倍长中线与截长补短法.pptx

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1、初中几何常见辅助线作法口诀人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。第1页/共15页三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。第2页/共15页解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。第3页/共15页1、有以线段中点为端点的线段时，常延长

2、加倍此线段，构造全等三角形。例如：如图4-1：AD为ABC的中线，且1=2，3=4，求证：BE+CFEF一、倍长法第4页/共15页证明：廷长ED至M，使DM=DE，连接 CM，MF。在BDE和CDM中，BD=CD （中点定义）1=5 （对顶角相等）ED=MD （辅助线作法）BDECDM （SAS）又1=2，3=4（已知）1+2+3+4=180（平角的定义）3+2=90即：EDF=90 FDM=EDF=90在EDF和MDF中 ED=MD （辅助线作 法）EDF=FDM （已证）DF=DF （公共边）EDFMDF （SAS）EF=MF（全等三角形对应边相等）在CMF中，CF+CMMF（三角形两边之

3、和大于第三边）BE+CFEF第5页/共15页在三角形中线时，常廷长加倍中线，构造全等三角形。例如：如图5-1：AD为 ABC的中线，求证：AB+AC2AD分析：要证AB+AC2AD，由图想到：AB+BDAD,AC+CDAD，所以有AB+AC+BD+CD AD+AD=2AD，左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去 第6页/共15页证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE AD为ABC的中线 （已知）BD=CD （中线定义）在ACD和EBD中 BD=CD （已证）1=2 （对顶角相等）AD=ED （辅助线

4、作法）ACDEBD （SAS）BE=CA（全等三角形对应边相等）在ABE中有：AB+BEAE（三角形两边之和大于第三边）AB+AC2AD。（常延长中线加倍，构造全等三角形）第7页/共15页练习已知ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图5-2，求证EF=2AD。第8页/共15页二、截长补短法作辅助线 要证明两条线段之和等于第三条线段，可以采取“截长补短”法。截长法即在较长线段上截取一段等于两较短线段中的一条，再证剩下的一段等于另一段较短线段。所谓补短，即把两短线段补成一条，再证它与长线段相等。第9页/共15页让我们来大显身手吧！例如：已知如图6-1

5、：在ABC中，ABAC，1=2，P为AD上任一点 求证：AB-ACPB-PC。第10页/共15页要证：AB-ACPB-PC，想到利用三角形三边关系定理证明。因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN再连接PN，则PC=PN，又在PNB中，PB-PNPB-PC。思路导航第11页/共15页证明：（截长法）在AB上截取AN=AC连接PN 在APN和APC中 AN=AC（辅助线作法）1=2（已知）AP=AP（公共边）APNAPC（SAS）PC=PN（全等三角形对应边相等）在BPN中，有 PB-PNBN（三角形两边之差小于第三边）BP-PCPM-PC(三角形两边之差小于第三边)AB-ACPB-PC。第13页/共15页第14页/共15页感谢您的观看。第15页/共15页