行列式按行列展开.ppt

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1、行列式按行列展开现在学习的是第1页，共25页n阶行列式的计算主要方法：阶行列式的计算主要方法：1【定义法定义法】利用利用n阶行列式的定义计算阶行列式的定义计算;2【三角形法三角形法】利用性质利用性质1-5化为三角形计算；化为三角形计算；3【展开法展开法】利用行列式按行（列）展开性质利用行列式按行（列）展开性质 6，对行列式进行降阶计算；，对行列式进行降阶计算；4【综合法综合法】利用性质利用性质1-5先使先使D的某行的某行(列列)有尽有尽 可能多的零可能多的零,再用性质再用性质6对行列式进对行列式进 行降阶计算行降阶计算.5【递推公式法递推公式法】；6【归纳法归纳法】。本节主要介绍本节主要介绍展

2、开法展开法利用行列式按行利用行列式按行(列列)展开性质展开性质6，对，对行列式进行降阶计算；行列式进行降阶计算；现在学习的是第2页，共25页一、一、简介介 一般说来，要解出行列式的值一般说来，要解出行列式的值,低阶行列式的计算比低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简便高阶行列式的计算要简便.通常的方法是：通常的方法是：把一个行列式转化为一些阶数比较低把一个行列式转化为一些阶数比较低的行列式来计算的行列式来计算.那么，如何将高阶的行列式转化为低阶的呢？那么，如何将高阶的行列式转化为低阶的呢？现在学习的是第3页，共25页二、余子式与代数余子式二、余子式与代数余子式在在 阶行列式中，把元素阶行列式中

3、，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作1、【余子式余子式】例如例如 的元素的元素a23余子式余子式与与代数代数余子式余子式余子式余子式为为:现在学习的是第4页，共25页叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式2、【代数余子式代数余子式】在余子式前面加上相应的符号，即构成代数余子式。在余子式前面加上相应的符号，即构成代数余子式。例如例如 的元素的元素a23 代数代数余子式余子式【代数余子式代数余子式】现在学习的是第5页，共25页现在学习的是第6页，共25页三、按一行（列）展开行列式三、按一行

4、（列）展开行列式特例特例1：某行中只有一个元不为零。故展开后较简单。某行中只有一个元不为零。故展开后较简单。【引理引理】一个一个n阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第i行所有元素除行所有元素除 元元 外都为零，那么这行列式等于外都为零，那么这行列式等于 与它的代数与它的代数余子式的乘积，即：余子式的乘积，即：现在学习的是第7页，共25页证证明明 见见P16 先先证证明明 的情形，此时：的情形，此时：此行列式值为：又：又：从而：从而：现在学习的是第8页，共25页2、【特例特例2】：行列式行列式D中第中第i行行 除元除元 外，该外，该行其他元全为零。即：行其他元全为零。即：这时，将行列式第这时

5、，将行列式第i行调换到的一行，要换行调换到的一行，要换（i-1）次换到的第次换到的第一行，则有：想把该行列式变换为，第一行中第一元素为一行，则有：想把该行列式变换为，第一行中第一元素为 ，该行其他元全为零的情形：，该行其他元全为零的情形：办法如下：办法如下：现在学习的是第9页，共25页 第一步：把第一步：把D的第的第i行依次与第行依次与第i-1行，第行，第i-2行、行、.、第、第1行对行对调，这样数调，这样数 就调成就调成 元，调换的次数为元，调换的次数为i-1；得得 现在学习的是第10页，共25页第二步：把第第二步：把第 j 列依次与第列依次与第 j-1列，列，j-2列，列，第，第1列对调列

6、对调,这样数这样数 就调成（就调成（1,1）元，对调次数为）元，对调次数为 j-1总之，经总之，经i+j-2次调换，把数次调换，把数 调成（调成（1,1）元。所得的行列）元。所得的行列式为：式为：现在学习的是第11页，共25页现在学习的是第12页，共25页中的余子式中的余子式现在学习的是第13页，共25页故得故得利用前利用前面的结面的结果有果有现在学习的是第14页，共25页3推广到一般情形：推广到一般情形：定理定理3.行列式按行行列式按行(列列)展开法则展开法则(定理定理)n阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子

7、式乘积之和，即：即：【注意注意】：在具体计算行列式的值时，到底按哪一行在具体计算行列式的值时，到底按哪一行(列列)来展开来展开,看实际情况确定看实际情况确定,哪行简单哪行简单(零元素较零元素较多多),就按哪行展开就按哪行展开.现在学习的是第15页，共25页证证明：明：则则可以得到可以得到:类似地类似地,若按列来证明有若按列来证明有:现在学习的是第16页，共25页现在学习的是第17页，共25页 例例题题分析分析解：把第3行其余元素变为0，然后按第3行展开：现在学习的是第18页，共25页例例12 证明范德蒙德（证明范德蒙德（Vandermonde）行列式）行列式其中其中记记号号是是连连乘号乘号,表

8、示全体同表示全体同类类因子的乘因子的乘积积。现在学习的是第19页，共25页现在学习的是第20页，共25页定理定理3推论推论.n阶行列式的任一行的各元与另一行对应元的代阶行列式的任一行的各元与另一行对应元的代表余子式乘积之和为零，即：表余子式乘积之和为零，即：同理同理 n阶行列式的任一阶行列式的任一列的各元与另一列对应元列的各元与另一列对应元的代表余子式乘积之和为的代表余子式乘积之和为零，即：零，即：现在学习的是第21页，共25页v 行列式展开定理 行列式等于它的任一行(列)各元素与其对应的代数余子式乘积的和 即 v推论 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零 即 v综合结论 总结现在学习的是第22页，共25页D=a13A13+a23A23+a33A33+a43A43 其中a13=3 a23=1 a33=-1 a43=0 例题分析 例1 计算行列式 将D按第三列展开解 所以=-24 D=319+1(-63)+(-1)18+0(-10)应有 现在学习的是第23页，共25页例例2 2计算行列式常用方法：先化零，再展开算行列式常用方法：先化零，再展开.解解现在学习的是第24页，共25页v相关结果 行列式按第i行展开 得 将元素ai1换成b1 ai2换成b2 ain换成bn 得 现在学习的是第25页，共25页