnxln2.三、解答题(本大题共6个小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题满分12分)(2010江西理，19)设函数f(x)lnxln(2x)ax(a0)(1)当a1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0,1上 的最大值为，求a的值解析函数f(x)的定义域为(0,2)，f (x)a，(1)当a1时，f (x)，所以f(x)的单调

9、递增区间为(0，)，单调递减区间为(，2)；(2)当x(0,1时，f (x)a0，即f(x)在(0,1上单调递增，故f(x)在(0,1上的最大值为f(1)a，因此a.18(本题满分12分)求曲线y2xx2，y2x24x所围成图形的面积解析由得x10，x22.由图可知，所求图形的面积为S(2xx2)dx|(2x24x)dx|(2xx2)dx(2x24x)dx.因为2xx2，2x24x，所以S4.19(本题满分12分)设函数f(x)x33axb(a0)(1)若曲线yf(x)在点(2，f(2)处与直线y8相切，求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值点分析考查利用导数研究函数的单调性，极值

10、点的性质，以及分类讨论思想解析(1)f(x)3x23a.因为曲线yf(x)在点(2，f(2)处与直线y8相切，所以即解得a4，b24.(2)f(x)3(x2a)(a0)当a0，函数f(x)在(，)上单调递增，此时函数f(x)没有极值点当a0时，由f(x)0得x.当x(，)时，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x(，)时，f(x)0，函数f(x)单调递增此时x是f(x)的极大值点，x是f(x)的极小值点20(本题满分12分)已知函数f(x)x2lnx.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：当x1时，x2lnx0，f(x)x，故f(x)0，f(x)的单调增区间为(0，)(2)设g(x)x3

11、x2lnx，g(x)2x2x，当x1时，g(x)0，g(x)在(1，)上为增函数，g(x)g(1)0，当x1时，x2lnxx3.21(本题满分12分)设函数f(x)x3x26xa.(1)对于任意实数x, f(x)m恒成立，求m的最大值；(2)若方程f(x)0有且仅有一个实根，求a的取值范围分析本题主要考查导数的应用及转化思想，以及求参数的范围问题解析(1)f(x)3x29x63(x1)(x2)因为x(，)f(x)m，即3x29x(6m)0恒成立所以8112(6m)0，得m，即m的最大值为.(2)因为当x0；当1x2时，f(x)2时f(x)0.所以当x1时，f(x)取极大值f(1)a，当x2时，

12、f(x)取极小值f(2)2a.故当f(2)0或f(1)0时，方程f(x)0仅有一个实根，解得a.22(本题满分14分)已知函数f(x)x3ax21(aR)(1)若函数yf(x)在区间上递增，在区间上递减，求a的值；(2)当x0,1时，设函数yf(x)图象上任意一点处的切线的倾斜角为，若给定常数a，求的取值范围；(3)在(1)的条件下，是否存在实数m，使得函数g(x)x45x3(2m)x21(mR)的图象与函数yf(x)的图象恰有三个交点若存在，请求出实数m的值；若不存在，试说明理由解析(1)依题意f0，由f(x)3x22ax，得322a0，即a1.(2)当x0,1时，tanf(x)3x22ax32.由a，得.当，即a时，f(x)max，f(x)minf(0)0.此时0tan.当(1，)，即a(3，)时，f(x)maxf(1)2a3，f(x)minf(0)0，此时，0tan2a3.又0，)，当3时，0，arctan(2a3)(3)函数yf(x)与g(x)x45x3(2m)x21(mR)的图象恰有3个交点，等价于方程x3x21x45x3(2m)x21恰有3个不等实根，x44x3(1m)x20，显然x0是其中一个根(二重根)，方程x24x(1m)0有两个非零不等实根，则m3且m1故当m3且m1时，函数yf(x)与yg(x)的图象恰有3个交点