全等三角形中的倍长中线与截长补短法.pptx

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1、会计学1全等三角形中的倍长中线与截长补短法全等三角形中的倍长中线与截长补短法三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。第1页/共22页n n例1：ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围n n提示：画出图形，倍长中线AD，利用三角形两边之和大于第三边第2页/共22页n n例2：已知在ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，

2、求证：BD=CEn n方法方法1 1：过：过DD作作DGDGAEAE交交BCBC于于GG，n n方法方法2 2：过：过E E作作EGEGABAB交交BCBC的延长线于的延长线于GG，n n方法方法3 3：过：过DD作作DGDGBCBC于于GG，过，过E E作作EHEHBCBC的延长线于的延长线于HH第3页/共22页n n例3：已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EFn n提示：倍长AD至G，连接BG，n n证明BDGCDAn n 三角形BEG是等腰三角形第4页/共22页n n例4：已知：如图，在中，D、E在BC上，且DE=EC，过

3、D作交AE于点F，DF=AC.n n求证：AE平分BACn n提示：n n方法1：倍长AE至G，连结DGn n方法2：倍长FE至H，连结CH第5页/共22页在三角形中线时，常廷长加倍中线，构造全等三角形。例如：如图5-1：AD为 ABC的中线，求证：AB+AC2AD分析：要证AB+AC2AD，由图想到：AB+BDAD,AC+CDAD，所以有AB+AC+BD+CD AD+AD=2AD，左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去 第6页/共22页证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE AD为ABC的中线 （

4、已知）BD=CD （中线定义）在ACD和EBD中 BD=CD （已证）1=2 （对顶角相等）AD=ED （辅助线作法）ACDEBD （SAS）BE=CA（全等三角形对应边相等）在ABE中有：AB+BEAE（三角形两边之和大于第三边）AB+AC2AD。（常延长中线加倍，构造全等三角形）第7页/共22页练习练习n n已知已知ABCABC，ADAD是是BCBC边上的边上的中线，分别以中线，分别以ABAB边、边、ACAC边为边为直角边各向外作等腰直角三角直角边各向外作等腰直角三角形，如图形，如图5-25-2，求证求证EF=2ADEF=2AD。ABCDEF25-图第8页/共22页二、截长补短法作辅助线二

5、、截长补短法作辅助线 要证明两条线段之和等于第三条线段，可以采取“截长补短”法。截长法即在较长线段上截取一段等于两较短线段中的一条，再证剩下的一段等于另一段较短线段。所谓补短，即把两短线段补成一条，再证它与长线段相等。第9页/共22页让我们来大显身手吧！让我们来大显身手吧！例如：已知如图6-1：在ABC中，ABAC，1=2，P为AD上任一点 求证：求证：AB-ACPB-PCAB-ACPB-PC。第10页/共22页要证：要证：AB-ACPB-PCAB-ACPB-PC，想到，想到利用三角形三边关系定利用三角形三边关系定理证明。理证明。因为欲证的线段之差，故用因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三

6、边，两边之差小于第三边，从而想到构造第三边从而想到构造第三边AB-AB-ACAC故可在故可在ABAB上截取上截取ANAN等于等于ACAC，得，得AB-AC=BNAB-AC=BN再连接再连接PNPN，则，则PC=PNPC=PN，又，又在在PNBPNB中，中，PB-PNBNPB-PNPB-PCAB-ACPB-PC。思路导航思路导航第11页/共22页证明：（截长法）在AB上截取AN=AC连接PN 在APN和APC中 AN=AC（辅助线作法）1=2（已知）AP=AP（公共边）APNAPC（SAS）PC=PN（全等三角形对应边相等）在BPN中，有 PB-PNBN（三角形两边之差小于第三边）BP-PCPM

7、-PC(三角形两边之差小于第三边)AB-ACPB-PC。第13页/共22页 在 ABC中，ACB=90，AC=BC,直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E。求证：DE=AD+BE证明：213 1+3=90.1+2=90.2=3.ADC=CEB ADCCEB AD=CE,CD=BE DE=AD+BE ACB=90，BEMN，ADMN,ADC=CEB=90.在 ADC和CEB中,AC=BC2=3 DE=CE+CD第14页/共22页例题讲解1.在ABC中,B2C,AD平分BAC.求证：AB+BD=ACABCDE证明：在AC上截取A E=AB，连结D E AD平分BAC 12,在ABD和 AE

8、D中12A B=AEA D=AD ABD AEDBD=DE,B3 3=4+C B2C 3=2C 2C=4+CDE=CEBD=CEAE+EC=AC AB+BD=AC1234 C 4截长法第15页/共22页例题讲解在ABC中,B2C,AD平分BAC.求证：AB+BD=ACABCDE在AB的延长线截取B E=BD，连结D E.证明：补短法在射线 AB截取B E=BD，连结D E.第16页/共22页 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目第17页/共22

9、页 如图，ADBC，AE,BE分别平分DAB,CBA，CD经过点E，求证：ABAD+BC练习第18页/共22页 在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为ABC外一点，且MDN=60,BDC=120,BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系.如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ABCDMN思考题第19页/共22页 在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为ABC外一点，且MDN=60,BDC=120,BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系.如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）的结论还成立吗?ABCDMN写出你的猜想并加以证明；第20页/共22页 如图3，点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，猜想（I）的结论还成立吗?若不成立，又有怎样的数量关系？写出你的猜想并加以证明.ABCDMN第21页/共22页