行列式按行列展开定理.pptx

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1、1可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式来来计算计算.问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n-1阶行列式来计算？一一.按一行按一行(列列)展开行列式展开行列式第1页/共49页2定义定义1.5 在在 n 阶行列式中阶行列式中,把元素把元素所在的第所在的第i行和行和 余子式余子式.记为记为称称为元素为元素的代数余子式的代数余子式.例如例如第第 j 列划去后列划去后,余下的余下的 n-1-1 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素第2页/共49页3的余子式的余子式.的代数余子式的代数余子式.第3页/共49页4 注注 行列式的每个元素都分别对应着一个余子

2、式和行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式一个代数余子式.第4页/共49页5 引理引理 若在若在 n 阶行列式阶行列式 D 的第的第 i 行中有一个元素行中有一个元素aij 0,其余元素全为零其余元素全为零,则则D=aij Aij.定理定理1.4 设设 n 阶阶行列式行列式则 n 阶行列式 D 的值等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.即第5页/共49页6证证(只证按行展开第一式只证按行展开第一式)将行列式将行列式D改写为改写为 D=a1jA1j+a2jA2j+anjAnj (j=1,2,n)或第6页/共49页7由行列式性质由行列式性质2及引理，得及引理

3、，得=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin.(i=1,2,n)同理可证按列展开式成立.第7页/共49页8解解 按第一行展开按第一行展开,得得例例1 计算行列式第8页/共49页9 推论推论 n 阶行列式 D 的任意一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积的和等于零.即证证由定理由定理1,1,行列式等于某一行的元素分别与它们行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和.第9页/共49页10在行列式在行列式中中,如果令第如果令第 i 行的元素等于另外一行行的元素等于另外一行,譬如第譬如第 k 行行的元素的元素第10页/共49页11则则行列式含有两个行列式含有两个相同的行相同

4、的行,值为值为 0.第11页/共49页12综上所述综上所述,得公式得公式 注注 在计算数字行列式时在计算数字行列式时,直接应用行列式展开公式直接应用行列式展开公式并不一定简化计算并不一定简化计算,因为把一个因为把一个n阶行列式换成阶行列式换成n个个(n1)阶行列式的计算并不减少计算量阶行列式的计算并不减少计算量,只是在行列式中只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时某一行或某一列含有较多的零时,应用展开定理才有应用展开定理才有意义，但展开定理在理论上是重要的第12页/共49页13利用行列式按行按列展开定理利用行列式按行按列展开定理,并结合行列式性质并结合行列式性质,可简化行列式计算：可简化行

5、列式计算：计算行列式时,可先用行列式的性质将某一行(列)化为仅含1个非零元素,再按此行(列)展开,变为低一阶的行列式,如此继续下去,直到化为三阶或二阶行列式.例例2 计算行列式算行列式第13页/共49页14解解 第14页/共49页15第15页/共49页16例例3计算计算 n 阶行列式阶行列式第16页/共49页17解解 将将Dn 按第一列展开按第一列展开于是,得递推公式而由递推公式,得继续递推公式,得第17页/共49页故故18例例4证明范德蒙证明范德蒙(Vandermonde)(Vandermonde)行列式行列式第18页/共49页19 证证 用数学归纳法用数学归纳法(1)当当n=2时时,结论成

6、立结论成立.(2)设设n-1-1阶范德蒙行列式成立阶范德蒙行列式成立,证明证明n阶也成立阶也成立.第19页/共49页20n-1 1阶范德蒙行列式第20页/共49页21证毕证毕.用降阶法计算行列式的值用降阶法计算行列式的值.（按行按列展开）（按行按列展开）=57练习题练习题第21页/共49页22例例5 利用性质及展开定理计算行列式的值利用性质及展开定理计算行列式的值.解解第22页/共49页23按第二列展开按第二列展开按第二行展开按第二行展开第23页/共49页24例例6 计算行列式计算行列式第24页/共49页25解解 将行列式每一列加到第一列，则第25页/共49页26第26页/共49页27例例7

7、计算行列式计算行列式解解 我们称行列式我们称行列式D为箭形行列式为箭形行列式解决的目标：化为上三角形行列式解决的目标：化为上三角形行列式.第27页/共49页28第28页/共49页29例例8 计算行列式计算行列式第29页/共49页30箭形行列式箭形行列式第30页/共49页31第31页/共49页32例例9（可以化为箭形行列式）可以化为箭形行列式）第32页/共49页33第33页/共49页34第34页/共49页35二二.行列式按某行列式按某k行行(列列)展开展开定义定义1.6 在在n阶行列式阶行列式D中任取中任取k行行k列列(1k n),称称位于这些行与列的交叉点处的k2个元素按照其在D 中的相对位置

8、所组成的k阶行列式N为D的一个k阶子式.第35页/共49页36称划去称划去 N 所在的行与列后剩下的元素按照其在所在的行与列后剩下的元素按照其在 D中的中的相对位置所组成的 n-k 阶行列式 M 为 N 的余子式.若若 N 所在的行与列的行标与列标分别为所在的行与列的行标与列标分别为第36页/共49页37例例10 设设则则D的位于第的位于第1、3行行,第第2、3列的列的2阶子式为阶子式为及及则称则称为为N的代数余子式的代数余子式,记作记作A.即即第37页/共49页38，N1的代数余子式为的代数余子式为D的位于第1、3、4行,第2、3、4列的3阶子式为，N2的代数余子式为的代数余子式为第38页/

9、共49页39显然显然,n 阶行列式阶行列式D位于某位于某k行的行的k阶子式有阶子式有个个,从而从而D共有共有个个k阶子式阶子式.定理定理1.5n 阶行列式 D 等于其位于某 k 行的所有k 阶与其对应的代数余子式与其对应的代数余子式A1,A2,.,At 的乘积之和的乘积之和,即即 显然,定理1.4是定理1.5 中k=1 时的特例.按照定理1.5展开行列式似乎很繁,但当行列式的某些行中有众第39页/共49页40多的零时多的零时,定理定理1.5的实用价值立即展现出来的实用价值立即展现出来.例例11 计算行列式计算行列式解解因为D中第2、4 行的个个2阶子式中只有阶子式中只有 一个是非零的一个是非零

10、的.故将故将D按第按第2、4 行展开得行展开得第40页/共49页41例例12计算计算 m+n 阶行列式阶行列式第41页/共49页42解解 按前m列展开,得第42页/共49页43例例13 计算计算 2n 阶行列式阶行列式(其中未写出的元素皆其中未写出的元素皆为零）为零）解解 按按第第1、2n行展开行展开,因位于这两行的全部因位于这两行的全部 2阶子阶子式中只有式中只有1个个(即位于第即位于第1、2n列的列的2阶子式阶子式)可能非零可能非零且且其余子式恰为其余子式恰为0,相应的代数余子式为相应的代数余子式为第43页/共49页44故得故得于是于是,得递推公式得递推公式从而从而第44页/共49页45三三.小结与思考题小结与思考题2.行列式按某行(列)展开降阶方法求行列式.1.行列式的余子式与代数余子式的概念和计算方法行列式的余子式与代数余子式的概念和计算方法.思考题1第45页/共49页46思考题1解答第46页/共49页47思考题思考题2求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和第47页/共49页48思考题2解答解答第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第48页/共49页49感谢您的观看！第49页/共49页