行列式按行列展开(1).ppt

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1、上次课复习上次课复习一、行列式的性质及其推论一、行列式的性质及其推论性质性质1 1 行列式转置，其值不变行列式转置，其值不变.根据性质根据性质1，行所具有的性质列也同样具有行所具有的性质列也同样具有.交换行列式的两行交换行列式的两行 ，其值变号，其值变号.（列）（列）性质性质2 2推论推论 如果行列式中有两行（列）对应元素相如果行列式中有两行（列）对应元素相同，则此行列式为零同，则此行列式为零.性质性质3 3 用用数数 乘以行列式的某一行（列），等乘以行列式的某一行（列），等于用数于用数 乘此行列式乘此行列式.即即推论推论 如果行列式有两行（列）对应元素成比例，如果行列式有两行（列）对应元素成

2、比例，则行列式的值为则行列式的值为0.0.性质性质4 4 如果行列式如果行列式D的某行（列）每个元素都是两个的某行（列）每个元素都是两个数之和，则这个行列式可以写成两个行列式之和，这数之和，则这个行列式可以写成两个行列式之和，这两个行列式分别以这两个数为对应位置上的元素，其两个行列式分别以这两个数为对应位置上的元素，其余元素均与余元素均与D相同相同.即即推广：推广：性质性质5将行列式的某一行（列）的每个元素都乘以将行列式的某一行（列）的每个元素都乘以同一常数后加到另一行同一常数后加到另一行(列列)对应的元素上去，行列对应的元素上去，行列式的值不变式的值不变即即例如例如 计算计算解：解：=8=8

3、 把一般行列式化成上三角形行列式的一般步骤：把一般行列式化成上三角形行列式的一般步骤：1.4 1.4 行列式按行行列式按行(列列)展开展开一一.展开定理展开定理二二.利用展开定理计算行列式利用展开定理计算行列式三三.展开定理的推论展开定理的推论可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式来可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式来简化计算简化计算.那么对于一个一般的那么对于一个一般的n 阶行列式，它能不能转化成一阶行列式，它能不能转化成一些些n-1 阶行列式来计算呢？阶行列式来计算呢？一一.展开定理展开定理定义定义在在 n 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素所在的第所在的第 i 行和行和 第

4、第 j 列划去后，列划去后，的的余子式余子式.记为记为称称为元素为元素的的代数余子式代数余子式.例如：例如：1.余子式与代数余子式余子式与代数余子式余下的余下的 n n1 1 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素行列式行列式第一行各元素的代数余子式第一行各元素的代数余子式分别为：分别为：行列式行列式D D等于它的任一行（列）的所有元素与等于它的任一行（列）的所有元素与其对应的代数余子式乘积之和，即其对应的代数余子式乘积之和，即定理定理2.行列式按行（列）展开定理行列式按行（列）展开定理例如：例如：按第一行展开按第一行展开按第二行展开按第二行展开在行列式的某一行或某一列含有较多的零时，应用在行列式的

5、某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理可以简化运算；展开定理可以简化运算；若每一行或列含有的零都不多，则可先使用性质使若每一行或列含有的零都不多，则可先使用性质使得某一行或列含有较多的零，然后再展开得某一行或列含有较多的零，然后再展开.如：如：（降阶法）（降阶法）例例1二二.利用展开定理计算行列式利用展开定理计算行列式例例2 计算四阶计算四阶解解 范德蒙行列式范德蒙行列式因此四阶范德蒙行列式的值为因此四阶范德蒙行列式的值为推广：推广：n n阶范德蒙行列式的值为阶范德蒙行列式的值为例例3 3 求证求证 左边左边=右边右边 证：证：推广：推广：例例4 4s行行D D的第的第i i行元素与第行元

6、素与第s s行对应元素代数余子式乘积之行对应元素代数余子式乘积之和为和为三三.展开定理的推论展开定理的推论i行行展开定理及其推论可统一写成以下形式：展开定理及其推论可统一写成以下形式：推论：推论：行列式行列式D中某一行（列）的元素与另一行中某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和为零（列）对应元素的代数余子式乘积之和为零小结小结1.余子式与代数余子式余子式与代数余子式定义定义在在 n 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素所在的第所在的第 i 行和行和 第第 j 列划去后，列划去后，的的余子式余子式.记为记为余下的余下的 n n1 1 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素称称为元

7、素为元素的的代数余子式代数余子式.行列式行列式D D等于它的任一行（列）的所有元素与等于它的任一行（列）的所有元素与其对应的代数余子式乘积之和，即其对应的代数余子式乘积之和，即定理定理2.行列式按行（列）展开定理行列式按行（列）展开定理3.3.利用展开定理计算行列式利用展开定理计算行列式在行列式的某一行或某一列含有较多的零时，应用在行列式的某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理可以简化运算；展开定理可以简化运算；若每一行或列含有的零都不多，则可先用性质使得若每一行或列含有的零都不多，则可先用性质使得某一行或列含有较多的零，然后再展开某一行或列含有较多的零，然后再展开.4.n4.n阶范德蒙行列式的值为阶范德蒙行列式的值为展开定理及其推论可统一写成以下形式：展开定理及其推论可统一写成以下形式：推论：推论：行列式行列式D中某一行（列）的元素与另一行中某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和为零（列）对应元素的代数余子式乘积之和为零5.5.展开定理的推论展开定理的推论作业：作业：P54 10（3）练习：练习：用降阶法求用降阶法求